《高等數(shù)學：第七章 第1節(jié) 向量極其線性運算》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高等數(shù)學：第七章 第1節(jié) 向量極其線性運算（51頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1向量及其線性運算第一節(jié)一、空間直角坐標系二、向量及其運算三、向量的坐標四、小結(jié)21、空間點的直角坐標平面直角坐標系平面直角坐標系xyoP),(yxxyP點點),(yx圖形圖形方程方程.面幾何問題面幾何問題可以用代數(shù)方法解決平可以用代數(shù)方法解決平:問題問題?數(shù)數(shù)方方法法解解決決空空間間幾幾何何問問題題能能否否用用代代一、空間直角坐標系3x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o空間直角坐標系空間直角坐標系 三個坐標軸的正方向三個坐標軸的正方向符合符合右手系右手系. .即以右手握住即以右手握住z軸，軸，當右手的四個手指當右手的四個手指從正向從正向x軸以軸以2 角角 度轉(zhuǎn)向正向度轉(zhuǎn)向正向y軸軸時，

2、大拇指的指向時，大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向. 幾個基本概念、空間直角坐標系) 1 (4xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標系共有空間直角坐標系共有八個卦限八個卦限、坐標面及卦限)2(5、坐標)3(,P對于空間點對于空間點xyzoP與三坐標軸交于與三坐標軸交于軸的平面軸的平面點作垂直于三個坐標點作垂直于三個坐標過過,P,點點zyxxzy),(zyxP11,),(點的坐標點的坐標為為稱稱Pzyxx為橫坐標為橫坐標x為縱坐標為縱坐標y為豎坐標為豎坐標z顯然顯然)0 , 0 , 0(O),(00 xAAB),(00 yBC),(zC00:問題問題?),(在什么位置在什么位置1

3、21P62、空間兩點間的距離到原點的距離、點),() 1 (zyxPxyzo),(zyxPABCQ222QPOQOp222zOCQP而而222AQOAOQ22OBx 22yx 2222zyxOP222zyxOP即即7設設),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知22212NMNMd(2)、空間兩點間的距離,22221NMPNPM8,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM

4、 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為特殊地：若兩點分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M9例例 1 1 求證以求證以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三點為頂點的三角形是一個等腰三角形三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原結(jié)論成立原結(jié)論成立.10解解設設P點坐標為點坐標為),0 , 0 ,(x因為因

5、為P在在x軸上，軸上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求點為所求點為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 11向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M為起點，為起點，2M為終點的有向線段為終點的有向線段.1M2M a21MM模長為模長為1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：單位向量：1、向量的概念或或或或或或二、向量及其運

6、算12自由向量：自由向量：不考慮起點位置的向量不考慮起點位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負向量：負向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向徑：向徑：aba a空間直角坐標系中任一點空間直角坐標系中任一點 與原點與原點構(gòu)成的向量構(gòu)成的向量. . OMM131 加法：加法：cba abc平行四邊形法則平行四邊形法則特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分為同向和反向分為同向和反向bac|bac 三角形法則三角形法則2、向量的加減法bac14向量的加法符合下列運算規(guī)律：向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1 1）交換律：

7、）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 減法減法)( baba abcbabac )(ba ba ab15設設 是是一一個個數(shù)數(shù)，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為, 0)1( a 與與a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa aa2a21 3、向量與數(shù)的乘法16數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.ababa ，使，使一的實數(shù)一的實數(shù)分必要

8、條件是：存在唯分必要條件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量設向量設向量定理定理0兩個向量的平行關系兩個向量的平行關系17同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設設aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量一個與原向量同方向的單位向量.18例例1 1 化簡化簡 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 19例例2 2 試用向量方法證明：對角線互相平分的試用向量方法

9、證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形四邊形必是平行四邊形.證證AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD與與 平行且相等平行且相等,BC結(jié)論得證結(jié)論得證.ABCDMab201、向量在軸上的投影與投影定理.上的有向線段上的有向線段是軸是軸，設有一軸設有一軸uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，記作的值，記作上有向線段上有向線段叫做軸叫做軸那末數(shù)那末數(shù)是負的，是負的，軸反向時軸反向時與與是正的，當是正的，當向時向時軸同軸同與與，且當，且當滿足滿足如果數(shù)如果數(shù)三、向量的坐標21ouAB1軸同方向的單位向量，軸同方向的單位向量，是與是與設設ue.)(eABA

10、B 的相互位置如何，的相互位置如何，三點三點軸上任意三點，不論這軸上任意三點，不論這是是設設uCBA,eBCeABeAC)()()( 即即,)(eBCAB .BCABAC ,BCABAC e22證證,1uOA ,1euOA 故故eueu12 .)(12euu ouAB1e1u2u,2euOB 同理，同理，OAOBAB 于是于是23空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 類似地，可定義類似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角.特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定特殊地，當兩

11、個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 24空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影u AA 過過點點A作作軸軸u的的垂垂直直平平面面，交交點點A 即即為為點點A在在軸軸u上上的的投投影影.25空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uAA BB 已知向量的起點已知向量的起點A和終點和終點B在在軸軸u上的投影分別為上的投影分別為BA ,那那么軸么軸u上的有向線段上的有向線段BA 的的值，稱為向量在軸值，稱為向量在軸u上的投影上的投影.26ABjuPr.BA 向量向量AB在軸在軸u上的投影記為上的投影記為關于向量的關于向量的投影定理

12、（投影定理（1 1） 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以軸軸與與向向量量的的夾夾角角的的余余弦弦：ABjuPr cos| AB 證證uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 27定理定理1 1的說明：的說明：投影為正；投影為正；投影為負；投影為負；投影為零；投影為零；uabc(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 28關于向量的關于向量的投影定理（投影定理（2 2）兩兩個個向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個個向向量量在在該該軸軸上上的的投投影影之之和和

13、. .PrPr)(Pr2121ajajaajuuuAA BB CC （可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個）u1a2a292、向量的坐標表達式標表達式、起點在原點向量的坐) 1 (xyzo基本單位向量基本單位向量ikijk),(,zyxPa終點為終點為為起點在原點為起點在原點設向量設向量a),(zyxPjABCAOi xBOj yCOkzQQAAOQOBOi xj yi xPOaPQQOCOQOkzj yi x30的向量的向量起點在原點終點為起點在原點終點為),(zyxPPOa坐標表達式坐標表達式kzj yi xa也可記為也可記為,zyxa 其中其中,在三坐標軸上的投影在三坐標軸上的投影為為a

14、zyx的坐標的坐標稱為稱為akzj yi x,.在三軸上的分向量在三軸上的分向量稱為稱為a顯然顯然,000O,001i,010j,100k31式、任一向量的坐標表達)2(,),(為起點為起點是以是以設設111zyxABAa為終點的向量為終點的向量以以),(222zyxBxyzoABaBAaAOBO)(kzjyix222)(kzjyix111kzzjyyixx)()()(121212,121212zzyyxxa即即32(3)、向量運算的坐標表達式、向量運算的坐標表達式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()

15、(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 332例例,451321ba已知已知ba32 求求:解解 ba32,45133212,12153642,619134解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 設設),(zyxM為直線上的點，為直線上的點，例例 3 3 設設),(111zyxA和和),(222zyxB為為兩兩已已知知點點，而而在在AB直直線線上上的的點點M分分有有向向線線段段AB為為兩兩部部分分AM、MB，使使它它們們的的值值的的比比等等于于某某數(shù)數(shù))1( ，即即 MBAM，求求分分點點的的坐坐標標.

16、ABMxyzo35由題意知：由題意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM為為有有向向線線段段AB的的定定比比分分點點.M為中點時，為中點時，,221xxx ,221yyy .221zzz 36非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 3、向量的模與方向余弦的坐標表示式37xyzo 1M 2M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax

17、 cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式21212121RMQMPMMM ,zyxaaaaMM21設設380222 zyxaaa當當 時，時，,cos222zyxxxaaaaaa ,cos222zyxyyaaaaaa .cos222zyxzzaaaaaa 向量方向余弦的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式391coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位

18、向量的方向余弦為40例例 4 4 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的單單位位向向量量的的分分解解式式. 解解所求向量有兩個，一個與所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向同向，一個反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 41解解設向量設向量21PP的方向角為的方向角為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 42.32,3 設設2P的坐標為的坐標為),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3

19、cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐標為的坐標為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 21PP,301zyx43例例 6 6 設設kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x軸軸上上的的投投影影及及在在y軸軸上上的的分分向向量量. 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x軸軸上上的的投投影影為為13 xa,在在y軸上的分向量為軸上的分向量為j7.44對角線的長為對角線的長為|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm

20、平平行行四四邊邊形形的的對對角角線線的的長長度度各各為為11, 3.mn 設設jim ，kjn 2，求以向量，求以向量nm,為邊的平行四邊形的對角線的長度為邊的平行四邊形的對角線的長度. 7例例:解解45空間直角坐標系空間直角坐標系 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式（注意它與平面直角坐標系的（注意它與平面直角坐標系的區(qū)別區(qū)別）（軸、面、卦限）（軸、面、卦限）四、小結(jié) 21221221221zzyyxxMM 46向量的概念向量的概念向量的加減法向量的加減法向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法（注意與標量的區(qū)別）（注意與標量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）（注意數(shù)乘后的

21、方向）四、小結(jié)47向量在軸上的投影與投影定理向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標.向量的模與方向余弦的坐標表示式向量的模與方向余弦的坐標表示式.四、小結(jié)（注意分向量與向量的坐標的（注意分向量與向量的坐標的區(qū)別區(qū)別）48練習與思考題練習與思考題1、已知平行四邊形、已知平行四邊形ABCD的對角線的對角線AC,a BDb 試用試用 表示平行四邊形四邊上對應的向量表示平行四邊形四邊上對應的向量.ba,解答：解答：BCAD AM MD).(21ba DC AB AM MB).(21ba ABCDMab492、在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪

22、個卦限？、在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪個卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )4, 3, 2( C. )1 , 3, 2( D解答：解答：A:; B:; C:; D:;50503、一向量與zyx而與軸成等角軸和,軸組成的角是它們的兩倍,確定這向量的方向。解：解：先求方向余弦，再求方向角。1coscoscos222又212coscos222又2cos1cos220)2cos1 (2cos02cos或12cos4或251514、求解以向量為未知元的線性方程組ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解: 2 3 , 得bax32 )10, 1,7(6, 3 , 34 , 2 , 4代入得)3(21bxy)16,2,11(2, 1 , 1)30, 3,21(21