工程力學課件 第六章 空間力系 重心作用在物體上的力系，其作用線分布在空間，而且也不能簡化到某一平面時，這種力系就稱為空間力系空間力系。空間力系是最一般的力系，平面匯交力系、平面一般力系等都是它的特殊情況。本章在研究平面力系的基礎上，進一步研究物體在空間力系作用下的平衡問題。最后再介紹一下重心的概念及求重心位置的方法。本章重點：1、力在空間直角坐標軸上的投影2、力對軸之矩3、空間力系的平衡條件及平衡方程4、重心的概念及重心位置的求法工程力學課件 6-1 工程中的空間力系問題在工程實際中，常遇到物體在空間力系作用下的情況，如機器上的轉軸以及空間桁架結構等均屬空間力系問題。徑向止推軸承徑向軸承膠帶輪斜齒輪轉軸的受力情況轉軸空間力系空間匯交力系空間平行力系空間一般力系工程力學課件 6-2 力在空間坐標軸上的投影在研究平面力系時，需要計算力在坐標軸上的投影。在研究空間力系時，同樣需要計算力在空間直角坐標軸上的投影。如圖所示，已知力F與三軸x、y、z正向間的夾角分別為、，根據(jù)力的投影定義，可直接將力F向三個坐標軸上投影，分別用符號Fx、Fy和Fz來表示。得到： coscoscosFFzFFFFyx工程力學課件 求力在坐標軸上的投影時，也可以采用二次投影的方法，如圖所示，先將力F投影到Oxy坐標平面上，以F表示sinFF cosFFz然后再將力F投影到x軸和y軸上。故力在坐標軸上的投影公式又可寫成：cossinFFxsinsinFFycossinFFxsinsinFFy在具體計算時，究竟取哪種方法求投影，要看問題給出的條件來定工程力學課件 反過來如果已知力F在三軸x、y、z上的投影Fx、Fy和Fz，也可求出力F的大小和方向，即：222zyxFFFF222coszyxxFFFF222coszyxyFFFF222coszyxzFFFF工程力學課件 6-3 力對軸之矩一、力對軸之矩的概念一、力對軸之矩的概念如圖所示，力F在圓輪平面內，力產生使物體繞O點轉動的作用，從而建立了在平面內力對點之矩的概念，即Fd(F)Mo從圖中可以看到，平面里物體繞O點的轉動，實際上就是空間里物體繞通過O點且與該平面垂直的軸轉動，即物體繞z軸轉動(圖b)。所以，平面里力對點之矩，實際上就是空間里力對軸之矩。力F對z軸之矩用符號Mz (F)表示。力F不在垂直于軸的平面內，如圖c所示，則僅僅知道上述有關力矩的概念還不夠，尚需建立空間力對軸之矩的概念。下面以開門動作為例來加以說明。(a)(b)工程力學課件 設門上作用的力F不在垂直于轉軸z的平面內，求F對z軸之矩。dFFMFMoz22)()( 由分析知：由分析知：力力對軸之矩等于力在對軸之矩等于力在垂直于該軸平面上垂直于該軸平面上的投影對軸與平面的投影對軸與平面交點之矩。交點之矩。式中正負號表示力對軸之矩的轉向。力對軸之矩是一個代數(shù)量，其單位與力對點之矩相同。通常規(guī)定：從z軸的正向看去，逆時針方向轉動的力矩為正，順時針方向轉動的力矩為負。也可用右手法則來判定。 由力對軸之矩的定義知：力的作用線通過某軸或與它平行時，此力的作用線通過某軸或與它平行時，此力對該軸之矩為零。力對該軸之矩為零。工程力學課件 例例6-1 半徑為r的斜齒輪，其上作用有力F，如圖a所示。求力F沿坐標軸的投影及力F對y軸之矩。 解：先求力F在三軸上的投影，采用二次投影法：sincosFFFxtcoscosFFFyasinFFFzr因為分力Fr通過y軸,分力Fa平行y軸，所以它們對y軸之矩均等于零。只有分力Ft對y軸有矩，故力Ft對y軸之矩為sincos)()(rFFMFMtyy工程力學課件 二、合力矩定理二、合力矩定理 在44中講過平面力系的合力矩定理，在空間力系中力對軸之矩也有類似關系。下面只敘述結論不作證明，即：空間力系的合力空間力系的合力對某一軸之矩等于力系中各分力對同一軸之矩的代數(shù)和，此即稱為對某一軸之矩等于力系中各分力對同一軸之矩的代數(shù)和，此即稱為空間力系的合力矩定理空間力系的合力矩定理。用公式表示為。用公式表示為)()()()(21nxxxRxFMFMFMFM)()(FMFMxRx所以空間合力矩定理常常被用來確定物體的重心位置，并且也提供了用分力矩來計算合力矩的方法。工程力學課件 6-4 空間力系的平衡方程建立空間力系平衡方程的方法與建立平面力系平衡方程的方法相同，都是通過力系的簡化得到的。設剛體上作用有空間任意力系（F1，F(xiàn)2，,Fn），在剛體上任選一點O為簡化中心，將力系中每個力平移至O點，則得到一空間共點力系（ F1，F(xiàn)2，,Fn ）和由所有附加力偶組成的空間力偶系（ M1，M2，,Mn ）。共點力系可以合成一通過簡化中心O的合力FR ，空間力偶系可合成一合力偶Mo。工程力學課件 空間匯交力系合力FR稱為力系的主矢力系的主矢；即FFFRzRzyRyxRxFFFFFFFR在三個坐標軸上的投影為：222)()()(zyxRFFFFRzRyRxFFFFFF/cos/cos/cos主矢的大小主矢的方向工程力學課件 合力偶MO稱為力系力系的主矩的主矩。設MOx、MOy、MOz分別表示主矩MO在x、y、z軸上的投影，可得(F)MM(F)MM(F)MMzOzyOyxOx222(F)M(F)M(F)MMzyxO主矩的大小ooxMMcos主矩的方向ooyMMcosoozMMcos其中、分別表示Mo與x、y、z軸正向間的夾角。工程力學課件 剛體在空間一般力系作用下平衡的必要和充分條件是主矢和主矩主矢和主矩皆為零皆為零。即：0)(0)(0)(000FM，F(xiàn)M，F(xiàn)MF，F(xiàn)，F(xiàn)zyxzyx上式表明，物體若平衡，則必須滿足上述方程。反之，空間力系如滿足上述六個方程，則物體必然保持平衡狀態(tài)(即相對靜止或作勻速運動)。所以上式表示了空間力系平衡的必要和充分條件，即各力空間力系平衡的必要和充分條件，即各力在三個坐標軸上投影的代數(shù)和以及各力對此三軸之矩的代數(shù)和都必在三個坐標軸上投影的代數(shù)和以及各力對此三軸之矩的代數(shù)和都必須分別等于零。須分別等于零。上式有六個獨立的平衡方程，可以求解六個未知量，它是解決空間力系平衡問題的基本方程。00MoFR工程力學課件 從空間一般力系的平衡方程，我們很容易導出空間匯交力系和空間平行力系的平衡方程。 如圖所示，設物體受一空間匯交力系作用，如選擇空間匯交力系的匯交點為坐標系Oxyz的原點，則不論此力系是否平衡，各力對三軸之矩恒為零，即0)(0)(0)(FMFMFMzyx000zyxFFF因此，空間匯交力系的平衡方程為：工程力學課件 如圖所示，設物體受一空間平行力系作用。令z軸與這些力平行，則各力對于z軸的矩等于零；又由于x軸和y軸都與這些力垂直，所以各力在這兩軸上的投影也等于零。即0)(00FMFFzyx三式成為恒等式。因此，空間平行力系的平衡方程為0)(0)(0FMFMFyxz工程力學課件 求解空間力系的平衡問題時，可以直接運用空間平衡方程也可以將空間力系轉化為在三個坐標平面內的平面力系來處理。后一種方法比較容易掌握，也便于運用平面力系平衡問題的解題技巧。因此，這種方法在工程實際中運用較多。0)(0)(0)(000FMFMFMFFFzyxzyx工程力學課件 例6-2 一車床的主軸如圖所示，齒輪C半徑為100 mm，卡盤D夾住一半徑為50mm的工件，A為向心推力軸承，B為向心軸承。切削時工件等速轉動，車刀給工件的切削力Fx=466 N、Fy=352 N、Fz=1400 N，齒輪C在嚙合處受力為F1，作用在齒輪C的最低點。不考慮主軸及其附件的質量，試求力F1的大小及A、B處的約束反力。 解： (1)取主軸及工件為研究對象。受力圖如圖b所示。 (2)列出空間力系平衡方程，求出未知量。方法一：直接應用空間力系平衡方程求解。取坐標系Axyz(圖b)。為避免遺漏或發(fā)生錯誤，在開始時可先列表。工程力學課件 CDNFAx729NFAy352NFAz385NFBx437NFBz2040NF7461工程力學課件 方法二：將空間力系平衡問題轉化為平面力系平衡問題來解。首先設坐標系Axyz，將空間力系化為三個坐標平面內的平面力系，如圖a、b、c所示。工程力學課件 6-5 重心的概念不論在日常生活中，還是在工程實際中都會經(jīng)常遇到重心問題。例：工程力學課件 地球表面或表面附近的物體會受到地心引力作用。若把物體想象分割成無數(shù)微小單元，物體諸微元所受到地心引力，由于距離地心很遠，可看成一組平行力系。這組平行力系有一個合力W，合力的大小稱為物體的重力重力。合力的方向指向地心。通過實驗我們知道，無論物體怎樣放置，這些平行力的合力總是通過物體內的一個確定點平行力系的中心，這個點叫做物體的重心。重心。重心的位置怎樣確定？重心的位置怎樣確定？工程力學課件 一、重心坐標的一般公式一、重心坐標的一般公式：niixxWMWM1)()(設固連在物體上的空間直角坐標系Oxyz，設物體的重心坐標為xC、yC、zC，將物體分成若干微小部分，每個微小部分所受的重力分別為W1，W2，Wn，各力的作用點的坐標分別為（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3）。W是各重W1，W2，Wn的合力根據(jù)合力矩定理，合力W對軸之矩等于各分力對同軸之矩的代數(shù)和。如對x軸之矩有nncyWyWyWyW2211即可得：WyWyiic工程力學課件 niiyyWMWM1)()(nncxWxWxWxW2211即可得：WxWxiic同理可得對y軸之矩將坐標系連同物體繞y軸轉90，使z軸鉛直向上，重心位置不變，再應用合力矩定理，對新的y軸求力矩，用與上述相同的方法，可得nnczWzWzWzW2211WzWziic工程力學課件 WxWxiicWzWziicWyWyiic由以上得到重心坐標的一般公式為：mgWgmWii,因為所以mxmxiicmzmziicmymyiic上式稱為質心質心(質量中心質量中心)坐標公式坐標公式，在均勻重力場內，質量中心與其重心的位置相重合。質心坐標公式將在動力學中用到。工程力學課件 二、均質物體的重心坐標公式二、均質物體的重心坐標公式均質物體的重量是均勻分布的，如物體單位體積的重量為，物體體積為V，則VWnnVWVWVW,2211物體每個微小部分的重量分別為：代入重心坐標公式中，則得到：VxVxiicVzVziicVyVyiic 公式表明，對均質物體來說，物體的重心只與物體的形狀有關，而與物體的重量無關，因此均質物體的重心也稱為物體的形心形心。工程力學課件 三、均質薄板的重心三、均質薄板的重心設均質薄板的厚度為h，面積為A，將薄板分成若干微小部分，每個微小部分的面積為A1，A2，An，則：AhW hAVhAVhAVnn,2211AxAxiicAyAyiic對于平面薄板，其重心只求兩個坐標就可以了，如圖所示的xC和yC代入均質物體重心坐標公式中，得到：AzAziic工程力學課件 6-7 物體重心的求法在工程實際中，物體通常是由一個或幾個簡單幾何圖形的物體組合而成(即組合形體)。對于簡單幾何圖形物體的重心，可以從有關的工程手冊中查到。下面將常見的幾種簡單幾何圖形物體的重心位置列成表61，以供求組合物體重心時使用。工程力學課件 工程力學課件 工程力學課件 在工程實際中，經(jīng)常遇到具有對稱軸、對稱面或對稱中心的均質物體。這種物體的重心一定在對稱軸、對稱面或對稱中心上。如圖a的工字鋼截面，具有對稱軸OO，則它的重心一定在OO軸上；又如圖b，立方體具有對稱中心C，則C點就是它的重心。一、對稱性法工程力學課件 組合形體形狀復雜，但它們大多都是由簡單幾何形體組合而成的。二、分割法 分割法是將形狀比較復雜的物體分成幾個部分，這些部分形狀簡單，其重心位置容易確定，然后，根據(jù)重心坐標公式求出組合形體的重心。例6-4 如圖所示為Z形鋼的截面，圖中尺寸單位為mm。求Z形截面的重心位置工程力學課件 cmcmAxAxiic1 . 2305440)6(3075. 0541040cmcmAyAyiic47.1830544039302054140將上述數(shù)據(jù)代入到坐標公式中，得到Z形截面重心位置為：22140220cmcmAcmycmx1,1011222545 . 136cmcmAcmycmx20,75. 02222330152cmcmAcmycmx39,622解：將Z形截面分割為三部分，每部分都是矩形。設坐標Oxy，它們的面積和坐標分別為：工程力學課件 若在物體內切去一部分，要求剩余部分物體的重心時，仍可應用分割法，只是切去部分的面積(或體積)應取負值。 例6-5 已知振動器中的偏心塊的幾何尺寸，R=10 cm，r=1.3 cm，b=1.7 cm，求偏心塊重心的位置。 設坐標Oxy，y軸為對稱軸。根據(jù)對稱法，偏心塊重心C在對稱軸上，所以解：本題屬于求平面圖形的重心問題，由于有挖去的部分，所以用負面積法三、負面積法C0cx將偏心塊分割成三部分：半徑為R的半圓，半徑為(r+b)的半圓半徑為r的小圓，這是挖掉的部分，其面積應為負值工程力學課件 這三部分的面積及其坐標為：2121RA341Ry 22)(21brA3)(41bry23rA01ycmrbrRbrRrbrRrbrbrRRAAAyAyAyAAyAyiic98. 92)(3)( 42)(203)(42)(34222233222222321332211將上述數(shù)據(jù)代入到坐標公式中，可得偏心塊重心(即形心)C的坐標分別為：在這一例題中，綜合運用了對稱性、分割法和負面積法確定其重心位置。cmyc98. 90cx工程力學課件