專 題 一專 題 一 1. 1. 函數(shù)思想函數(shù)思想，就是運用運動和變化的觀點、，就是運用運動和變化的觀點、集合與對應的思想去分析和研究數(shù)學問題中的集合與對應的思想去分析和研究數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系，建立或構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再運用函數(shù)數(shù)量關(guān)系，建立或構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題，達到轉(zhuǎn)化問題的目的圖象和性質(zhì)去分析問題，達到轉(zhuǎn)化問題的目的，從而使問題獲得解決的思想的，從而使問題獲得解決的思想. . 方程思想，就是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運方程思想，就是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型方程或方程組，通過解方程或方程組或者運方程或方程組，通過解方程或方程組或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決的思想解決的思想. . 2. 2. 運用函數(shù)思想解決問題主要從以下四個方面著手運用函數(shù)思想解決問題主要從以下四個方面著手： 一是根據(jù)方程與函數(shù)的密切關(guān)系，可將方程轉(zhuǎn)化為一是根據(jù)方程與函數(shù)的密切關(guān)系，可將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)來解決；函數(shù)來解決； 二是根據(jù)不等式與函數(shù)的密切關(guān)系，可將不等問題二是根據(jù)不等式與函數(shù)的密切關(guān)系，可將不等問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)圖象和性質(zhì)進行處理；轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)圖象和性質(zhì)進行處理； 三是在決實際問題中，常涉及到最值問題，三是在決實際問題中，常涉及到最值問題，通常通過建立目標函數(shù)，利用求函數(shù)最值的通常通過建立目標函數(shù)，利用求函數(shù)最值的方法加以解決；方法加以解決； 四是中學數(shù)學的某些數(shù)學模型（如數(shù)列的通四是中學數(shù)學的某些數(shù)學模型（如數(shù)列的通項公式或前項公式或前n n項和公式，含有一個未知量的二項和公式，含有一個未知量的二項式等）可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)相關(guān)項式等）可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)相關(guān)知識或借助處理函數(shù)問題的方法進行解決知識或借助處理函數(shù)問題的方法進行解決. . 3.3.運用方程思想解決問題主要從以下四個方面著手：運用方程思想解決問題主要從以下四個方面著手： 一是把問題中的已知與未知建立等量關(guān)系，通過解方程一是把問題中的已知與未知建立等量關(guān)系，通過解方程解決；解決； 二是從問題的結(jié)構(gòu)入手找出主要矛盾，抓住一個關(guān)鍵變二是從問題的結(jié)構(gòu)入手找出主要矛盾，抓住一個關(guān)鍵變量，將等式看成關(guān)于這個主變元的方程，利用方程的特量，將等式看成關(guān)于這個主變元的方程，利用方程的特征解決；征解決； 三是根據(jù)幾個變量間的關(guān)系符合某些方程的性質(zhì)和特征三是根據(jù)幾個變量間的關(guān)系符合某些方程的性質(zhì)和特征（如利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程等），通過研究方程（如利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程等），通過研究方程所具有的性質(zhì)和特征解決；所具有的性質(zhì)和特征解決； 四是中學數(shù)學中常見的數(shù)學模型（如函數(shù)、曲線等），四是中學數(shù)學中常見的數(shù)學模型（如函數(shù)、曲線等），常轉(zhuǎn)化為方程問題去解決常轉(zhuǎn)化為方程問題去解決. .22222 550.50,02404.52510210252024.2.1abcaxbxcaxbxcbacbacbaaccaca cacbacBB ：由題意有因為是實系數(shù)方程的一個實根 即方程至少有一個根，所以，所以故選去分母移項兩解法解法 ：邊平方解析:有，所以故選222251(0),5A.4B.4C.4D.4bcaabcRabacbacbacbac已知：， 、 、則有（）1例 .考點考點1 1 選取變元，構(gòu)造函數(shù)或方程選取變元，構(gòu)造函數(shù)或方程2.12bac通 過 簡 單 轉(zhuǎn) 化 ， 敏 銳 地 抓 住了 數(shù) 與 式 的 特 點 ， 運 用 方 程 的 思 想 使 問 題得 到 解 決 轉(zhuǎn) 化 為是 、 的 函 數(shù) ， 運 用 基 本 不等 式 求 解 ， 思 路 清 晰 、 自【 評 析 】然 水方 法方到 渠 成法 【評析評析】本題通過構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性本題通過構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性解不等式解不等式. .解法巧妙、簡捷解法巧妙、簡捷. . 234log,(0,).( )(0,)15,( )(1)1.f xxxxCxf xff xfx令易判斷在上單調(diào)遞增，又原不等式可化為解，所以 故選析：234log5A. B.C. |1D. |2xxxx xx x不等式 的解集為（） 式題：變+RR111112log112321231.aannnnna已知不等式對于一切大于 的自然數(shù) 都成立求實數(shù)例2的取值范圍.考點考點2 2 函數(shù)性質(zhì)的應用函數(shù)性質(zhì)的應用 .2 3 4.12log1.123.annna由于不等式的左端不能化簡成一個關(guān)于的解析式，故常規(guī)解法不行由題設寫出當， ， ， 時成立的不等式，求解也無法進行從函數(shù)的觀點看，左式可看作關(guān)于 的函數(shù)，故原不等式成立可轉(zhuǎn)化成此函數(shù)的最小值大于怎么求函數(shù)的最小值呢？應從函數(shù)的分：性質(zhì)入手析1111( )1232(*2 .2*(1)( )11111()232212211111()123221111 022121 (21)(1)( )(*,2),(2)(3)(4)(5)f nnnnnnNnnnNf nf nnnnnnnnnnnnnnnf nf n nNnffff令，且）當，時 ，所以且故解析：. ( )(*,2)1172.3412152712log11212315log (1)11.2aaf n nNnfaaaa所以且的最小值為又因為恒成立，則實數(shù) 的取值范圍為，解得 (1,所以).( )( ).( ).f nf nf n本 題 主 要 考 查 了 函 數(shù) 、 數(shù) 列 、 對 數(shù) 等 知 識的 綜 合 應 用 能 力 和 閱 讀 分 析 能 力 解 答 本 題 的 關(guān) 鍵 是建 立 目 標 函 數(shù)， 而 由 于無 法 求 和 常 規(guī) 數(shù) 列方 法 就 不 起 作 用 ， 而 應 采 用 函 數(shù) 的 思 想 ， 用 研 究 函數(shù) 單 調(diào) 性 的 方 法 研 究 數(shù) 列 單 調(diào) 性 ， 求 出的 最 小 值結(jié) 合 不 等 式 恒 成 立 ， 進 一 步 用 函 數(shù) 與 方 程 思 想 分析 突 破 ， 因 此 函 數(shù) 不 僅 可 以 解 決 方 程 、 不 等 式 的 問題 ， 也 可 以 解 決 數(shù) 列 問 題 ， 這 種 思 想 在 解 數(shù) 學 試 題中 尤【析 】為 重 要評 21121111*).2311( )log (1).20nnnmSnnf nSSmnf nm 已知（設，試確定實數(shù) 的取值范圍使得對于一切大于 的正整數(shù) ，變式不等式立題：恒成N1 2111( )(),2321111(1)( )2223234 0,2223 (2)119( )( )2().4520911log (1)20201log11,mmf nnnnnf nf nnnnnnnnf nf nfnmm 因為所以所以為增函數(shù)，故所以恒成立,即解析：115(,).loglog1log.1151,1,2.2mmmmmmmmmmm即又所以解得所以實數(shù) 的取值范圍是 11(0 0)(3 0),(2 0)(1).21;(0 0).ABCOFDAPPAMOBC已知在平面直角坐標系中的一個橢圓的中心在，左焦點， 右頂點，設點，（ ）求該橢圓的標準方程（ ）若 是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程過，的直線交橢圓于 、 ，求例3.的最大值23S考點考點3 3 選定主元，構(gòu)造函數(shù)選定主元，構(gòu)造函數(shù)2222122222(0,0)1.2 02.3 0314(1).1.OxxyabDaFcabcbxy由于橢圓的中心在，焦點在軸上，則設橢圓的標準方程為由于右頂點為（ ， ），則因為解析：橢圓方左焦點為 （， ），所由得程為以，故222222,).141212112222212121411)41.242M x yPx yxPyMPAxxxxyyyyxyxyM 令 （）與之相應的動點 為（因為動點 在橢圓上有，且為的中點，所以，即，代入橢圓方程，得即（為所求點的軌（跡方程）22221| 12(,),(,).14,(14)40,AkyBCbS ABCBCxOBCykxB x yC xyykxxyykx當直線的斜率 不存在時，直線為 軸，此時，當直線過（ ， ）且斜率存在時，可設直線的方程為，聯(lián)立，（去）消得1122220 03121222222222222240,.1441141441,1|211|1112422141| 21|14441.114144xxx xkkBCkkkABCkdkkkS ABCBC dkkkkkkkkk所以由弦長公式，由點到直線的距離公式得到的距離為，1044;110,44(),212.22.kkkkkkkkS ABCABC 由于 時， 時此可知時，的最大綜上所述，三角形面積的最大為值為值時時.ABCk將表 示 為 關(guān) 于 的 函 數(shù) ， 利 用目 標 函 數(shù) 求 最 值 是 函 數(shù) 思 想 的 重 要 應 用 也是 求 最 值 常 用【 評 析 】的 方 法S變式題：直線M:Y=KX+1和雙曲線X2-Y2=1的左支交于A、B兩點.直線L過P（-2，0）和線段AB的中點M，求L在Y軸上的截距B的取值范圍. 分析：分析：b的變化是由的變化是由k的變化而引起的，即對于的變化而引起的，即對于k的的任一確定的值，任一確定的值，b有確定值與之對應，因而有確定值與之對應，因而b是是k的函的函數(shù)，即所求為這個函數(shù)的值域數(shù)，即所求為這個函數(shù)的值域.22222222122122221(1)1,(1)220(1)2201,48(1)020112.201(1)( 1)2120ykxxxyykxkxmkxkxkkkxxkkxxkkk 由消去得因為直線 與雙曲線的左支有兩個交點，即方程有兩個根，且均小于等于所以,解得 解析： 212012000022222(,),1111( 2,0),(0, )112.22( )2212( 2)( )1( )022)( )221( )2.0 xxxkkM xyykxkkPMQbkkbkkf kbbkkff kff kf kf k 設則由， （），三點共線，所以又在（， ）上解得為減函數(shù)，所以，且，所以 （或，且 【評析評析】據(jù)函數(shù)的思想建立據(jù)函數(shù)的思想建立b與與k的函數(shù)關(guān)系，據(jù)的函數(shù)關(guān)系，據(jù)方程的思想，運用二次方程的理論具體求出方程的思想，運用二次方程的理論具體求出b的表達的表達式是解此題的兩個關(guān)鍵問題式是解此題的兩個關(guān)鍵問題.不少解析幾何問題中的不少解析幾何問題中的某些元素處于運動變化之中，存在著相互聯(lián)系，相某些元素處于運動變化之中，存在著相互聯(lián)系，相互制約的量，它們之間往往構(gòu)成函數(shù)關(guān)系互制約的量，它們之間往往構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.對于直線對于直線和曲線交點問題，經(jīng)常要轉(zhuǎn)化為方程問題，用方程和曲線交點問題，經(jīng)常要轉(zhuǎn)化為方程問題，用方程的理論加以解決的理論加以解決.2(2,cos2 )( ,sin),2 ,2A.-6 1 B.4 8C.-1,1 D.-1,6mmmabmab設兩個向量和其中 、 、 為實數(shù),若則的取值范圍是（） ， ， 備選例題：2222222222 ,cos2sin.22,22cos2sin492sincos4sin2sin3(sin1)2.mmmmmmmm 由題知由有因為（），所以解析： 【評析評析】本題主要考查三角函數(shù)、向量、不等本題主要考查三角函數(shù)、向量、不等式的綜合運用以及函數(shù)與方程思想的靈活運用式的綜合運用以及函數(shù)與方程思想的靈活運用. .2649212.4226,1 ,.mmmmAm 所以，解得所以選 構(gòu)造函數(shù)或確定方程主要手段有以下幾種：構(gòu)造函數(shù)或確定方程主要手段有以下幾種： 選取變元，確定新的函數(shù)關(guān)系；選取變元，確定新的函數(shù)關(guān)系； 選定主元，揭示函數(shù)；選定主元，揭示函數(shù)； 分析結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)解方程、不等式及數(shù)列問題；分析結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)解方程、不等式及數(shù)列問題； 在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中通過列方程（組）在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中通過列方程（組）解決；解決； 立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，常立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，常需運用列方程（組）或建立函數(shù)關(guān)系的方法去解決需運用列方程（組）或建立函數(shù)關(guān)系的方法去解決. .1.(2011)12.xxaxa若不等式對任意恒成立，則 的取值范圍是_陜西卷_R 121121221312121232121221233(13.afxxxxfxxxxxxxfxxxxxxfxxxxxxfxxxaa 依題意只要 不大于函數(shù)的最小值即可當時，；當時，；當 時，綜上解析：實可得的最小值為 ，數(shù) 的取值范圍是所以只要，即， 3(1)2,2A1B 2C 32.(D 42011)kababaa b 重慶卷 已知向量， ，且與 共線，那么的值為(31 21 24.2)31201kkkk abaabba由條件知，因為與 共線，所以，得，所以解析：