第3講平面向量的數(shù)量積 1 兩個向量的數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a與b 它們的夾角為 則數(shù)量 a b cos 叫做a與b的數(shù)量積 或內(nèi)積 記作a b 即a b a b cos 規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0 即0 a 0 2 平面向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積a b等于a的長度 a 與b在a的方向上的投影 b cos 的乘積 3 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a b都是非零向量 e是單位向量 為a與b 或e 的夾角 則 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 當(dāng)a與b同向時 a b a b 反 當(dāng)a與b 向時 a b a b 4 cos a ba b 5 a b a b 4 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量a x1 y1 b x2 y2 向量a與b的夾角為 則 1 a b x1x2 y1y2 4 a b a b 0 x1x2 y1y2 0 1 已知a 2 b 4 10 且a b 則實(shí)數(shù) 的 值為 C A 45 B 45 C 5 D 5 2 已知向量a b滿足 a 4 b 1 且a b 2 則a 與b的夾角大小為 B 3 已知向量a x y b 1 2 且a b 1 3 則 a C 5 考點(diǎn)1 平面向量的數(shù)量積 例1 1 2014年大綱 已知a b為單位向量 其夾角為60 則 2a b b A 1 B 0 C 1 D 2 解析 2a b b 2a b b2 2 a b cos b 2 2 1 1 cos60 1 0 故選B 答案 B 2 2013年山東泰安統(tǒng)測 如圖4 3 1 已知正六邊形 P1P2P3P4P5P6下列向量的數(shù)量積中最大的是 圖4 3 1 答案 A 3 2013年大綱 已知向量m 1 1 n 2 2 若 m n m n 則 A 4C 2 B 3D 1 解析 因?yàn)閙 n 2 3 3 m n 1 1 由 m n m n 可得 m n m n 2 3 3 1 1 2 6 0 解得 3 答案 B 考點(diǎn)2 平面向量的夾角與垂直 例2 1 2015年重慶 若非零向量a b滿足 a b 且 a b 3a 2b 則a與b的夾角為 答案 A D 2 2015年福建 設(shè)a 1 2 b 1 1 c a kb 若b c 則實(shí)數(shù)k的值等于 A 32 B 53 C 53 32 解析 由已知得c 1 2 k 1 1 k 1 k 2 因?yàn)閎 答案 A c 則b c 0 因此k 1 k 2 0 解得k 故選A 互動探究 1 2015年重慶 已知非零向量a b滿足 b 4 a 且a 2a b 則a與b的夾角為 C 考點(diǎn)3平面向量的模及應(yīng)用例3 1 2011年全國 已知a與b均為單位向量 其夾角為 有下列四個命題 其中的真命題是 A P1 P4 B P1 P3 C P2 P3 D P2 P4 答案 A 答案 D 規(guī)律方法 1 求向量的模的方法 公式法 利用 a 及 a b 2 a 2 2a b b 2 把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算 幾何法 利用向量的幾何意義 即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量 再利用余弦定理等方法求解 2 求向量模的最值 范圍 的方法 代數(shù)法 把所求的模表示成某個變量的函數(shù) 再用求最值的方法求解 幾何法 數(shù)形結(jié)合法 弄清所求的模表示的幾何意義 結(jié)合動點(diǎn)表示的圖形求解 互動探究 m 或m 2 易錯 易混 易漏 向量中錯誤使用充要條件造成問題解答不全 例題 已知向量a m 2 m 3 b 2m 1 m 2 1 若向量a與b的夾角為直角 求實(shí)數(shù)m的值 2 若向量a與b的夾角為鈍角 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 正解 1 若a與b的夾角為直角 則a b 0 即 m 2 2m 1 m 3 m 2 0 43 2 若向量a與b的夾角為鈍角 則a b 0 且a與b不共線 m 2 2m 1 m 3 m 2 0 且 m 2 m 2 m 3 2m 1 0 失誤與防范 兩個向量a b 0等價于 a b a b 0 相當(dāng)于夾 角的余弦值小于零 我們知道cos 10中包括了兩個向量同向共線和夾角為銳角兩種情況 這兩點(diǎn)在解題中要特別注意 1 1 0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別 0a 0 0 a a 0 0 a 0 0 0 2 0的方向是任意的 并非沒有方向 0與任何向量平行 我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系 2 a b 0不能推出a 0或b 0 因?yàn)閍 b 0時 有可能 a b 3 在運(yùn)用向量夾角時 注意其取值范圍 0 4 在用 a 求向量的模時 一定要把求出的a2再進(jìn)行 開方 5 向量數(shù)量積不滿足消去律 如a b a c不能得到b c