第二節(jié)證明不等式的基本方法【教材基礎回顧】1.比較法ababaa3b2+a2b3.【證明】因為a5+b5-(a3b2+a2b3)=a5-a2b3+b5-a3b2=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)2(a2+ab+b2)(a+b),又因為ab,所以(a-b)20,又a,bR+,所以a2+ab+b20,a+b0,故(a-b)2(a2+ab+b2)(a+b)0,即a5+b5a3b2+a2b3.2.已知a0,b0,c0,且a,b,c不全相等,求證: bcacaba b c.abc 【證明】因為a,b,c(0,+),所以 同理 因為a,b,c不全相等,所以上述三個不等式中至少有一個等號不成立,三式相加,得 2(a+b+c),即 a+b+c.bcacbc ac22c.ababacababbc2a2b.bcca， bcacab2()abc bcacababc 3.求證: 【證明】 故原不等式成立.3726. 22 37263726 10 2 21 10 4 621 2 621 24.4.已知a0且a1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),試比較P,Q的大小.【解析】P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)= 當0a1時,0a3+1a2+1,0 0,所以PQ.3a2a1log.a132a1a13a2a1log0.a1當a1時,a3+1a2+10, 1,所以 即P-Q0,所以PQ.所以,綜上所述,PQ.32a1a13a2a1log0.a1【母題變式溯源】題號題號知識點知識點源自教材源自教材1 1作差法比作差法比較大小較大小P21P21例例1 12 2綜合法綜合法P23P23例例1 13 3分析法分析法P24P24例例3 34 4作差法比作差法比較大小較大小P26P26習題習題2.2T72.2T7考向一 綜合法證明不等式【典例1】(2015全國卷)設a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d.證明:(1)若abcd,則 (2) 是|a-b|cd得 因此 2aba b 2 ab, 2cdc d 2 cd. 22abcd .abcd.(2)(i)若|a-b|c-d|,則(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得 abcd.(ii)若 則 即 因為a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.abcd，22abcd，a b 2 abc d 2 cd. 因此|a-b|c-d|.綜上, 是|a-b|0,b0,a3+b3=2,證明:(1)(a+b)(a5+b5)4.(2)a+b2.【證明】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)所以(a+b)38,因此a+b2.233 a b)3 a b)2a b) 244 （，2.已知ABC中角A,B,C所對的邊長分別為 a,b,c,且其中任意兩邊長均不相等.若a,b,c成等差數(shù)列.求證:0B 3【證明】因為ABC的三邊a,b,c成等差數(shù)列,所以2b=a+c,再根據(jù) 所以B 所以00,b0,2ca+b,求證: 22ccaba ccab. 【證明】要證 只要證 即要證|a-c| 即要證(a-c)2c2-ab,即要證a2-2ac0,所以即要證a-2c-b,即要證a+b0,a,bR,求證: 222a mbamb().1 m1 m【證明】因為m0,所以1+m0.欲證 成立.只需證明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),即證m(a2-2ab+b2)0,只要證明a2-2ab+b20,222a mbamb()1 m1 m又a2-2ab+b2=(a-b)20顯然成立,故 222a mbamb().1 m1 m2.已知ab,求證: 【證明】要證 只需證: (a-b)2,即1+a2- +1+b2a2-2ab+b2,化簡1+ab 22| 1 a1 ba b|.|22| 1 a1 ba b|，22 21 a1 b（）222 1 a1 b221 a1 b ,當1+ab0時,顯然成立,當1+ab0時,只需證(1+ab)2(1+a2)(1+b2),即1+2ab+a2b22ab,即只需證a2+b22ab即可,又ab,所以a2+b22ab,綜上可知,當ab時, 成立.22| 1 a1 ba b|考向三 比較法證明不等式 高頻考點【典例3】(1)當p,q都是正數(shù)且p+q=1時,試比較(px+qy)2與px2+qy2的大小.(2)已知a,bR+,求證:aabb a b2ab.【解析】(1)(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因為p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因為p,q為正數(shù),所以-pq(x-y)20,所以(px+qy)2px2+qy2.當且僅當x=y時,不等式中等號成立.(2) 當a=b時, 當ab時, 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知 a bb aa bab222a b2a baab( ).baba b2a( )1b；aa b10b2，a b2a( )1b，當ab0時, a ba ba bb aba222a b2a bbab( ).aaba b2b( )1a；a b2ba bb010( )1a2a ，；當ba0時, 所以 1,即abba a b2ba bb10( )1a2a， b aa b2a bab a b2ab.【技法點撥】比較法證明不等式的步驟1.作差比較法(1)作差比較法證明不等式的一般步驟:作差:將不等式左右兩邊的式子看作一個整體作差;變形:將差式進行變形,化簡為一個常數(shù),或通分,因式分解變形為若干個因式的積,或配方變形為一個或幾個平方和等;判號:根據(jù)已知條件與上述變形結果,判斷不等式兩邊差的正負號;結論:肯定不等式成立的結論.(2)作差比較法的應用范圍:當被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時,一般使用作差比較法.2.作商比較法(1)作商比較法證明不等式的一般步驟:作商:將不等式左右兩邊的式子作商;變形:將商式的分子放(縮),分母不變,或分子不變,分母放(縮),或分子放(縮),分母縮(放),從而化簡商式為容易和1比較大小的形式;判斷:判斷商與1的大小關系,就是判斷商大于1或小于1或等于1;結論.(2)作商比較法的應用范圍:當被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時,一般使用作商比較法.【同源異考金榜原創(chuàng)】命題點1作差法證明不等式1.已知a,b為正實數(shù).(1)求證: a+b.(2)利用(1)的結論求函數(shù)y= (0 x0,b0,所以 當且僅當a=b時等號成立.所以 a+b.223322ababa b ab(a b)baab 222a a bb a ba ba b.abab 2a ba b0ab ，22abba(2)因為0 x0,由(1)的結論,函數(shù)y= (1-x)+x=1.當且僅當1-x=x即x= 時等號成立.所以函數(shù)y= (0 x0,所以只需證a2+c2-b20,即a2+c2b2,因為a2+c22ac,所以只需證2acb2,由已知得2ac=b(a+c).所以只需證b(a+c)b2,即a+cb,顯然成立.所以B為銳角.