《74一階線性微分方程》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《74一階線性微分方程（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、返回一階線性微分方程一階線性微分方程第四節(jié)第四節(jié)返回一、線性微分方程的概念一、線性微分方程的概念：形式為形式為階線性微分方程的一般階線性微分方程的一般n)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn .)()(為已知函數(shù)為已知函數(shù)、其中其中xfxPi，稱其為，稱其為如果如果0)( xf，稱其為，稱其為不恒為零不恒為零如果如果)(xf齊次線性微分方程齊次線性微分方程； 非齊次線性微分方程非齊次線性微分方程. 例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性方程線性方程;非線性方程非線性方程.微分方程微分方程，稱為稱為線性微分方程線性微分

2、方程. 關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)是一次式的關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)是一次式的返回)()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程的一般形式為的一般形式為:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)稱為稱為一階齊次線性微分方程一階齊次線性微分方程；稱為稱為一階非齊次線性微分方程一階非齊次線性微分方程., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)二、一階線性微分方程的解法二、一階線性微分方程的解法,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,)(lnln dxxPCy所以一階齊次線性方程所以一階齊次線性方程 (1) 的通解為的通解為.)( dxxPCey1. 一階齊次線性方程一階齊次線性方程)1(0)( yxPdxdy注意積分中不

3、含任意常數(shù)注意積分中不含任意常數(shù) 返回2. 一階非齊次線性方程一階非齊次線性方程).()(xQyxPdxdy 討論討論,)()(dxxPyxQydy 兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為設(shè)設(shè) ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齊次方程通解形式非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比與齊次方程通解相比:)(xuC 返回常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .),()(xyxu原未知函數(shù)原未知函數(shù)新未知函數(shù)新未知函數(shù)令令 dxxPexuy)()(,)()()

4、()()( dxxPdxxPexPxuexuy得：得：)()(xQyxPdxdy 代代入入原原方方程程和和將將yy ),()()(xQexudxxP ).()(xQyxPdxdy 求解求解返回代代入入原原方方程程得得和和將將yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 積分得積分得一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解.*yY 返回解解1: (1)先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解先求

5、對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解012yxy分離變量分離變量, 得得dxxdyy121兩邊積分得兩邊積分得 ln | y | = 2ln | x +1| + C112)1(|lnCxy2)1(1xeyC通解通解 y = C (x +1)2.)1(1225的通解的通解求方程求方程 xxyy例例1返回(2)常數(shù)變易法常數(shù)變易法設(shè)設(shè)y = C (x)(x +1)2為所求方程通解為所求方程通解, 其中其中C(x)待定待定.代入方程于是),1)(2)1)(2xxCxxCy2522)1()1)(12)1)(2)1)(xxxCxxxCxxC21)1()(xxCCdxxxC21)1()(Cx23)1(32原方程的通解為原

6、方程的通解為223)1()1(32xCxy.)1(12 :25的通解求方程例xyxy返回.)1(1225的通解的通解求方程求方程 xxyy例例1,12)( xxP這里這里,)1()(25 xxQ解解2所以方程的通解為所以方程的通解為 Cdxexeyxdxxdx122512)1( Cdxexexx)1ln(225)1ln(2)1( Cdxxx212)1()1(.)1(32)1(232 CxxdxexQeCeydxxPdxxPdxxP )()()()(返回.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP 這里這里,sin)(xxxQ 解解例例2 Cdxexxeydxxdxx11sin所

7、以方程的通解為所以方程的通解為 Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 返回例例3.22yxydxdy 解方程解方程解解原方程可化為線性方程原方程可化為線性方程yxydydx 2,)(,2)(yyQyyP 這里這里所以方程的通解為所以方程的通解為 Cdyyeexydyydy22 Cdyyeeyyln2ln2 Cydyy2 .ln2yCy 返回例例4 如圖所示，平行于如圖所示，平行于 軸的動(dòng)直線被曲線軸的動(dòng)直線被曲線 y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)(30yxdxxfx 由題意由題意 xyxydx03,即即兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,32xyy 解解解此微分方

8、程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy Cdxexeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得故所求曲線方程為故所求曲線方程為).222(32 xxeyx 與與 截下的線段截下的線段PQ 之長(zhǎng)數(shù)值之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積上等于陰影部分的面積, 求曲線求曲線 .返回稱為稱為伯努利伯努利( Bernoulli )方程方程.nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n即為即為線性微分方程線性微分方程.為為非線性微分方程非線性微分方程.時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n解法解法: 伯努利方程經(jīng)過(guò)變量代換可化為線性方程伯努利方程經(jīng)過(guò)變量代換可化

9、為線性方程.三、伯努利方程三、伯努利方程方程方程),()(1xQyxPdxdyynn ，得，得兩端除以兩端除以ny,1 nyz 令令，則則dxdyyndxdzn )1(),()1()()1(xQnzxPndxdz 代入上式有代入上式有一階線性微分方程一階線性微分方程 返回.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz Cdxexezxdxxdx22221故故.224 Cxxy即即解解，得，得兩端除以兩端除以y例例 5,21dxdyydxdz 則則,22 Cxx Cdxx212返回例例 6解解2222xxexyyy 解方程解方程222

10、2)(xxexyy 原方程可化為原方程可化為2222Cdxexeeyxdxxxdx 方程的通解為方程的通解為 Cxdxex 2.222 Cxex返回例例7 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程: :;)(sin1. 12xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 則則,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分離變量法得分離變量法得,代回代回將將xyz 所求通解為所求通解為.4)2sin(2Cxxyxy dxdzz 2sin積分得積分得dxdzz2)2cos1( 返回.1. 2yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy則則代入原式代入原式,11udxdu 分離變量法得分離變量法得,1dxduuu ,代回代回將將yxu 所求通解為所求通解為)1(ln yxCy另解另解. yxdydx 方程變形為方程變形為,ln)1ln(Cxuu 積分得積分得一階線性微分方程一階線性微分方程 返回思考題思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 解答解答yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos).cos2(cosyCy