9.2不等式選講(選修45)-2-2-2-2-3-3-3-3-4-4-4-4-5-5-5-5-6-6-6-6-1.絕對(duì)值三角不等式(1)定理1:若a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí),等號(hào)成立;(2)性質(zhì):|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是實(shí)數(shù),則|a-c|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c) 0時(shí),等號(hào)成立.-7-7-7-7-2.絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|a(a0)的解法:|x|a-axaxa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法:|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|cax+bc或ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法:利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想.通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.-8-8-8-8-9-9-9-9-4.不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.(1)比較法:求差比較法,求商比較法.求差比較法:由于aba-b0,aba-bb,只要證明a-b0即可.求商比較法:由ab0 1且a0,b0,因此當(dāng)a0,b0時(shí)要證明ab,只要證明 1即可.(2)分析法:從待證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等).(3)綜合法:從已知條件出發(fā),利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理,經(jīng)過推理論證,推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,即“由因?qū)す钡姆椒?這種證明不等式的方法稱為綜合法.-10-10-10-10-11-考向一考向二考向三考向四解絕對(duì)值不等式、求參數(shù)范圍解絕對(duì)值不等式、求參數(shù)范圍解題策略一解題策略一分離參數(shù)法求參數(shù)范圍分離參數(shù)法求參數(shù)范圍 例1已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.-12-考向一考向二考向三考向四-13-考向一考向二考向三考向四解題心得1.解含有兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,一般解法是零點(diǎn)分段法.即令各個(gè)絕對(duì)值式子等于0,求出各自零點(diǎn),把零點(diǎn)在數(shù)軸上從小到大排列,然后按零點(diǎn)分?jǐn)?shù)軸形成的各區(qū)間去絕對(duì)值,進(jìn)而將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式.2.在不等式恒成立的情況下,求參數(shù)的取值范圍,可以采取分離參數(shù),通過求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值的方法獲得.-14-考向一考向二考向三考向四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|(m0).(1)當(dāng)m=1時(shí),解不等式f(x)3;(2)當(dāng)xm,2m2時(shí),不等式 f(x)|x+1|恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.-15-考向一考向二考向三考向四-16-考向一考向二考向三考向四解題策略二解題策略二求函數(shù)最值構(gòu)造不等式求參數(shù)范圍求函數(shù)最值構(gòu)造不等式求參數(shù)范圍 例2已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍.-17-考向一考向二考向三考向四解 (1)當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)g(x)等價(jià)于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.當(dāng)xa恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina無解f(x)maxa;f(x)a無解f(x)mina.-19-考向一考向二考向三考向四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)當(dāng)a=-2時(shí),求不等式f(x)-1,且當(dāng) 時(shí),f(x)g(x),求a的取值范圍.-20-考向一考向二考向三考向四-21-考向一考向二考向三考向四不等式的證明不等式的證明例3已知a0,b0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.證明 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3-22-考向一考向二考向三考向四解題心得不等式證明的常用方法是:比較法、綜合法與分析法.其中運(yùn)用綜合法證明不等式時(shí),主要是運(yùn)用基本不等式證明,與絕對(duì)值有關(guān)的不等式證明常用絕對(duì)值三角不等式.證明過程中一方面要注意不等式成立的條件,另一方面要善于對(duì)式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形.-23-考向一考向二考向三考向四-24-考向一考向二考向三考向四-25-考向一考向二考向三考向四求最值求最值解題策略一解題策略一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 例4若a0,b0,且(1)求a3+b3的最小值.(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.-26-考向一考向二考向三考向四解題心得若題設(shè)條件有(或者經(jīng)過化簡題設(shè)條件得到)兩個(gè)正數(shù)和或兩個(gè)正數(shù)積為定值,則可利用基本不等式求兩個(gè)正數(shù)積的最大值或兩個(gè)正數(shù)和的最小值.-27-考向一考向二考向三考向四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知a0,b0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值為1.(1)求證:2a+b=2;(2)若a+2btab恒成立,求實(shí)數(shù)t的最大值.-28-考向一考向二考向三考向四-29-考向一考向二考向三考向四解題策略二解題策略二利用柯西不等式求最值利用柯西不等式求最值 -30-考向一考向二考向三考向四解題心得利用柯西不等式求最值時(shí),一定要滿足柯西不等式的形式.-31-考向一考向二考向三考向四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(1)已知關(guān)于x的不等式|x+3|+|x+m|2m的解集為R.求m的最大值.(2)已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求2a2+3b2+4c2的最小值及此時(shí)a,b,c的值.解 (1)|x+3|+|x+m|(x+3)-(x+m)|=|m-3|.當(dāng)-3x-m或-mx-3時(shí)取等號(hào),令|m-3|2m,m-32m或m-3-2m.解得m1,m的最大值為1.-32-考向一考向二考向三考向四絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用例6設(shè)函數(shù)(1)證明f(x)2;(2)若f(3)5,求a的取值范圍.-33-考向一考向二考向三考向四解題心得絕對(duì)值三角不等式、基本不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問題中有著重要的應(yīng)用,無論運(yùn)用絕對(duì)值三角不等式還是運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)注意等號(hào)成立的條件.-34-考向一考向二考向三考向四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(2018全國,文23)設(shè)函數(shù)f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范圍.可得f(x)0的解集為x|-2x3.(2)f(x)1等價(jià)于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立.故f(x)1等價(jià)于|a+2|4.由|a+2|4可得a-6或a2.所以a的取值范圍是(-,-62,+).