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1、數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙--培根 《可化為一元一次方程的分式方程》知識(shí)講解（基礎(chǔ)） 責(zé)編：杜少波 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 了解分式方程的定義，根及增根的意義，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程． 2. 會(huì)列出分式方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題． 【要點(diǎn)梳理】 【高清課堂 405788 分式方程的解法及應(yīng)用 知識(shí)要點(diǎn)】 要點(diǎn)一、分式方程、根與增根 1.分式方程 分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程. 要點(diǎn)詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未 知數(shù). （2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式

2、方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程. 2.分式方程的根、增根及檢驗(yàn) 分式方程的解也叫作分式方程的根． 在檢驗(yàn)時(shí)只要把所求出的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母中，如果它使最簡(jiǎn)公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一個(gè)根；如果它使最簡(jiǎn)公分母的值為O，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的增根． 要點(diǎn)詮釋：（1）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方

3、程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根． （2）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根． 要點(diǎn)二、分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡(jiǎn)公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根. 2.分式方程的一般步驟： （1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整

4、式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）； （2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解； （3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解. 要點(diǎn)三、分式方程的應(yīng)用 分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題. 列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行： （1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系； （2）設(shè)未知數(shù)； （3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程； （4）解這個(gè)分式方程； （5）驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根； （6）寫(xiě)出答案.

5、 要點(diǎn)詮釋：1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這五5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫(xiě)出單位等． 2、要掌握常見(jiàn)問(wèn)題中的基本關(guān)系，如行程問(wèn)題：速度=路程時(shí)間；工作量問(wèn)題：工作效率=工作量工作時(shí)間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力． 【典型例題】 類型一、判別分式方程 1、（2016春?閔行區(qū)期末）下列方程中，不是分式方程的是（　?。? A． B． C． D． 【思路點(diǎn)撥】判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這個(gè)方程的

6、分母中是否含有未知數(shù)． 【答案】B； 【解析】解：A、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、該方程屬于無(wú)理方程，故本選項(xiàng)正確； C、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：B． 【總結(jié)升華】本題考查了分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程． 類型二、解分式方程 2、 解分式方程（1）；（2）． 【答案與解析】 解：（1）， 將方程兩邊同乘，得 ． 解方程，得 ． 檢驗(yàn)：將代入，得． ∴ 是原方程的根． （2）， 方程兩邊同乘以，得 ．

7、 解這個(gè)方程，得 ． 檢驗(yàn)：把代入最簡(jiǎn)公分母，得2×5×1＝10≠0． ∴ 原方程的解是． 【總結(jié)升華】將分式方程化為整式方程時(shí)，乘最簡(jiǎn)公分母時(shí)應(yīng)乘原分式方程的每一項(xiàng)，不要漏乘常數(shù)項(xiàng)．特別提醒：解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)方程的根． 舉一反三： 【變式】解方程：． 【答案】 解：， 方程兩邊都乘，得 ， 解這個(gè)方程，得 ， 檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，， ∴ 是增根， ∴ 原方程無(wú)解． 類型三、分式方程的增根 【高清課堂405788 分式方程的解法及應(yīng)用 例3（1）】 3、（2015春?安岳縣期中）若解關(guān)于x的分式方程會(huì)產(chǎn)生增根，求m的值． 【思路點(diǎn)撥】增根是分式方程

8、化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值． 【答案與解析】 解：方程兩邊都乘（x+2）（x﹣2），得 2（x+2）+mx=3（x﹣2） ∵最簡(jiǎn)公分母為（x+2）（x﹣2）， ∴原方程增根為x=±2， ∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4． 把x=﹣2代入整式方程，得m=6． 綜上，可知m=﹣4或6． 【總結(jié)升華】增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值． 舉一反三： 【變式】如果方程有增根，那么增根是________． 【答案】； 提示：因?yàn)樵龈鞘狗质降姆帜笧榱愕母?，?/p>

9、分母或可得．所以增根是． 類型四、分式方程的應(yīng)用 4、甲、乙兩班參加綠化校園植樹(shù)活動(dòng)，已知乙班每小時(shí)比甲班多種2棵樹(shù)，甲班種 60棵樹(shù)所用的時(shí)間與乙班種66棵樹(shù)所用的時(shí)間相等．求甲、乙兩班每小時(shí)各種多少棵樹(shù)? 【思路點(diǎn)撥】本題的等量關(guān)系為：甲班種60棵樹(shù)所用的時(shí)間與乙班種66棵樹(shù)所用的時(shí)間相等． 【答案與解析】 解：設(shè)甲班每小時(shí)種棵樹(shù)，則乙班每小時(shí)種棵樹(shù)．由題意可，得 ， 解這個(gè)方程，得 ． 經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根且符合題意． 所以(棵)． 答：甲班每小時(shí)種20棵樹(shù)，乙班每小時(shí)種22棵樹(shù)． 【總結(jié)升華】解此題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)后，用含的分式表示甲、乙兩班種樹(shù)所用的時(shí)間． 舉一反三： 【變式】（2015?十堰）在我市開(kāi)展“五城聯(lián)創(chuàng)”活動(dòng)中，某工程隊(duì)承擔(dān)了某小區(qū)900米長(zhǎng)的污水管道改造任務(wù)．工程隊(duì)在改造完360米管道后，引進(jìn)了新設(shè)備，每天的工作效率比原來(lái)提高了20%，結(jié)果共用27天完成了任務(wù)，問(wèn)引進(jìn)新設(shè)備前工程隊(duì)每天改造管道多少米？ 【答案】 解：設(shè)原來(lái)每天改造管道x米，由題意得： +=27， 解得：x=30， 經(jīng)檢驗(yàn)：x=30是原分式方程的解， 答：引進(jìn)新設(shè)備前工程隊(duì)每天改造管道30米． 數(shù)學(xué)是最寶貴的研究精神之一--華羅庚