第三講 函數(shù)及其圖象函數(shù)及其圖象一一. .知識(shí)解讀知識(shí)解讀 函數(shù)及其圖象是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是初中數(shù)學(xué)知識(shí)的深化與提高，是眾多基礎(chǔ)知識(shí)的綜合，在新課程體系中函數(shù)的思想貫穿著整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的許多方面，函數(shù)及其圖象也是展示學(xué)生知識(shí)綜合能力的重要方面.函數(shù)及其圖象的知識(shí)與方程、不等式、多邊形、圓等知識(shí)聯(lián)系緊密，是綜合類題型的知識(shí)基礎(chǔ)，因此，函數(shù)及其圖象不僅是中考命題中重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，也是各省市中考?jí)狠S題出現(xiàn)頻率最高的內(nèi)容之一，所以函數(shù)及其圖象是我們中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的核心與重點(diǎn)，必須很好的掌握這一部分的內(nèi)容.二二. .知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu) 函數(shù)及其圖象主要包含四大部分內(nèi)容，變量與函數(shù)和位置的確定及函數(shù)圖象、一次函數(shù)及其圖象性質(zhì)與應(yīng)用、反比例函數(shù)及其圖象性質(zhì)與應(yīng)用、二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)與應(yīng)用和三類函數(shù)的綜合應(yīng)用. 二二. .知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)函 數(shù) 及 其 圖 象平面直角坐標(biāo)系 坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo) 函 數(shù) 一次函數(shù) 一次函數(shù)的定義 平面直角坐標(biāo)系的概念 特殊位置點(diǎn)的坐標(biāo) 函數(shù)的概念 函數(shù)關(guān)系的表示方法 解析法 函數(shù)自變量的取值范圍 列表法 圖象法 正比例函數(shù)的定義 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 一次函數(shù)的應(yīng)用 待定系數(shù)法確定解析式 兩直線的位置 二二. .知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)函 數(shù) 及 其 圖 象反比例函數(shù) 反比例函數(shù)的定義 與直線的位置關(guān)系 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 反比例函數(shù)的應(yīng)用 二次函數(shù) 二次函數(shù)的定義 待定系數(shù)法確定解析式 二次函數(shù)的圖象 二次函數(shù)的性質(zhì) 拋物線的特征與系數(shù)的關(guān)系 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 拋物線的特殊位置與系數(shù)關(guān)系拋物線的平移規(guī)律 對稱軸 開口方向 增減性頂點(diǎn)坐標(biāo) 待 定 系數(shù) 法 確定 函 數(shù)解 析式 頂點(diǎn)式一般式 兩根式三三. .考點(diǎn)透視考點(diǎn)透視 1考點(diǎn)要求：變量與函數(shù)部分變量與函數(shù)部分： 會(huì)舉出函數(shù)的實(shí)例，能分辨常量與變量、自變量與因變量（函數(shù)）；掌握函數(shù)的三種表示方法，能用適當(dāng)方法的刻畫某些實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系；對解析式只含有一個(gè)自變量的簡單的函數(shù)，會(huì)確定它們的自變量取值范圍和求它們的函數(shù)值； 會(huì)畫直角坐標(biāo)系，并根據(jù)坐標(biāo)確定點(diǎn)和由點(diǎn)求出坐標(biāo)；會(huì)用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象；會(huì)求平面內(nèi)一點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)的對稱點(diǎn)； 能結(jié)合圖象對簡單的實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析，嘗試對變量的變換規(guī)律進(jìn)行預(yù)測.三三. .考點(diǎn)透視考點(diǎn)透視 1考點(diǎn)要求：一次函數(shù)部分一次函數(shù)部分： 理解一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念，會(huì)畫出它們的圖象，能根據(jù)圖象理解相關(guān)問題； 會(huì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、正比例函數(shù)的解析式； 會(huì)解有關(guān)一次函數(shù)的應(yīng)用問題； 能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程的近似值. 三三. .考點(diǎn)透視考點(diǎn)透視1考點(diǎn)要求：反比例函數(shù)部分：反比例函數(shù)部分： 理解反比例函數(shù)的定義：形如 ；會(huì)畫它的圖象； 明確反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它的兩個(gè)分支分別分布在兩個(gè)象限，明確其增減性； 理解反比例函數(shù)中 的比例系數(shù) k 的幾何意義.)0(kxky)0(kxky三三. .考點(diǎn)透視考點(diǎn)透視 1考點(diǎn)要求：二次函數(shù)部分二次函數(shù)部分： 對給定的二次函數(shù)，會(huì)確定其自變量取值的范圍和建立簡單的函數(shù)關(guān)系，用描點(diǎn)法畫出其圖象； 會(huì)求二次函數(shù)的解析式、開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸和與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)； 會(huì)解有關(guān)二次函數(shù)的應(yīng)用題，包括簡單的最值問題，有關(guān)函數(shù)問題與一元二次方程、不等式、三角形、四邊形、多邊形、圓等知識(shí)結(jié)合的題目，多數(shù)成為的壓軸題.三三. .考點(diǎn)透視考點(diǎn)透視2應(yīng)用方法：變量與函數(shù)部分：變量與函數(shù)部分： 深入理解函數(shù)的概念，掌握求函數(shù)自變量取值范圍和函數(shù)值的方法； 理解平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)定義、構(gòu)成方法，以及平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征； 緊密聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活，隨時(shí)注意身邊的數(shù)學(xué). 三三. .考點(diǎn)透視考點(diǎn)透視2應(yīng)用方法：一次函數(shù)部分：一次函數(shù)部分： 掌握一次函數(shù)、正比例函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)。會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.三三. .考點(diǎn)透視考點(diǎn)透視2應(yīng)用方法：反比例函數(shù)部分：反比例函數(shù)部分： 明確定義，能用待定系數(shù)法求解析式，畫反比例函數(shù)圖象的方法； 能用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題； 能用 確定矩形面積，解決相關(guān)問題. k三三. .考點(diǎn)透視考點(diǎn)透視2應(yīng)用方法：二次函數(shù)部分：二次函數(shù)部分： 會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象，會(huì)用配方法確定拋物線的頂點(diǎn)和對稱軸； 會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式； 會(huì)利用已有的知識(shí)構(gòu)建幾何圖形，提高綜合能力來解決問題.三三. .考點(diǎn)透視考點(diǎn)透視3命題方向：變量與函數(shù)部分：變量與函數(shù)部分： 這一部分內(nèi)容多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于低擋題，有時(shí)在綜合題中也有所涉及，屬于基本知識(shí)； 主要考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征的問題，以填空題、選擇題為主； 聯(lián)系生活實(shí)際，描述預(yù)測事物的變化規(guī)律，反映函數(shù)關(guān)系是一個(gè)重要的考查內(nèi)容. 三三. .考點(diǎn)透視考點(diǎn)透視3命題方向：一次函數(shù)部分：一次函數(shù)部分： 這部分節(jié)是中考考查的重要知識(shí)點(diǎn)，題型多樣、新穎、靈活，有應(yīng)用題、開放探索題、閱讀題，也有圖表閱讀理解題.常與方程、不等式、幾何等聯(lián)系綜合命題，且有加強(qiáng)的趨勢.三三. .考點(diǎn)透視考點(diǎn)透視3命題方向：反比例函數(shù)部分反比例函數(shù)部分： 近幾年來中考題中主要考查求正、反比例函數(shù)解析式； 利用圖象及性質(zhì)解決問題這兩方面進(jìn)行考查，多以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)； 運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行能力方面的考查略有加強(qiáng)，多數(shù)為中、高檔試題，以解答題為主.三三. .考點(diǎn)透視考點(diǎn)透視3命題方向：二次函數(shù)部分二次函數(shù)部分： 二次函數(shù)的概念常為中檔題，主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)、確定解析式、自變量的取值范圍等，題型多樣； 二次函數(shù)的解析式、開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等是中考命題的熱點(diǎn)，綜合類題型較多； 拋物線的性質(zhì)、平移、最值等在選擇題、填空題中都出現(xiàn)過，覆蓋面積較大，而且這些內(nèi)容的綜合題一般來說都較難些，在解答題中出現(xiàn). 四四. .例題精講例題精講例1 （2006年益陽）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A（-2，1），B（-3，-1），C（1，-1）若四邊形ABCD為平行四邊形，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)是_ （2006年德州）將點(diǎn)A（3，1）繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到點(diǎn)B，則點(diǎn)B 的坐標(biāo)是_. 四四. .例題精講例題精講思路分析：由平行四邊形的性質(zhì)可得，AD/BC且ADBC，再由平移的性質(zhì)，因?yàn)锽（-3，-1），C（1，-1），所以BC4，所以把A（-2，1）水平向右平移4個(gè)單位長度，得到D的坐標(biāo)是（2， 1）；根據(jù)題意得AOB90且 ， 相當(dāng)于將AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到BOD，如圖1所示，可得點(diǎn)B 的坐標(biāo)是（1，3）. 101322四四. .例題精講例題精講知識(shí)考查：在常見的幾何圖形中的頂點(diǎn)的表示方法以及直角坐標(biāo)系中圖形平移及旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)變化關(guān)系.解：（2， 1）；（1，3）.四四. .例題精講例題精講例2 （2006年山西）代數(shù)式 有意義時(shí)，字母x的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 11x0 x0 x10 xx且10 xx且四四. .例題精講例題精講思路分析：使代數(shù)式有意義，要求組成代數(shù)式的各部分都要意義，所以根據(jù)題意有 ，所以 ， 故選D.知識(shí)考查：求函數(shù)自變量的取值范圍及其方法步驟.解：D.010 xx10 xx且四四. .例題精講例題精講例3（2006年重慶）如圖，已知函數(shù)y=ax+b和y=kx的圖象交于點(diǎn)P，則根據(jù)圖象可得，關(guān)于 的二元一次方程組的解是 . kxybaxy四四. .例題精講例題精講思路分析：本題在考查利用圖象法求解二元一次方程組，利用函數(shù)圖象兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)（4，2），即為此方程組的解.因此，方程組的解為 .知識(shí)考查：圖象法解二元一次方程組和一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系.解： . 24yx24yx四四. .例題精講例題精講例4（2006年浙江）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（2，5）和（1，1）兩點(diǎn).（1）在給定的坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；（2）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.四四. .例題精講例題精講思路分析：（1）一次函數(shù)的圖象是一條直線，利用（2，5）和（1，1）兩點(diǎn)坐標(biāo)可畫出函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.知識(shí)考查：一次函數(shù)的解析式和圖象.四四. .例題精講例題精講解：（1）如圖所示，圖象就是過（2，5）和（1，1）兩點(diǎn)的一條直線.（2）設(shè)該一次函數(shù)解析式為y=kx+b，根據(jù)題意，有 ，解得 ，函數(shù)解析式為y=2x+1.bkbk12512bk四四. .例題精講例題精講例5（2006年湘西自治區(qū)）如圖，直線OQ的函數(shù)解析式為y=x下表是直線a的函數(shù)關(guān)系中自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值設(shè)直線a與x軸交點(diǎn)為B，與直線OQ交點(diǎn)為C，動(dòng)點(diǎn)P(m，0)(0m3)在OB上移動(dòng)，過點(diǎn)P作直線l與x軸垂直四四. .例題精講例題精講例5（2006年湘西自治區(qū)）（1）根據(jù)表所提供的信息，請?jiān)谥本€OQ所在的平面直角坐標(biāo)系中畫出直線a的圖象，并說明點(diǎn) (10，10)不在直線a的圖象上；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）設(shè)OBC中位于直線左側(cè)部分的面積為S，寫出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）試問是否存在點(diǎn)P，使過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線l平分OBC的面積，若有，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若無，請說明理由. 四四. .例題精講例題精講思路分析：（1）根據(jù)表格的信息，利用（2，2）和（3，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)可畫出直線a的圖象；根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求直線a的解析式并判斷(10，10)的位置；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)就是直線OQ和直線a的解析式組成的方程組的解；（3）要明確OBC中位于直線左側(cè)部分的圖形形狀，然后依此和已知條件確定S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）結(jié)合圖形和已知條件，存在這樣的點(diǎn)P.知識(shí)考查：一次函數(shù)的解析式和圖象的綜合應(yīng)用，應(yīng)用一次函數(shù)知識(shí)解決相關(guān)的幾何問題.四四. .例題精講例題精講解：（1）由表中信息可知點(diǎn) (2，2)，(3，0)在直線a上，描點(diǎn)連線得直線a的圖象，如圖 由待定系數(shù)法可求得直線a的解析式為 y=2x+6 點(diǎn)(10，10)的坐標(biāo)不滿足y=2x+6，所以點(diǎn)(10，10)不在直線a圖象上；（2）解方程組，得x=y=2， 故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，2)； 四四. .例題精講例題精講解：（3）當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， ；（4）若有這樣的P點(diǎn)，使直線l平分OBC的面積，很顯然 .由于OBC面積等于3，故當(dāng)l平分OBC面積時(shí)， ， ， 解得 ，故存在這樣的P點(diǎn)，使直線l平分OBC的面積點(diǎn)P的坐標(biāo)為 20 m221mS 32 m 666232123212mmmmS20 m23S23212m3m03，四四. .例題精講例題精講例6（2006武漢）如圖，已知點(diǎn)A是一次函數(shù)y=x圖象與反比例函數(shù) 的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，點(diǎn)B 在 x 軸的負(fù)半軸上，且OA=OB，那么AOB的面積為（ ）. A. 2 B. C. D. xy222222四四. .例題精講例題精講思路分析：這是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合. 如圖，過點(diǎn)A作ACx 軸于點(diǎn)C，可知點(diǎn) A的坐標(biāo)為 （ ， ），所以 ，則有OA=OB2，因此 ，故選C.知識(shí)考查：考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用.解：C.221AOCS2222121ACOBSAOB四四. .例題精講例題精講例7（2006年泉州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（4，12）為雙曲線上的一點(diǎn).(1)求k的值；(2)過雙曲線上的點(diǎn)P作PBx 軸于B，連接OP，若RtOPB的兩直角邊的比值為 ，試求點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)分別過雙曲線上的兩點(diǎn)P1、P2，作P1B1x 軸于B1，作P2B2x 軸于B2，連接OP1、OP2. 設(shè)RtOP1B1、RtOP2B2的周長分別為l1、l2，內(nèi)切圓的半徑分別為r1、r2，若 ，試求 的值. 41221ll21rr四四. .例題精講例題精講思路分析：這是反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用.對(1)的條件可直接求出 k 的值 k=48；對(2)設(shè)P(m，n)，于是有 mn =48，根據(jù)RtOPB的兩直角邊的比值為 ，可得 ，解得 ， 或 ， ，因此 或 ；對(3)根據(jù)內(nèi)切圓與三邊之間的關(guān)系列等式，從而根據(jù)周長與半徑的關(guān)系求出 的值.知識(shí)考查：考查反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)與相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用. 4141nm32m38n32n38m3832，P3238，P21rr四四. .例題精講例題精講解：(1)根據(jù)題意，得 ，所以k=48； (2) 由(1)得，雙曲線的解析式為 ，設(shè)P(m，n)，則有 mn=48 ，當(dāng) 時(shí)，即 ，由得 ，所以 （舍去負(fù)值），所以 ，因此 ；當(dāng) 時(shí)，同理可求得 ；412kxy4841PBOB41nm122m32m38n3832，P41OBPB3238，P四四. .例題精講例題精講解：(3) 由(1)得，雙曲線的解析式為 ，如圖在RtOP1B1中，設(shè)OB1 a1，P1B1b1，OP1c1，則P1的坐標(biāo)為P1（a1，b1），所以a1b148；在RtOP2B2中，設(shè)OB2 a2，P2B2b2， OP2c2，則P2的坐標(biāo)為P2（a2，b2），所以a2b248；由三角形面積公式可得， ， 又 ， ， ，即 ，又 ， ，即 .xy48242121111111barcba242121222222barcba22221111rcbarcba1111cbal2222cbal2211rlrl1221rrll221ll212rr2121rr四四. .例題精講例題精講例8（2006年青海）如圖，已知y=x2ax+a+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D(0，8)，直線CD平行于x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C.動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD運(yùn)動(dòng).同時(shí)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng).連接PQ、CB，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒.(0t2)(1)求a的值；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ平行于y軸；(3)當(dāng)四邊形PQBC的面積等于14時(shí)，求t的值.四四. .例題精講例題精講思路分析：這是二次函數(shù)在幾何問題中的綜合應(yīng)用.對(1)拋物線與y軸交于點(diǎn)D(0，8)，代入y=x2ax+a+2，可得 a=6，y=x26x+8；對(2)PQ平行于y軸，P、Q的縱坐標(biāo)相同，又可得C(6，8)，A(2，0)，B(4，0)， CP=2 t ，AQ= t ，P(62 t，8)、Q(2t，8)，62 t2t，得 ；對(3)由面積可得t1.5.知識(shí)考查：考查二次函數(shù)有關(guān)性質(zhì)在幾何問題中的綜合應(yīng)用 .34t四四. .例題精講例題精講解：(1)拋物線與y軸交于點(diǎn)D(0，8)，代入y=x2ax+a+2，可得 a=6；(2)當(dāng)a=6時(shí)，拋物線的解析式為y=x26x+8，當(dāng)y=8時(shí)， x26x+8=8，得x1=2，x2=6,C(6，8)，當(dāng)y=0時(shí)， x26x+8=0，得x1=2，x2=4，A(2，0)，B(4，0)，CP=2 t ，AQ= t ，PQ平行于y軸，P、Q的縱坐標(biāo)相同，P(62 t，8)、Q(2t，8)，62 t2t，得 ；當(dāng) 時(shí)，PQ平行于y軸；34t34t四四. .例題精講例題精講解：(2) ，4 t814，得t1.5，當(dāng)t1.5時(shí)，四邊形PQBC的面積等于14.84824221tttSPQBC四邊形四四. .例題精講例題精講例9（2006年河北）利達(dá)經(jīng)銷店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）.當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸.該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加7.5噸.綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元.設(shè)每噸材料售價(jià)為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）.(1)當(dāng)每噸售價(jià)為240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；(3)該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？(4)小靜說：“當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額也最大”.你認(rèn)為對嗎？請說明理由.四四. .例題精講例題精講思路分析：這是二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用.根據(jù)題意，列出二次函數(shù)的關(guān)系式，配方后，運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)解題.知識(shí)考查：考查二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用. 四四. .例題精講例題精講解：(1)由題意得， 45（260240）7.510=60(t)；(2)根據(jù)題意得， ，化簡，得 ；(3) 配方，得： ，利達(dá)經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價(jià)應(yīng)定價(jià)為每噸210元； 5 . 71026045100 xxy24000315432xxy9075210432xy四四. .例題精講例題精講解:(4)我認(rèn)為，小靜說的不對.理由：方法一：當(dāng)月利潤最大時(shí)，x為210元，而對于月銷售額來說，當(dāng)x為160元時(shí)，月銷售額W最大.當(dāng)x為210元時(shí)，月銷售額W不是最大，小靜說的不對.方法二：當(dāng)月利潤最大時(shí)，x為210元，此時(shí)月銷售額為17325元；而當(dāng)x為200元時(shí)，月銷售額為18000元，1732518000，當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額W不是最大，小靜說的不對.19200160435 . 710260452xxxW 再 見！