第3節(jié)等比數(shù)列 知識(shí)鏈條完善把散落的知識(shí)連起來(lái) 教材導(dǎo)讀 1 如何推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 采用什么方法 提示 可采用累積法推導(dǎo) 2 b2 ac是a b c成等比數(shù)列的什么條件 提示 必要而不充分條件 因?yàn)閎2 ac時(shí) 不一定有a b c成等比數(shù)列 如a 0 b 0 c 1 而a b c成等比數(shù)列 則必有b2 ac 3 如何推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 采用了什么方法 提示 可用錯(cuò)位相減法推導(dǎo) 知識(shí)梳理 同一個(gè) 公比 ab 2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 1 設(shè)等比數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1 公比為q q 0 則它的通項(xiàng)公式an 2 通項(xiàng)公式的推廣an am a1qn 1 qn m 3 在等比數(shù)列 an 中 等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列 即an an k an 2k an 3k 為等比數(shù)列 公比為qk 4 公比不為 1的等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 則Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比數(shù)列 其公比為qn 當(dāng)公比為 1時(shí) Sn S2n Sn S3n S2n不一定構(gòu)成等比數(shù)列 5 等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)q 1 a1 0或01 a10時(shí) an 是遞減數(shù)列 當(dāng)q 1時(shí) an 是常數(shù)列 夯基自測(cè) 1 等比數(shù)列x 3x 3 6x 6 的第四項(xiàng)等于 A 24 B 0 C 12 D 24 A C A 答案 1 5 在等比數(shù)列 an 中 各項(xiàng)均為正值 且a6a10 a3a5 41 a4a8 5 則a4 a8 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識(shí) 考點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算 想到方程的思想 反思?xì)w納 等比數(shù)列基本運(yùn)算的方法策略 1 將條件用a1 q表示 在表示Sn時(shí)要注意判斷q是否為1 2 解方程 組 求出a1 q 消元時(shí)要注意兩式相除和整體代入 3 利用a1 q研究結(jié)論 即時(shí)訓(xùn)練 1 在等比數(shù)列 an 中 若a4 a2 6 a5 a1 15 則a3 答案 1 4或 4 答案 2 28 等比數(shù)列的判定與證明 如何利用定義法證明 3 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 反思?xì)w納 2 等比中項(xiàng)法 若數(shù)列 an 中 an 0且 an an 2 n N 則數(shù)列 an 是等比數(shù)列 3 通項(xiàng)公式法 若數(shù)列通項(xiàng)公式寫(xiě)成an c qn c q均是不為0的常數(shù) n N 則數(shù)列 an 是等比數(shù)列 4 前n項(xiàng)和公式法 若數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn k qn k k為常數(shù)且k 0 q 0 1 則數(shù)列 an 是等比數(shù)列 如果判定某數(shù)列不是等比數(shù)列 只需判定其任意的連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可 即時(shí)訓(xùn)練 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 已知a1 1 Sn 1 4an 2 1 設(shè)bn an 1 2an 證明 數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 2 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 解析 1 因?yàn)閍7 a1 2a3 a3a9 a1a7 2a3a7 a3a9 2a4a6 a4 a6 2 100 故選C 例3 1 2015河南六市第二次聯(lián)考 已知數(shù)列 an 為等比數(shù)列 若a4 a6 10 則a7 a1 2a3 a3a9的值為 A 10 B 20 C 100 D 200 答案 1 C 答案 2 9 2 2015高考福建卷 若a b是函數(shù)f x x2 px q p 0 q 0 的兩個(gè)不同的零點(diǎn) 且a b 2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列 也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列 則p q的值等于 反思?xì)w納 在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問(wèn)題中 一般是利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 建立方程 組 求解 但如果靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì) 可減少運(yùn)算量 提高解題速度 備選例題 例1 2015鄭州市第三次質(zhì)量預(yù)測(cè) 已知等比數(shù)列 an 中 a2 1 則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是 A 1 B 1 1 C 3 D 1 3 例2 2015江西九江二模 如圖是一個(gè) 直角三角形數(shù)陣 已知它的每一行從左往右的數(shù)均成等差數(shù)列 同時(shí)從左往右的第三列起 每一列從上往下的數(shù)成等比數(shù)列 且所有等比數(shù)列的公比相等 記數(shù)陣第i行第j列的數(shù)為aij i j i j N 則a68等于 答案 12 例4 2014高考湖北卷 已知等差數(shù)列 an 滿足 a1 2 且a1 a2 a5成等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解 1 設(shè)數(shù)列 an 的公差為d 依題意 2 2 d 2 4d成等比數(shù)列 故有 2 d 2 2 2 4d 化簡(jiǎn)得d2 4d 0 解得d 0或d 4 當(dāng)d 0時(shí) an 2 當(dāng)d 4時(shí) an 2 n 1 4 4n 2 從而得數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2或an 4n 2 2 記Sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 是否存在正整數(shù)n 使得Sn 60n 800 若存在 求n的最小值 若不存在 說(shuō)明理由 類題探源精析把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 方法總結(jié)解決等比數(shù)列的基本計(jì)算問(wèn)題主要是利用方程思想 建立方程 組 求解 注意兩式相除 整體代換 分類討論等技巧的應(yīng)用