第18講三角形與全等三角形浙江專用1三角形的邊、角關(guān)系三角形的任意兩邊之和_第三邊；三角形的內(nèi)角和等于_三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的_三角形具有穩(wěn)定性2三角形的分類按角可分為_和_，按邊可分為_和_大于180直角三角形斜三角形不等邊三角形等腰三角形和3三角形的主要線段4.全等三角形的性質(zhì)和判定(1)性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等注意：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線相等；對(duì)應(yīng)角的平分線相等；全等三角形的周長、面積也相等(2)判定：_對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)；_對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA)；_對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)；_對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)；_對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL)兩邊和夾角兩角和夾邊兩角和其中一角的對(duì)邊三邊斜邊和一條直角邊1判斷三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)，要注意不能只考察任意兩邊之和大于第三邊就下結(jié)論，應(yīng)該按照較小兩邊的和是否大于最大邊來判斷2三角形的中位線與中線的區(qū)別：三角形的中線是連結(jié)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線段，而中位線是連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段3三角形內(nèi)外角性質(zhì)的運(yùn)用技巧進(jìn)行三角形角度計(jì)算時(shí)，常常利用方程求解4構(gòu)造三角形中位線有關(guān)中點(diǎn)問題，常作輔助線構(gòu)造三角形中位線，利用三角形中位線解決問題5證明三角形全等的三種基本思路(1)有兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找夾角相等或第三邊對(duì)應(yīng)相等；(2)有一邊和一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找另一角相等或夾等角的另一邊相等；(3)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等另外，在尋求全等條件時(shí)，要善于挖掘圖形中公共邊、公共角、對(duì)頂角等隱含條件1(2016西寧)下列每組數(shù)分別是三根木棒的長度，能用它們擺成三角形的是( )A3 cm，4 cm，8 cm B8 cm，7 cm，15 cmC5 cm，5 cm，11 cm D13 cm，12 cm，20 cm2(2016金華)如圖，已知ABCBAD，添加下列條件還不能判定ABC BAD的是( )AACBDBCABDBACCDDBCAD DA3(2016麗水)如圖，在ABC中，A63，直線MNBC，且分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，若AEN133，則B的度數(shù)為_704(2016金華)如圖，已知ABCD，BCDE，若A20，C120，則AED的度數(shù)是_80三角形的三邊關(guān)系 A 1c5 【點(diǎn)評(píng)】三角形三邊關(guān)系性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，已知三角形的兩邊a，b，可確定三角形第三邊長c的取值范圍是|ab|cab.A 4 三角形的內(nèi)角、外角的性質(zhì) 【例2】(1)如圖，把一塊含有30角(A30)的直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)放在矩形CDEF的一個(gè)頂點(diǎn)C處，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)F與三角板斜邊相交于點(diǎn)F，如果140，那么AFE( )A50B40C20D10D(2)一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定A90，B和C分別是32和21，檢驗(yàn)工人量得BDC148，就斷定這個(gè)零件不合格，請(qǐng)說明理由解：延長BD交AC于E(圖略)DEC是ABE的外角，DECAB9032122.同理BDCCDEC21122143148，這個(gè)零件不合格【點(diǎn)評(píng)】有關(guān)求三角形角的度數(shù)的問題，首先要明確所求的角和哪些三角形有密切聯(lián)系，若沒有直接聯(lián)系，可添加輔助線構(gòu)建“橋梁”對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2(1)(2016樂山)如圖，CE是ABC的外角ACD的平分線，若B35，ACE60，則A( )A35 B95 C85 D75C(2)(2016大慶)如圖，在ABC中，A40，D點(diǎn)是ABC和ACB角平分線的交點(diǎn)，則BDC_110全等三角形的判定 【例3】(1)(2016永州)如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點(diǎn)，已知ABAC，現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條件仍不能判定ABE ACD( )ABC BADAECBDCE DBECDD(2)(2016泉州)如圖，ABC，CDE均為等腰直角三角形，ACBDCE90，點(diǎn)E在AB上求證：CDA CEB.【點(diǎn)評(píng)】判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.注意：AAA，SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角對(duì)應(yīng)訓(xùn)練3(1)(2016濟(jì)寧)如圖，ABC中，ADBC，CEAB，垂足分別為D，E，AD，CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：_，使AEH CEB.AHCB等(只要符合要求即可)(2)(2016丹東)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)分別在x軸、y軸上，OA3，OB4，連結(jié)AB.點(diǎn)P在平面內(nèi)，若以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與AOB全等(點(diǎn)P與點(diǎn)O不重合)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用 【例4】(2016常德)已知四邊形ABCD中，ABAD，ABAD，連結(jié)AC，過點(diǎn)A作AEAC，且使AEAC，連結(jié)BE，過A作AHCD于H，交BE于F.(1)如圖，當(dāng)E在CD的延長線上時(shí)，求證：ABC ADE；BFEF；(2)如圖，當(dāng)E不在CD的延長線上時(shí)，BFEF還成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是能正確找出全等三角形；在幾何圖形中證明線段相等的一般思路是：證明相等線段所在的三角形全等；利用相等線段的比值為1證相等對(duì)應(yīng)訓(xùn)練4(2016長春)感知：如圖，AD平分BAC，BC180，B90，易知：DBDC.探究：如圖，AD平分BAC，ABDACD180，ABD90，求證：DBDC.應(yīng)用：如圖，四邊形ABDC中，B45，C135，DBDCa，則ABAC_(用含a的代數(shù)式表示)18.留心“邊邊角” 試題如圖，已知D是ABC的邊BC上的一點(diǎn)，E是AD上的一點(diǎn)，EBEC，12.求證：BAECAE.錯(cuò)解證明：在AEB和AEC中，AEAE，EBEC，12，AEB AEC(SSA)，BAECAE.剖析 先看一個(gè)事實(shí)，如圖，將等腰ABC的底邊BC延長線上的任一點(diǎn)和頂點(diǎn)A相連，所得的DAB和DAC無疑是不全等的，由此可知，有兩邊及其一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形(簡稱“邊邊角”)不一定全等因此，在判定三角形全等時(shí)，一定要留心“邊邊角”，別上當(dāng)喲 正解證明：EBEC，34.又12，1324，即ABCACB，ABAC.在AEB和AEC中，EBEC，12，ABAC，AEB AEC(SAS)，BAECAE.