離散型隨離散型隨機(jī)變量的機(jī)變量的均值與方均值與方差、正態(tài)差、正態(tài)分布分布1.1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均方差的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題方差概念解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題. .2.2.借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義及曲線所表示的意義. . 返回目錄返回目錄 求隨機(jī)變量的期望與方差，這部分知識(shí)綜合性強(qiáng)，涉及求隨機(jī)變量的期望與方差，這部分知識(shí)綜合性強(qiáng)，涉及排列、組合和概率，仍會(huì)以解答題出現(xiàn)，以應(yīng)用題為背排列、組合和概率，仍會(huì)以解答題出現(xiàn)，以應(yīng)用題為背景命題是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)景命題是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn).返回目錄返回目錄 1.離散型隨機(jī)變量的均值 一般地一般地,若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：的分布列為：Xx1x2xixnPp1p2pi pn名師伴你行返回目錄返回目錄 則稱則稱EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量它反映了離散型隨機(jī)變量 . （1）E（aX+b）= . （2）若）若X服從兩點(diǎn)分布，則服從兩點(diǎn)分布，則EX= . （3）若）若XB（n,p），則），則EX= . 2.離散型隨機(jī)變量的方差 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：的分布列為：Xx1x2xixnPp1p2pi pn取值的取值的 平均水平平均水平 aEX+b P np 名師伴你行返回目錄返回目錄 則（則（xi-EX）2描述了描述了xi(i=1,2,n)相對(duì)于均值相對(duì)于均值EX的偏離程度的偏離程度.而而DX= 為這些偏離程為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫(huà)了隨機(jī)變量度的加權(quán)平均，刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值與其均值EX的平的平均偏離程度均偏離程度.我們稱我們稱DX為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)的方差，其算術(shù)平方根平方根 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差. 隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量量 .方差或標(biāo)準(zhǔn)差越方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度 . （1）D（aX+b）= . （2）若）若X服從兩點(diǎn)分布，則服從兩點(diǎn)分布，則DX= . （3）若）若XB(n,p)，則，則DX= .i i2 2i i1 1p pE EX X) )- -( (x x=n ni iD DX X 取值偏離于均值的平均程度取值偏離于均值的平均程度 越小越小 a2DXp(1-p) np(1-p) 名師伴你行返回目錄返回目錄 3.正態(tài)分布 函數(shù)函數(shù),(x)= x(-,+)，其中實(shí)，其中實(shí)數(shù)數(shù)和和（0）為參數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)）為參數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線稱正態(tài)曲線. 如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)ab，隨機(jī)變量，隨機(jī)變量X滿足滿足 P（aq)，且不同，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立.記記為該生取得優(yōu)秀成為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程數(shù)，其分布列為績(jī)的課程數(shù)，其分布列為54返回目錄返回目錄 （1）求該生至少有）求該生至少有1門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率；門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率；（2）求）求p,q的值；的值；（3）求數(shù)學(xué)期望）求數(shù)學(xué)期望E().0123Pab125612524返回目錄返回目錄 【分析【分析】第第(1)問(wèn)考查對(duì)立事件問(wèn)考查對(duì)立事件,第第(2)問(wèn)可通過(guò)列方程組求問(wèn)可通過(guò)列方程組求出出,第第(3)問(wèn)由公式問(wèn)由公式E()=x1P1+x2P2+xnPn求出期望求出期望.【解析【解析】事件事件Ai表示表示“該生第該生第i門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)”，i=1,2,3.由題意知由題意知P(A1)= ,P(A2)=p,P(A3)=q.(1)由于事件由于事件“該生至少有該生至少有1門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)”與事件與事件“=0”是對(duì)立的，所以該生至少有是對(duì)立的，所以該生至少有1門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率是的概率是1-P(=0)=1- = .(2)由題意知由題意知P(=0)=P(A1A2A3)= (1-p)(1-q)= ,5412524125119511256返回目錄返回目錄 P(=3)=P(A1A2A3)= pq= .整理得整理得pq= ,p+q=1.由由pq，可得，可得p= ,q= .(3)由題意知由題意知a=P(=1)=P(A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）= （1-p)(1-q)+ p(1-q)+ (1-p)q= ,b=P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)= .所以所以E()=0P(=0)+1P(=1)+2P(=2)+3P(=3)= .54125242565352545151125371255859返回目錄返回目錄 求期望的關(guān)鍵是寫(xiě)出分布列求期望的關(guān)鍵是寫(xiě)出分布列. 返回目錄返回目錄 2010年高考山東卷年高考山東卷某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽，第一輪選拔某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽，第一輪選拔共設(shè)有共設(shè)有A,B,C,D四個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：四個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：每位參加者計(jì)分器的初始分均為每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問(wèn)題分，答對(duì)問(wèn)題A,B,C,D分別加分別加1分、分、2分、分、3分、分、6分，答錯(cuò)任一題減分，答錯(cuò)任一題減2分分.每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局.每位參加者按問(wèn)題每位參加者按問(wèn)題A,B,C,D順序作答，直至答題結(jié)束順序作答，直至答題結(jié)束.返回目錄返回目錄 假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題A,B,C,D回答正確的概率依次回答正確的概率依次為為 ， ， ， ，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響有影響.（1）求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；）求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；（2）用）用表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望的分布列和數(shù)學(xué)期望E().43213141【解析【解析】設(shè)設(shè)A,B,C,D分別表示甲同學(xué)正確回答第一、分別表示甲同學(xué)正確回答第一、二、三、四個(gè)問(wèn)題，二、三、四個(gè)問(wèn)題，A，B，C，D分別表示甲同學(xué)第分別表示甲同學(xué)第一、二、三、四個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，它們是對(duì)立事件，一、二、三、四個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，它們是對(duì)立事件，由題意得由題意得返回目錄返回目錄 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= ,P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= .(1)記記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件為事件Q，則則Q=ABC+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.每題結(jié)果相互獨(dú)立，每題結(jié)果相互獨(dú)立，P(Q)=P(ABC+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)43213141412132434141322141413121414132214341312143312143 返回目錄返回目錄 (2)由題意知，隨機(jī)變量由題意知，隨機(jī)變量的可能取值為：的可能取值為：2，3，4,則則P(=2)=P(A B)= = ,P(=3)=P(ABC+ABC)= ,P(=4)=1-P(=2)-P(=3)=1- - = .因此因此的分布列為的分布列為41218183322143312143 818321234P818321返回目錄返回目錄 甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量隨機(jī)變量與與，且，且，的分布列為：的分布列為：計(jì)算計(jì)算,的期望與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)優(yōu)劣的期望與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)優(yōu)劣.10109 98 87 76 65 50 0P P0.50.20.10.10.050.05010109 98 87 76 65 50 0P P0.10.10.10.10.20.20.2返回目錄返回目錄 依題意，有依題意，有E=100.5+90.2+80.1+70.1+60.05+50.05+00=8.85（環(huán)）（環(huán)）. E=100.1+90.1+80.1+70.1+60.2+50.2+00.2=5.6（環(huán)）（環(huán)）. D=(10-8.85)20.5+(9-8.85)20.2+(8-8.85)20.1+(5-8.85)20.05+(0-8.85)20=2.227 5, D=(10-5.6)20.1+(9-5.6)20.1+(8-5.6)20.1+(5-5.6)20.2+(0-5.6)20.2=10.24, 利用利用,的分布列，用期望、方差公式計(jì)算的分布列，用期望、方差公式計(jì)算出它們的值，再根據(jù)期望、方差的實(shí)際意義作出分析出它們的值，再根據(jù)期望、方差的實(shí)際意義作出分析.返回目錄返回目錄 所以所以EE，說(shuō)明甲的平均水平比乙高，又因?yàn)?，說(shuō)明甲的平均水平比乙高，又因?yàn)镈2)=0.023,則則P(-22)=()A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977【答案【答案】C【解析【解析】由由N(0,2),且且P(2)=0.023,知知P(-22)=1-2P(2)=1-0.046=0.954.故應(yīng)選故應(yīng)選C.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄