第四節(jié)不等式的解法 考綱要求考綱要求掌握簡(jiǎn)單不等式的解法，這里的簡(jiǎn)單不等式主要是指一掌握簡(jiǎn)單不等式的解法，這里的簡(jiǎn)單不等式主要是指一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式以及由元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式以及由它們組成的不等式組，因此我們必須熟練地掌握這些它們組成的不等式組，因此我們必須熟練地掌握這些不等式的解法不等式的解法考試熱點(diǎn)考試熱點(diǎn)簡(jiǎn)單的整式不等式、分式不等式及高次不等式的解法是簡(jiǎn)單的整式不等式、分式不等式及高次不等式的解法是高考常考的一個(gè)重要內(nèi)容，它們有時(shí)單獨(dú)出現(xiàn)在選擇高考?？嫉囊粋€(gè)重要內(nèi)容，它們有時(shí)單獨(dú)出現(xiàn)在選擇題、填空題以及解答題的前一、二題中，難度為中、題、填空題以及解答題的前一、二題中，難度為中、低檔題，有時(shí)與函數(shù)、三角、向量等知識(shí)綜合，以解低檔題，有時(shí)與函數(shù)、三角、向量等知識(shí)綜合，以解題工具的面貌出現(xiàn)在一些大、小綜合題中題工具的面貌出現(xiàn)在一些大、小綜合題中. 1關(guān)于關(guān)于x的一元一次不等式的一元一次不等式axb的解集的解集是是 .關(guān)于關(guān)于x的不等式的不等式axb的解的解集是集是R，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a、b滿足的條件是滿足的條件是.a0，b0時(shí)，x；a0時(shí)，x0(a0)的解集受的解集受a的符的符號(hào)，號(hào)，b24ac的符號(hào)影響，解題過(guò)程為：用框圖表示的符號(hào)影響，解題過(guò)程為：用框圖表示 圖圖1 3分式不等式的解法分式不等式的解法 (1)如能判斷分母的符號(hào)，可直接去分母，轉(zhuǎn)化為整式不如能判斷分母的符號(hào)，可直接去分母，轉(zhuǎn)化為整式不等式；等式； (2) (3)用穿根法用穿根法 4簡(jiǎn)單的高次不等式解法簡(jiǎn)單的高次不等式解法 穿根法操作過(guò)程穿根法操作過(guò)程 (1)把不等式變形為一邊是一次因式的積，另一邊是把不等式變形為一邊是一次因式的積，另一邊是0的的形式；形式； (2)各因式中各因式中x的系數(shù)全部變?yōu)榈南禂?shù)全部變?yōu)?，約去偶次因式；，約去偶次因式； (3)把各個(gè)根從小到大依次排好，從右上方向左下方穿根；把各個(gè)根從小到大依次排好，從右上方向左下方穿根； (4)嚴(yán)格檢查因式的根嚴(yán)格檢查因式的根(特別是約去的偶次因式的根特別是約去的偶次因式的根)是否是否在解集內(nèi)在解集內(nèi)穿根法 1不等式不等式 0的解集是的解集是() A(2,1) B(2，) C(2,1)(2，) D(，2)(1，) 解析：解析：(穿根法穿根法)原不等式等價(jià)于原不等式等價(jià)于0. 原不等式的解集為原不等式的解集為x|2x2，選選C. 答案：答案：C圖2 答案：答案：A 3不等式不等式0的解集是的解集是_ 圖圖3 解析：解析：穿根法穿根法 答案：答案：(1,12,3 4已知不等式已知不等式(k1)x22x10對(duì)一切對(duì)一切xR恒成立，恒成立，則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)k的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：解析：若若k10，即，即k1時(shí)，原不等式變?yōu)闀r(shí)，原不等式變?yōu)?x10對(duì)對(duì)一切一切xR恒成立，不合題意恒成立，不合題意 若若k10，則，則 k2. 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)k的取值范圍是的取值范圍是k2. 答案：答案：2，) 5已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)x2(x0，常數(shù)，常數(shù)aR) (1)當(dāng)當(dāng)a2時(shí)，解不等式時(shí)，解不等式f(x)f(x1)2x1； (2)討論函數(shù)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由的奇偶性，并說(shuō)明理由簡(jiǎn)單的高次不等式的解法簡(jiǎn)單的高次不等式的解法 例例1解不等式：解不等式： (1)2x3x215x0； (2)(x4)(x5)2(2x)30(或或f(x)0)可用可用“數(shù)軸標(biāo)根法數(shù)軸標(biāo)根法”求解，求解，但要注意處理好有重根的情況但要注意處理好有重根的情況圖5圖4 拓展提升拓展提升用用“穿根法穿根法”解高次不等式的一般步驟為：解高次不等式的一般步驟為：將高次不等式右邊化為將高次不等式右邊化為0，左邊最高次數(shù)項(xiàng)的系數(shù)化為正，左邊最高次數(shù)項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)，然后對(duì)左邊進(jìn)行因式分解及同解變形，設(shè)數(shù)，然后對(duì)左邊進(jìn)行因式分解及同解變形，設(shè)xnxn1x20(a0，xixj，ij)解集是右起奇解集是右起奇序數(shù)的區(qū)間序數(shù)的區(qū)間a(xx1)(xx2)(xxn)0，xixj，ij)解集是右起偶解集是右起偶序數(shù)的區(qū)間序數(shù)的區(qū)間 (1)解不等式解不等式(x3)(x2)(x1)2(x4)0. 解：解：設(shè)設(shè)y(x3)(x2)(x1)2(x4) 函數(shù)函數(shù)y的各因式的根是的各因式的根是2,1,3,4. 應(yīng)用四個(gè)根的值，把應(yīng)用四個(gè)根的值，把x的取值范圍分為五個(gè)區(qū)間：的取值范圍分為五個(gè)區(qū)間：x2，2x1,1x3,3x4. 函數(shù)函數(shù)y在上述區(qū)間取值時(shí)，函數(shù)值符號(hào)如圖在上述區(qū)間取值時(shí)，函數(shù)值符號(hào)如圖6. 由圖可知，由圖可知，y0，原不等式的解集是原不等式的解集是 x|2x1，或，或1x4圖6 (2)不等式不等式(x34x24x)(32xx2)0的解集為的解集為() Ax|x1或或1x3 Bx|0 x3且且x2 Cx|1x3 Dx|x1或或0 x2或或2x0 即即x(x1)(x3)0且且x20 x1或或0 x2或或2x0. 分析分析可轉(zhuǎn)化為整式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式(ax1)(x1)0求解求解 拓展提升拓展提升解分式不等式一般不能直接去分母，而是解分式不等式一般不能直接去分母，而是通過(guò)移項(xiàng)，把右邊化為零，左邊通分，依據(jù)分式的性質(zhì)通過(guò)移項(xiàng)，把右邊化為零，左邊通分，依據(jù)分式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為整式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式(組組)或者采用穿根法求解不論哪種或者采用穿根法求解不論哪種方法，在解帶等號(hào)的分式不等式時(shí)，要注意分子的根能方法，在解帶等號(hào)的分式不等式時(shí)，要注意分子的根能取到，而分母的根取不到；對(duì)于含參數(shù)的分式不等式，取到，而分母的根取不到；對(duì)于含參數(shù)的分式不等式，一般要分類討論，而分類的標(biāo)準(zhǔn)往往是各因式根的大小一般要分類討論，而分類的標(biāo)準(zhǔn)往往是各因式根的大小比較比較 解不等式解不等式1，解關(guān)于，解關(guān)于x的不等式的不等式2loga(x1)loga1a(x2) 分析分析本題考查對(duì)數(shù)不等式的基本解法及分類討論的本題考查對(duì)數(shù)不等式的基本解法及分類討論的思想，解對(duì)數(shù)不等式時(shí)，應(yīng)注意同解變形，即使式子有思想，解對(duì)數(shù)不等式時(shí)，應(yīng)注意同解變形，即使式子有意義，使其真數(shù)大于意義，使其真數(shù)大于0. 拓展提升拓展提升解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式首先需整體判斷不等解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式首先需整體判斷不等式所屬類型，從而采用相應(yīng)的轉(zhuǎn)化方法另外對(duì)所含的式所屬類型，從而采用相應(yīng)的轉(zhuǎn)化方法另外對(duì)所含的參數(shù)要根據(jù)解題的需要分類討論，如本題為了比較參數(shù)要根據(jù)解題的需要分類討論，如本題為了比較式式兩根兩根2和和a的大小，需分的大小，需分1a2三種情況進(jìn)三種情況進(jìn)行討論行討論 解不等式解不等式 . 不等式解法的應(yīng)用不等式解法的應(yīng)用 例例4(2009重慶一診重慶一診)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)x|xa|2. (1)當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，解不等式時(shí)，解不等式f(x)|x2|； (2)當(dāng)當(dāng)x(0,1時(shí)，時(shí)，f(x)x21恒成立，求實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值的取值范圍范圍 解解(1)a1時(shí)，時(shí)，f(x)|x2|， 即即x|x1|2|x2|.(*) 當(dāng)當(dāng)x2時(shí)，由時(shí)，由(*)x(x1)2x20 x2. 又又x2，x； 當(dāng)當(dāng)1x2時(shí)，由時(shí)，由(*)x(x1)22x 2x2. 又又1x2，1x2； 當(dāng)當(dāng)x1時(shí)，由時(shí)，由(*)x(1x)22xxR. 又又x1，x1. 綜上所述，知綜上所述，知(*)的解集為的解集為(，2) 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)，g(x)x23ax2a2(a1和和g(x)0同時(shí)成立，試求同時(shí)成立，試求a的取值的取值范圍范圍 1一元二次不等式的解集與二次項(xiàng)系數(shù)及判別式的符號(hào)一元二次不等式的解集與二次項(xiàng)系數(shù)及判別式的符號(hào)有關(guān)有關(guān) 2解分式不等式要使一邊為零，轉(zhuǎn)化為不等式組如果解分式不等式要使一邊為零，轉(zhuǎn)化為不等式組如果能分解，可用數(shù)軸標(biāo)根法或列表法能分解，可用數(shù)軸標(biāo)根法或列表法 3解高次不等式的思路是降低次數(shù)，利用數(shù)軸標(biāo)根法求解高次不等式的思路是降低次數(shù)，利用數(shù)軸標(biāo)根法求解較為容易解較為容易 4解含參數(shù)的不等式的基本途徑是分類討論，能避免討解含參數(shù)的不等式的基本途徑是分類討論，能避免討論的應(yīng)設(shè)法避免討論論的應(yīng)設(shè)法避免討論