專 題 二專 題 二 11200()ABABAB 向量的概念及表示向量的概念：既有大小又有方向的量注意向量和數(shù)量的區(qū)別向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段零向量和單位向量：長度為 的向量叫做零向量，記作 ，注意零向量的方向是任意的；長度為一個單位長度的向量叫做單位向量 與共線的單位向量是 112221213()()/4()()()A xyB xyABxxyy 相等向量和平行向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；平行向量 也叫共線向量 ：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量 也叫共線向量 ，記作，規(guī)定零向量和任一向量平行向量的坐標(biāo)表示：若，則，aba b 121 1222312.向量加減法運算幾何運算：當(dāng)一個向量的終點為另一個向量的起點時，用向量加法的三角形法則；當(dāng)兩個向量的起點相同時，用向量加法的平行四邊形法則代數(shù)運算：代數(shù)運算是指向量的坐標(biāo)運算，即相應(yīng)的坐標(biāo)相減平面向量的基本定理如果 和 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) 、 ，使12eeaaee 112212121|()()2|cos .()().4xyaxyxyxyx xy y平面向量的兩種積實數(shù)與向量的積：實數(shù) 與向量 的積仍是一個向量，模等于，與向量 的方向關(guān)系根據(jù) 的符號確定若， ，則，兩個向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量 ， ，它們的夾角為 ，則若，則aaaaaaba b = a |bab =a b 112212211122121210/.()()/500.20()()0 xyxyx yx yxyxyx xy y平面向量的兩種位置關(guān)系兩個向量平行的充要條件是：符號語言：當(dāng)時，坐標(biāo)語言：設(shè)，則，即向量坐標(biāo)“交叉相乘”的差等于兩個非零向量垂直的充要條件是：符號語言：；坐標(biāo)語言：設(shè)，則，即向量坐標(biāo)“同名相乘”的和ba bababa baba babab0.等于 12121211122212121()()().112.1()()(67PPPP xyxxyyP xyP xyxyOOPOPPPPPOPP xyhkP xy ababa 線段定比分點的兩種形式坐標(biāo)形式：若點 分所成的比為 ，且， ，則，向量形式：在平面內(nèi)任取一點 ，若，則平移公式：如果點， 按向量， 平移至，).xxhyyk，則 12 (sinsinsin)2sinsinsinsinsinsinsinsinsin2 sin2 sin.82 sinabcR RABCABCaA aA bBbB cC cCa b cABCaRA bRBcRC正弦定理定理表達式：為的外接圓的半徑定理等價式：，；， 22222222222222222212cos2cos2cos .2coscos22cos.923abcbcA bcaacBcababCbcacabABbccaabcCab余弦定理定理表達式：，定理等價式：，功能作用：已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角 1,212 5/522.2babcac =a cc2b =a+ baab已知向量 、 、 是同一平面內(nèi)的三個向量，其中若，且，求 的坐標(biāo)；若，且與垂直，求 與例的夾角1.考點考點1 1 向量的基本運算向量的基本運算 12cab第小題，先設(shè)向量 的坐標(biāo)，然后利用向量的坐標(biāo)運算及向量平行的充要條件建立方程即可解答；第小題利用向量垂直的條件確定向量 與 的關(guān)系，然后再結(jié)合向量的夾角公分析：式求解 22()2 52 5/2 -022,4(-142442 - )xyxyx yxxyy c =cc =a c=.=c令， ，則由知，又由知，聯(lián)立可解得，或解析：故或， 2222222222023022cos|1,2125522552cos-1.253520,2 222222a + ba -ba + ba -b =2b2aa + a b - 2b =a b =32b2abaa b cos=33 aba =a =b =.=由與垂直知，即，所以，即，所以，而由知，又，所以因為，所以 ()2a b本題是一道將平面向量的重點知識 向量垂直與平行充要條件、數(shù)量積與向量的夾角、向量的坐標(biāo)運算等 融合在一起的綜合題本題的解答主要是待定系數(shù)法的應(yīng)用，而第小題的解答【評析】關(guān)鍵是確定的值 1,2(22)14()23abc = a+bb c aa+ baab已知向量，設(shè)，求；若與 垂直，求 的值；求向量 在 方向上變式題：的投影1,2(22)44,8(22)6,62 62()0(1.60)0 b c aabc = a+b cab因為，所以，所以，以解所析： 22231,2(22)(21,22 )212(22 )0cos .1 2222cos.|25.222222 ，由于與 垂直，所以，所以設(shè)向量 與 的夾角為 ，向量 在 方向上的投影為所以a+ ba+ baababaa bab 4223.12cos(2)3ABCABCABACSABCB.已 知中 ，求外 接 圓 的 面 積 ；求例 2的 值 12AAA首 先 利 用 三 角 形 面 積 求 得 角， 然 后 對 第小 題 分 角的 兩 種 取 值 結(jié) 合 余 弦 定 理 與分 析圓 的 面積 分 別 求 解 ； 第小 題 同 樣 根 據(jù) 角的 兩 種 取 值利 用 三 角 恒 等 變 換 公：式 求 值 考點考點2 2 解斜三角形解斜三角形 222211sin42sin2 32232sin.2332 332242322cos16482832 72 21.2sin31283ABCSAB ACAAAAAABCABCABCABACAB ACBCBCABCRA 依題意，所以，所以或當(dāng)時，是直角三角形，其外接圓半徑為 ，面積為；當(dāng)時，由余弦定理得，故，外接圓半徑為面積為，解析： 21.33321cos(2)cos.6332222 723sin3221sin14AAAABCBBABB 由知或當(dāng)時，是直角三角形，所以，當(dāng)時，由正弦定理得，所以，本題主要涉及到正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式的綜合應(yīng)用，在選用公式時注意分析條件和結(jié)論及相互之間的關(guān)系，正確選用正弦定理與余弦定理進【評析】行求解2cos(2)cos2cossin2 sin33312sincos2sincossin332 211215 73(1)214221414.172BBBBBB .2.3132sinsin2sin2ABCA BCabccCABCabCBAAABC在中，內(nèi)角 ， ， 對邊的邊長分別是 ， 已知，若的面積等于，求 ， ；若變式求題：，的面積 2222431sin3422441.2ababABCabCabababaabb由余弦定理及已知條件得，又因為的面積等于，解析所以，得聯(lián)，解得：立方程組 22sinsin4sin cossin cos2sin cos4 32 3cos02633cos0sin2sin22 3412 3sin.233.24 332BABAAABAAAAABabABAbaaababSbabABCabC由題意得，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組，解得所以的面積 (cossinsin )cossin , 2cos1244xxxxxxfxxfx ababa b已 知，求 證 ： 向 量與 向 量不 可 能 平 行 ；若， 且，時 ， 求 函 數(shù)的最 大 值 及例 3.最 小 值 考點考點3 3 三角函數(shù)與平面向量的綜合三角函數(shù)與平面向量的綜合 12sin()yAx第小 題 利 用 反 證 法 求 解 ， 即 先 假 設(shè)兩 向 量 平 行 ， 然 后 利 用 兩 向 量 平 行 的 充 要 條件 建 立 等 式 ， 再 通 過 三 角 恒 等 變 換 轉(zhuǎn) 化 ， 進而 導(dǎo) 出 矛 盾 ； 第小 題 先 用 數(shù) 量 積 公 式 將 函數(shù) 轉(zhuǎn) 化 為 關(guān) 于 正 余 弦 的 函 數(shù) ， 再 利 用 同 角 三角 函 數(shù) 的 基 本 關(guān) 系 與 二 倍 角 公 式 進 行 轉(zhuǎn) 化 ，轉(zhuǎn) 化 為 形 如的 函 數(shù) ， 問 題 基本 上 就分 析 ：解 決 了 22/2coscossinsincossin02cossin cossin01 cos211 cos22sin20222in2cos232sin1(2)3|sin(2)|244xxxxxxxxxxxxxsxxxx a bab假設(shè)，則，所以，則，即，所以，解析與矛盾，故向量 與向量 不可證：明能平行 22cossincossinsin 2coscossin2sin coscos2sin2222(cos2sin2 )2sin(2)224324441.442242824424f xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf xxf 因為，因為，所以，所以，當(dāng)，即時，有最大值；當(dāng)，即時，有最小值= a b本題主要考查平面向量平行的充要條件、數(shù)量積，以及考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式、兩角和差的正余弦公式，同時考查方程的思想、轉(zhuǎn)化的思想及解析：反證法 24,00,4(3cos3sin )(0)10202sinsin22sinsintancos1 tanOAOBOCOC ABAC BC 已知，變，若，求角 的式題：值；若，求的值 4,4(3cos3sin )012cos12sin01sincos(0)t.4an1ABOCOC AB ，因為，所以，所以，因為，所以解析： 2(3cos4,3sin )(3cos3sin4)03cos (3cos4)3sin (3sin4)037sincos2sin cos4162sinsin22sinsintancos1tan2sincos(cossin)2s2inACBCAC BC ，因為，所以，所以，兩邊平方得，所以22cossincoscossin732sincos51sincos.1646 5(33)45606020 330/ABABDBBCD如圖， ， 是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于 點北偏東，點北偏西的 點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于點南偏西且與 點相距海里的 點的救援船立即前往營救，其航行速度為海里 小時，求該備選救援船到達 點需要多例題：長時間？5(33)()906030904545180(4530 )105 .sinsinsin5(33) sin45sinsin1055(33) sin455 3sin45 cos60cos45 sin60ABDBADABADBDBABDABDABADBABDABDBADB 由題意知海里 ，所以在中，由正弦定理，解得所以析：( 31)31210 3()海里 22230(9060 )6020 3()2cos1300 12002 10 3 20 390023301()0()130DBCDBAABCBCDBCCDBDBCBD BCDBCCDDt 又，海里 ，在中，由小時 余弦定理得，所以海里 ，則需要的時間答：該救援船到達 點需要 小時本題是一道典型的利用正弦定理與余弦定理解斜三角形的實際應(yīng)用題是利用正弦定理還是利用余弦定理，必須分析條件與所求，結(jié)合正余弦定理的結(jié)構(gòu)特點作【評析】出選擇 12()1()122()向量加減法及其幾何法則的應(yīng)用應(yīng)用主要有兩種途徑：根據(jù)已有圖形結(jié)構(gòu)利用法則表示向量、證明幾何問題等相關(guān)問題；利用法則將所要解決的向量問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形來解決向量平行 共線 的充要條件的應(yīng)用主要有兩種用法：直接利用平行條件判斷兩向量是否平行 共線 ；根據(jù)向量平行的充要條件建立方程 組 解決坐標(biāo)、參數(shù)等問題 12()123124()3向量垂直的充要條件的應(yīng)用與平行一樣主要有兩個用法：直接利用垂直條件判斷向量的垂直；根據(jù)向量垂直的充要條件建立方程 組 解決坐標(biāo)、參數(shù)等問題利用數(shù)量積的應(yīng)用常見的題型： 求數(shù)量積； 求向量的模； 求兩個向量的夾角解題有兩種途徑：利用向量的數(shù)量積公式；根據(jù)向量的幾何意義，將相關(guān)的向量等式或向量間的垂直、平行等關(guān)系轉(zhuǎn)化為特殊的平行四邊形 矩形、正方形、菱形等 12251向量的平移問題主要有兩種題型：求已知向量平移前后的點的坐標(biāo)或函數(shù)的解析式；根據(jù)平移前后點的坐標(biāo)或函數(shù)的解析式求平移向量解答主要有兩種途徑：利用平移公式；作出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合法直觀求解 21261利用向量的投影解題主要有兩種題型：求向量的投影；根據(jù)向量的投影求向量相關(guān)的問題此類題一般難度不大，解答也有兩種途徑：直接利用投影公式解決；利用數(shù)量積公式的變形公式解答7向量與三角函數(shù)的交匯此類題型主要表現(xiàn)為以向量為載體，在考查平面向量知識的同時考查三角函數(shù)知識，解答時一般是首先利用向量的知識將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，再利用相關(guān)的三角函數(shù)知識求解 12(8)12正余弦定理的應(yīng)用正弦定理與余弦定理的應(yīng)用主要題型：根據(jù)三角形的已知元素求未知元素；判斷三角形的形狀 或確定三角形六個基本量之間的關(guān)系 等利用正余弦定理主要有兩種途徑： 化角為邊；化邊為角222sinsinsinsin sin A (0 B )66C (0 1.(20D )3311)ABCABCBCA在中，則 的取值范圍是， ，四，川卷222222222.1cos.2032abcbcbcabcbcaAcAb由正弦定理角化邊得，即所所以解以，析： 2612.2.(2011) ababababab已知向量 ， 滿足，則 與 的夾角為_安徽_卷 222262612 2611cos|60|2. 2ababa + a b- ba ba bababbaba，即，即，解析： ， 得，所以 ， ，所以