計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布第第 九九 章章第第6262講離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布講離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布考綱要求考情分析命題趨勢1.理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題2利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.2017全國卷，192016山東卷，192016福建卷，161.正態(tài)分布主要通過正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象及性質(zhì)進行考查2離散型隨機變量的分布列、均值、方差一般與排列、組合及古典概型、幾何概型、二項分布及幾何分布相結(jié)合，以實際問題為背景進行考查.分值：512分板板 塊塊 一一板板 塊塊 二二板板 塊塊 三三欄目導(dǎo)航 1離散型隨機變量的均值與方差 一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X)_為隨機變量X的均值或_，它反映了離散型隨機變量取值的_x1p1x2p2xipixnpn 數(shù)學(xué)期望 平均水平 平均偏離程度 標(biāo)準(zhǔn)差 aE(X)b a2D(X) p p(1p) np np(1p) 上方 x x 1 當(dāng)一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著_的變化沿x軸平移，如圖甲所示； 當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，_，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；_，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示 越小 越大 (3)正態(tài)分布的定義及表示 一般地，如果對于任何實數(shù)a，b(ab)，隨機變量X滿足P(aXb)_，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作_ (4)正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 P(X)_； P(2X2)_； P(3X3)_.XN(，2) 0.682 6 0.954 4 0.997 4 1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無關(guān)() (2)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量() (3)隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小() (4)在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是0.7.() A 3設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x10的均值和方差分別為1和4，若yixia(a為非零常數(shù)，i1,2，10)，則y1，y2，y10的均值和方差分別為() A1a,4B1a,4aC1,4D1,4aA 5投擲兩枚骰子，當(dāng)至少一枚5點或一枚6點出現(xiàn)時，就說這次試驗成功，則在10次試驗中成功次數(shù)的均值為_. 離散型隨機變量的均值與方差的常見類型及解題策略 (1)求離散型隨機變量的均值與方差可依題設(shè)條件求出離散型隨機變量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解 (2)由已知均值或方差求參數(shù)值可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程，解方程即可求出參數(shù)值 (3)由已知條件，作出對兩種方案的判斷可依據(jù)均值、方差的意義，對實際問題作出判斷一離散型隨機變量的均值、方差 【例1】 (2018湖北部分重點中學(xué)起點考試)隨著網(wǎng)絡(luò)營銷和電子商務(wù)的興起，人們的購物方式更具多樣化某調(diào)查機構(gòu)隨機抽取10名購物者進行采訪，5名男性購物者中有3名傾向于選擇網(wǎng)購，2名傾向于選擇實體店，5名女性購物者有2名傾向于選擇網(wǎng)購，3名傾向于選擇實體店 (1)若從10名購物者中隨機抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名傾向于選擇實體店的概率； (2)若從這10名購物者中隨機抽取3名，設(shè)X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購的男性購物者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望二均值與方差的實際應(yīng)用 隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定 【例3】 (2018山西太原模擬)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和單位：億立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立 (1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率； (2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系年入流量X40X120發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？ (2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元) 安裝1臺發(fā)電機的情形 由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應(yīng)的年利潤Y5 000，E(Y)5 00015 000. 安裝2臺發(fā)電機的情形 依題意，當(dāng)40X80時，一臺發(fā)電機運行， 此時Y5 0008004 200， 因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；當(dāng)X80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下： 所以E(Y)4 2000.210 0000.88 840.Y4 20010 000P0.20.8 安裝3臺發(fā)電機的情形 依題意，當(dāng)40X80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X80)p10.2；當(dāng)80X120時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y5 00028009 200， 因此P(Y9 200)P(80X120)p20.7；當(dāng)X120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得Y的分布列如下： 所以E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺Y3 4009 20015 000P0.20.70.1三正態(tài)分布的應(yīng)用 解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：(1)對稱軸x；(2)標(biāo)準(zhǔn)差；(3)分布區(qū)間利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3特殊區(qū)間，從而求出所求概率注意只有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對稱軸才為x0. 【例4】 (2017全國卷改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2) (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(3，3)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望； (2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3，3)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查 試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； 下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸： 解析 (1)抽取的一個零件的尺寸在(3，3)之內(nèi)的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(3，3)之外的概率為0.002 6，故XB(16,0.002 6) 因而P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8. X的數(shù)學(xué)期望為E(X)160.002 60.041 6. (2)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的 1在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該班同學(xué)中成績在8085分的有17人試計算該班成績在90分以上的同學(xué)有多少人 附：若隨機變量服從正態(tài)分布N(，2)，則P()68.26%，P(22)95.44%. 又2801070，2801090， 成績在(70,90內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.44%. 成績在(80,90內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的47.72%. 成績在90分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的50%47.72%2.28%. 即有502.28%1(人)，故成績在90分以上的同學(xué)僅有1人 3(2018湖北荊州中學(xué)質(zhì)檢)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷量的頻率分布直方圖，如圖所示 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立 (1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，均值E(X)及方差D(X) 錯因分析：求離散型隨機變量的均值和方差時嚴(yán)格按照步驟來解，解答完后要注意查看解題中的關(guān)鍵點易錯點求期望、方差時計算不準(zhǔn)確以及解答不規(guī)范