數(shù)學是科學的大門和鑰匙-培根可化為一元一次方程的分式方程知識講解（基礎(chǔ)）責編：杜少波【學習目標】1. 了解分式方程的定義，根及增根的意義，會解可化為一元一次方程的分式方程2. 會列出分式方程解簡單的應用問題【要點梳理】【高清課堂 405788 分式方程的解法及應用 知識要點】要點一、分式方程、根與增根1.分式方程分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點詮釋：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.2.分式方程的根、增根及檢驗 分式方程的解也叫作分式方程的根在檢驗時只要把所求出的未知數(shù)的值代入最簡公分母中，如果它使最簡公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一個根；如果它使最簡公分母的值為O，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的增根要點詮釋：（1）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根 （2）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根要點二、分式方程的解法1.解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時必須驗根.2.分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解. 要點三、分式方程的應用分式方程的應用主要就是列方程解應用題.列分式方程解應用題按下列步驟進行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個分式方程；（5）驗根，檢驗是否是增根；（6）寫出答案.要點詮釋：1、列分式方程解應用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗、答必須嚴格按照這五5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等 2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時間；工作量問題：工作效率=工作量工作時間等等列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力【典型例題】類型一、判別分式方程1、（2016春閔行區(qū)期末）下列方程中，不是分式方程的是（）A BC D【思路點撥】判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數(shù)【答案】B；【解析】解：A、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項錯誤；B、該方程屬于無理方程，故本選項正確；C、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項錯誤；D、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項錯誤；故選：B【總結(jié)升華】本題考查了分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程類型二、解分式方程2、 解分式方程（1）；（2）【答案與解析】解：（1），將方程兩邊同乘，得解方程，得檢驗：將代入，得 是原方程的根（2），方程兩邊同乘以，得解這個方程，得檢驗：把代入最簡公分母，得2×5×1100 原方程的解是【總結(jié)升華】將分式方程化為整式方程時，乘最簡公分母時應乘原分式方程的每一項，不要漏乘常數(shù)項特別提醒：解分式方程時，一定要檢驗方程的根舉一反三：【變式】解方程：【答案】解：，方程兩邊都乘，得，解這個方程，得，檢驗：當時， 是增根， 原方程無解類型三、分式方程的增根【高清課堂405788 分式方程的解法及應用 例3（1）】3、（2015春安岳縣期中）若解關(guān)于x的分式方程會產(chǎn)生增根，求m的值【思路點撥】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值【答案與解析】解：方程兩邊都乘（x+2）（x2），得2（x+2）+mx=3（x2）最簡公分母為（x+2）（x2），原方程增根為x=±2，把x=2代入整式方程，得m=4把x=2代入整式方程，得m=6綜上，可知m=4或6【總結(jié)升華】增根確定后可按如下步驟進行：化分式方程為整式方程；把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值舉一反三：【變式】如果方程有增根，那么增根是_【答案】；提示：因為增根是使分式的分母為零的根，由分母或可得所以增根是類型四、分式方程的應用4、甲、乙兩班參加綠化校園植樹活動，已知乙班每小時比甲班多種2棵樹，甲班種60棵樹所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹?【思路點撥】本題的等量關(guān)系為：甲班種60棵樹所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等【答案與解析】解：設(shè)甲班每小時種棵樹，則乙班每小時種棵樹由題意可，得，解這個方程，得經(jīng)檢驗是原方程的根且符合題意所以(棵)答：甲班每小時種20棵樹，乙班每小時種22棵樹【總結(jié)升華】解此題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)后，用含的分式表示甲、乙兩班種樹所用的時間舉一反三：【變式】（2015十堰）在我市開展“五城聯(lián)創(chuàng)”活動中，某工程隊承擔了某小區(qū)900米長的污水管道改造任務(wù)工程隊在改造完360米管道后，引進了新設(shè)備，每天的工作效率比原來提高了20%，結(jié)果共用27天完成了任務(wù)，問引進新設(shè)備前工程隊每天改造管道多少米？【答案】解：設(shè)原來每天改造管道x米，由題意得：+=27，解得：x=30，經(jīng)檢驗：x=30是原分式方程的解，答：引進新設(shè)備前工程隊每天改造管道30米數(shù)學是最寶貴的研究精神之一-華羅庚