§2.7　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù) 函數(shù) (時(shí)間：45分鐘　滿(mǎn)分：100分) 一、選擇題(每小題7分，共35分) 1．函數(shù)y＝的定義域是 (　　) A．{x|0<x<2} B．{x|0<x<1或1<x<2} C．{x|0<x≤2} D．{x|0<x<1或1<x≤2} 2．已知0<loga2<logb2，則a、b的關(guān)系是 (　　) A．0<a<b<1 B．0<b<a<1 C．b>a>1 D．a(chǎn)>b>1 3．(2010·天津)設(shè)a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，則 (　　) A．a(chǎn)<c<b B．b<c<a C．a(chǎn)<b<c D．b<a<c 4．(2010·全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝，若a≠b，且f(a)＝f(b)，則a＋b的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B. C．(2，＋∞) D. 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x的反函數(shù)為y＝g(x)，若g＝，則a等于 (　　) A．－2 B．－ C. D．2 二、填空題(每小題6分，共24分) 6．已知＝ (a>0)，則＝________. 7．已知0<a<b<1<c，m＝logac，n＝logbc，則m與n的大小關(guān)系是________． 8．函數(shù)f(x)＝ (x2－2x－3)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________． 9．函數(shù)y＝ (x2－6x＋17)的值域是__________． 三、解答題(共41分) 10．(13分)計(jì)算下列各題： (1)； (2)2(lg)2＋lg·lg 5＋. 11.(14分)已知f(x)＝loga (a>0，a≠1)． (1)求f(x)的定義域； (2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明； (3)求使f(x)>0的x的取值范圍． 12．(14分)若函數(shù)y＝lg(3－4x＋x2)的定義域?yàn)镸.當(dāng)x∈M時(shí)，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值 及相應(yīng)的x的值． 答案 1．D 2．D 3．D 4．C 5．C　 6．3 7．m>n 8．(－∞，－1) 9．(－∞，－3] 10．解　(1)原式＝＝＝1. (2)原式＝lg(2lg＋lg 5)＋ ＝lg(lg 2＋lg 5)＋|lg－1| ＝lg·lg(2×5)＋1－lg＝1. 11．解　(1)∵f(x)＝loga，需有>0， 即(1＋x)(1－x)>0，即(x＋1)(x－1)<0，∴－1<x<1. ∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)． (2)f(x)為奇函數(shù)，證明如下： ∵f(－x)＝loga＝loga－1 ＝－loga＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)． (3)loga>0 (a>0，a≠1)， ①當(dāng)0<a<1時(shí)，可得0<<1， 解得－1<x<0.又－1<x<1， 則當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)>0的x的取值范圍為(－1,0)． ②當(dāng)a>1時(shí)，可得>1，解得0<x<1. 即當(dāng)a>1時(shí)，f(x)>0的x的取值范圍為(0,1)． 綜上，使f(x)>0的x的取值范圍是： a>1時(shí)，x∈(0,1)；0<a<1時(shí)，x∈(－1,0)． 12．解　∵y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2>0， 解得x<1或x>3，∴M＝{x|x<1，或x>3}， f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2. 令2x＝t，∵x<1或x>3， ∴t>8或0<t<2. ∴f(t)＝4t－3t2＝－32＋(t>8或0<t<2)． 由二次函數(shù)性質(zhì)可知： 當(dāng)0<t<2時(shí)，f(t)∈， 當(dāng)t>8時(shí)，f(x)∈(－∞，－160)， 當(dāng)2x＝t＝，即x＝log2時(shí)，f(x)max＝. 綜上可知：當(dāng)x＝log2時(shí)，f(x)取到最大值為，無(wú)最小值． 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ) §1.1　集合的概念及其基本運(yùn)算 (時(shí)間：45分鐘　滿(mǎn)分：100分) 一、選擇題(每小題7分，共35分) 1．(2010·廣東)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|0<x<2}，則集合A∩B等于 (　　) A．{x|－1<x<1} B．{x|－2<x<1} C．{x|－2<x<2} D．{x|0<x<1} 2．(2010·陜西)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，則A∩(?RB)等于 (　　) A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2} 3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{2,3,5}，N＝{4,5}，則?U(M∪N)等于 (　　) A．{1,3,5} B．{2,4,6} C．{1,5} D．{1,6} 4．如果全集U＝R，A＝{x|2<x≤4}，B＝{3,4}，則A∩(?UB)等于 (　　) A．(2,3)∪(3,4) B．(2,4) C．(2,3)∪(3,4] D．(2,4] 5．已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，則?R(A∩B)等于(　　) A．(－∞，3)∪(5，＋∞) B．(－∞，3)∪[5，＋∞) C．(－∞，3]∪[5，＋∞) D．(－∞，3]∪(5，＋∞) 二、填空題(每小題6分，共24分) 6．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，則A∩B＝ ________________. 7．已知集合A＝{x|－x2＋2x＋3>0}，B＝{x|x－2<0}，則A∩(?RB)＝____________. 8．已知集合M＝{x|x＝n＋，n∈Z}，N＝{x|x＝n＋1，n∈Z}，則集合M與N的關(guān)系為 __________． 9．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 三、解答題(共41分) 10．(13分)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}且BA，求a的值． 11.(14分)已知集合A＝{x|≥1，x∈R}，B＝{x|x2－2x－m<0}， (1)當(dāng)m＝3時(shí)，求A∩(?RB)； (2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求實(shí)數(shù)m的值． 12．(14分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R， m∈R}． (1)若A∩B＝[0,3]，求實(shí)數(shù)m的值； (2)若A??RB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 答案 1．D 2．D 3．D 4．A 5．B 6．{(0,1)，(－1,2)} 7．[2,3) 8．MN(yùn) 9．a(chǎn)≤1 10．解　∵BA，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a. ①由a2－a＋1＝3得a2－a－2＝0解得a＝－1或a＝2. 當(dāng)a＝－1時(shí)，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，滿(mǎn)足BA， 當(dāng)a＝2時(shí)，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，滿(mǎn)足BA. ②由a2－a＋1＝a得a2－2a＋1＝0， 解得a＝1， 當(dāng)a＝1時(shí)，A＝{1,3,1}不滿(mǎn)足集合元素的互異性． 綜上，若BA，則a＝－1或a＝2. 11．解　由≥1，得≤0. ∴－1<x≤5，∴A＝{x|－1<x≤5}． (1)當(dāng)m＝3時(shí)，B＝{x|－1<x<3}， 則?RB＝{x|x≤－1或x≥3}， ∴A∩(?RB)＝{x|3≤x≤5}． (2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}， ∴有42－2×4－m＝0，解得m＝8. 此時(shí)B＝{x|－2<x<4}，符合題意，故實(shí)數(shù)m的值為8. 12．解　由已知得A＝{x|－1≤x≤3}， B＝{x|m－2≤x≤m＋2}． (1)∵A∩B＝[0,3]，∴　∴m＝2. (2)?RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}，∵A??RB， ∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3. 誤區(qū)警示　由A??RB轉(zhuǎn)化不等式時(shí)，易出現(xiàn)錯(cuò)解，注意借助數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合． §1.2　命題及其關(guān) 系、充要條件 (時(shí)間：45分鐘　滿(mǎn)分：100分) 一、選擇題(每小題7分，共35分) 1．命題：“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是 (　　) A．若x2≥1，則x≥1或x≤－1 B．若－1<x<1，則x2<1 C．若x>1或x<－1，則x2>1 D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1 2．已知集合M＝{x|0<x<1}，集合N＝{x|－2<x<1}，那么“a∈N”是“a∈M”的 (　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 3．(2010·江西)對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的 (　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 4．(2009·重慶)命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是 (　　) A．“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” B．“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)” C．“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” D．“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)” 5．已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，則“A?B”是“a>5”的 (　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 二、填空題(每小題6分，共24分) 6．(2009·江蘇)設(shè)α和β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題： ①若α內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于β內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，則α平行于β； ②若α外一條直線(xiàn)l與α內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則l和α平行； ③設(shè)α和β相交于直線(xiàn)l，若α內(nèi)有一條直線(xiàn)垂直于l，則α和β垂直； ④直線(xiàn)l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線(xiàn)垂直． 上面命題中，真命題的序號(hào)是__________(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))． 7．已知p是r的充分條件而不是必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s 的必要條件．現(xiàn)有下列命題： ① s是q的充要條件；②p是q的充分條件而不是必要條件；③r是q的必要條件而不 是充分條件；④綈p是綈s的必要條件而不是充分條件；⑤r是s的充分條件而不是必 要條件． 則正確命題序號(hào)是________． 8．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命題，則x的取值范圍是________． 9．已知p：，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，若q是p的必要非充分條件， 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________． 三、解答題(共41分) 10．(13分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q 的充分而不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 11.(14分)求證：關(guān)于x的一元二次不等式ax2－ax＋1>0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件 是0<a<4. 12．(14分)已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝ . (1)當(dāng)a＝時(shí)，求(?UB)∩A； (2)命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 答案 1．D 2．B 3．B 4．B 5．B 6．①② 7．①②④ 8．[1,2) 9．[9，＋∞) 10．解　由題意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5. ∴綈p：x<1或x>5. q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：x<m－1或x>m＋1. 又∵綈p是綈q的充分而不必要條件， ∴　∴2≤m≤4. 11．證明　(1)必要性：若ax2－ax＋1>0對(duì)x∈R恒成立， 由二次函數(shù)性質(zhì)有： ，即，∴0<a<4. (2)充分性：若0<a<4，對(duì)函數(shù)y＝ax2－ax＋1， 其中Δ＝a2－4a＝a(a－4)<0且a>0， ∴ax2－ax＋1>0對(duì)x∈R恒成立． 由(1)(2)知，命題得證． 12．解　(1)當(dāng)a＝時(shí)， A＝＝ B＝＝ ∴?UB＝. ∴(?UB)∩A＝. (2)∵a2＋2>a，∴B＝{x|a<x<a2＋2}． ①當(dāng)3a＋1>2，即a>時(shí)，A＝{x|2<x<3a＋1}． ∵p是q的充分條件，∴A?B. ∴，即<a≤. ②當(dāng)3a＋1＝2，即a＝時(shí)，A＝?，符合題意； ③當(dāng)3a＋1<2，即a<時(shí)，A＝{x|3a＋1<x<2}， 由A?B得，∴－≤a<. 綜上所述：a∈. §1.3　簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、 全稱(chēng)量詞與存在量詞 (時(shí)間：45分鐘　滿(mǎn)分：100分) 一、選擇題(每小題7分，共35分) 1．(2010·湖南)下列命題中的假命題是 (　　) A．存在x∈R，lg x＝0 B．存在x∈R，tan x＝1 C．任意x∈R，x3>0 D．任意x∈R,2x>0 2．命題“任意x>0，x2＋x>0”的否定是 (　　) A．存在x>0，x2＋x>0 B．存在x>0，x2＋x≤0 C．任意x>0，x2＋x≤0 D．任意x≤0，x2＋x>0 3．下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是 (　　) A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為：“若x2＝1，則x≠1” B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件 C．命題“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“任意x∈R，均有x2＋x＋1<0” D．命題“若x＝y(tǒng)，則sin x＝sin y”的逆否命題為真命題 4．已知p：|x－a|<4；q：(x－2)(3－x)>0，若綈p是綈q的充分不必要條件，則a的取值范 圍為 (　　) A．a(chǎn)<－1或a>6 B．a(chǎn)≤－1或a≥6 C．－1≤a≤6 D．－1<a<6 5．已知命題p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命題q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若“p 且q”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．a(chǎn)＝1或a≤－2 B．a(chǎn)≤－2或1≤a≤2 C．a(chǎn)≥1 D．－2≤a≤1 二、填空題(每小題6分，共24分) 6．對(duì)于命題：①任意x∈N，x2>0；②任意x∈Q，x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④任意x， y∈R，|x|＋|y|>0.其中是全稱(chēng)命題并且是真命題的是________．(填序號(hào)) 7．在“綈p”，“p且q”，“p或q”形式的命題中“p或q”為真，“p且q”為假， “綈p”為真，那么p，q的真假為p______，q______. 8．已知命題p：x2＋2x－3>0；命題q：>1，若綈q且p為真，則x的取值范圍是 ______________． 9．下列結(jié)論： ①若命題p：存在x∈R，tan x＝1；命題q：任意x∈R，x2－x＋1>0.則命題“p且綈q” 是假命題； ②已知直線(xiàn)l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，則l1⊥l2的充要條件是＝－3； ③命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”．其 中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______．(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上) 三、解答題(共41分) 10．(13分)寫(xiě)出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命題，并 判斷其真假． (1)p：2是4的約數(shù)，q：2是6的約數(shù)； (2)p：矩形的對(duì)角線(xiàn)相等，q：矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分； (3)p：方程x2＋x－1＝0的兩實(shí)根的符號(hào)相同，q：方程x2＋x－1＝0的兩實(shí)根的絕對(duì)值 相等． 11.(14分)已知命題p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0.命題q：存在x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0. 若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 12．(14分)已知命題p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命題q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x0滿(mǎn) 足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命題“p或q”是假命題，求a的取值范圍． 答案 1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．② 7．假　真 8．(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) 9．①③ 10．解　(1)p或q：2是4的約數(shù)或2是6的約數(shù)，真命題； p且q：2是4的約數(shù)且2也是6的約數(shù)，真命題； 非p：2不是4的約數(shù)，假命題． (2)p或q：矩形的對(duì)角線(xiàn)相等或互相平分，真命題； p且q：矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分，真命題； 非p：矩形的對(duì)角線(xiàn)不相等，假命題． (3)p或q：方程x2＋x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根符號(hào)相同或絕對(duì)值相等，假命題； p且q：方程x2＋x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根符號(hào)相同且絕對(duì)值相等，假命題； 非p：方程x2＋x－1＝0的兩實(shí)數(shù)根符號(hào)不同，真命題． 11．解　∵任意x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立， 即a≤x2恒成立，∴a≤1. 即p：a≤1，∴綈p：a>1. 又存在x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0. ∴Δ＝(a－1)2－4>0，∴a>3或a<－1， 即q：a>3或a<－1，∴綈q：－1≤a≤3. 又p或q為真，p且q為假，∴p真q假或p假q真． 當(dāng)p真q假時(shí)，{a|a≤1}∩{a|－1≤a≤3}＝{a|－1≤a≤1}． 當(dāng)p假q真時(shí)，{a|a>1}∩{a|a<－1或a>3}＝{a|a>3}． 綜上所述，a的取值范圍為{a|－1≤a≤1}∪{a|a>3}． 12．解　由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0, ∴x＝或x＝－a， ∴當(dāng)命題p為真命題時(shí)≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一個(gè)實(shí)數(shù)x0滿(mǎn)足x＋2ax0＋2a≤0”，即拋物線(xiàn)y＝x2＋2ax＋2a與x軸只有一 個(gè)交點(diǎn)， ∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2. ∴當(dāng)命題q為真命題時(shí)，a＝0或a＝2. ∴命題“p或q”為真命題時(shí)，|a|≤2. ∵命題“p或q”為假命題， ∴a>2或a<－2. 即a的取值范圍為{a|a>2或a<－2}． [來(lái)源于：星火益佰高考資源網(wǎng)()] [來(lái)源于：星火益佰高考資源網(wǎng)()] [來(lái)源于：星火益佰高考資源網(wǎng)()] [來(lái)源于：星火益佰高考資源網(wǎng)()]