專題檢測（十一） 空間幾何體的三視圖、表面積及體積一、選擇題1如圖所示是一個物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是()解析：選D先觀察俯視圖，由俯視圖可知選項B和D中的一個正確，由正視圖和側(cè)視圖可知選項D正確2設(shè)一個球形西瓜，切下一刀后所得切面圓的半徑為4，球心到切面圓心的距離為3，則該西瓜的體積為()A100B.C. D.解析：選D因為切面圓的半徑r4，球心到切面的距離d3，所以球的半徑R5，故球的體積VR3×53，即該西瓜的體積為.3(2019屆高三·開封高三定位考試)某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為()A4 B2C. D解析：選B由題意知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為圓柱的一部分，設(shè)底面扇形的圓心角為，由tan ，得，故底面面積為××22，則該幾何體的體積為×32.4九章算術(shù)中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中間的實線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為()A2 B42C44 D46解析：選C由三視圖知，該幾何體是直三棱柱ABC­A1B1C1，其直觀圖如圖所示，其中ABAA12，BCAC，C90°，側(cè)面為三個矩形，故該“塹堵”的側(cè)面積S(22)×244.5(2018·惠州二調(diào))如圖，某幾何體的三視圖是三個全等的等腰直角三角形，且直角邊長都等于1，則該幾何體的外接球的體積為()A.B.C3 D.解析：選B還原幾何體為如圖所示的三棱錐A­BCD，將其放入棱長為1的正方體中，如圖所示，則三棱錐A­BCD外接球的半徑R，該幾何體的外接球的體積VR3，故選B.6已知某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個幾何體的體積是()A. cm3 B. cm3C2 cm3 D4 cm3解析：選B由三視圖可知，該幾何體為底面是正方形，且邊長為2 cm，高為2 cm的四棱錐，如圖，故V×22×2(cm3)7如圖，已知EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3，AD2，AEB60°，則多面體E­ABCD的外接球的表面積為()A. B8C16 D64解析：選C由題知EAB為等邊三角形，設(shè)球心為O，O在平面ABCD的射影為矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影為EAB的重心G，又由平面EAB平面ABCD，則OGA為直角三角形，OG1，AG，所以R24，所以多面體E­ABCD的外接球的表面積為4R216.8(2018·昆明摸底)古人采取“用臼舂米”的方法脫去稻谷的外殼，獲得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石頭或木頭制成一個“臼”的三視圖如圖所示，則鑿去部分(看成一個簡單的組合體)的體積為()A63 B72C79 D99解析：選A由三視圖得鑿去部分是圓柱與半球的組合體，其中圓柱的高為5，底面圓的半徑為3，半球的半徑為3，所以組合體的體積為×32×5××3363.9(2019屆高三·武漢調(diào)研)一個幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為()A28 B242C204 D202解析：選B根據(jù)該幾何體的三視圖作出其直觀圖如圖所示，可知該幾何體是一個底面是梯形的四棱柱根據(jù)三視圖給出的數(shù)據(jù)，可得該幾何體中梯形的上底長為2，下底長為3，高為2，所以該幾何體的表面積S ×(23)×2×22×22×32×22×242，故選B.10.如圖是一個幾何體的三視圖，其中正視圖是邊長為2的等邊三角形，側(cè)視圖是直角邊長分別為1和的直角三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的內(nèi)接三棱錐的體積的最大值為()A. B.C. D.解析：選B由三視圖可知該幾何體為半個圓錐，圓錐的母線長l2，底面半徑r1，高h.由半圓錐的直觀圖可得，當(dāng)三棱錐的底面是斜邊，為半圓直徑，高為半徑的等腰直角三角形，棱錐的高為半圓錐的高時，其內(nèi)接三棱錐的體積達到最大值，最大體積為V××2×1×，故選B.11(2019屆高三·貴陽摸底考試)某實心幾何體是用棱長為1 cm的正方體無縫粘合而成的，其三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A50 cm2 B61 cm2C84 cm2 D86 cm2解析：選D根據(jù)題意可知該幾何體由3個長方體(最下面長方體的長、寬、高分別為5 cm,5 cm, 1 cm；中間長方體的長、寬、高分別為3 cm,3 cm,1 cm；最上面長方體的長、寬、高分別為1 cm,1 cm,1 cm)疊合而成，長、寬、高分別為5 cm,5 cm,1 cm的長方體的表面積為2(5×55×15×1)2×3570(cm2)；長、寬、高分別為3 cm,3 cm,1 cm的長方體的表面積為2(3×33×13×1)2×1530(cm2)；長、寬、高分別為1 cm，1 cm,1 cm的長方體的表面積為2(1×11×11×1)2×36(cm2)由于幾何體的疊加而減少的面積為2×(3×3)2×(1×1)2×1020(cm2)，所以所求表面積為703062086(cm2)12在棱長為3的正方體ABCD­A1B1C1D1中，P在線段BD1上，且，M為線段B1C1上的動點，則三棱錐M­PBC的體積為()A1 B.C. D與M點的位置有關(guān)解析：選B，點P到平面BCC1B1的距離是D1到平面BCC1B1距離的，即為1.M為線段B1C1上的點，SMBC×3×3，VM­PBCVP­MBC××1.13(2018·洛陽尖子生第一次聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A2 B1C. D.解析：選C由題圖可知該幾何體是一個四棱錐，如圖所示，其中PD平面ABCD，底面ABCD是一個對角線長為2的正方形，底面積S ×2×22，高h1，則該幾何體的體積VSh，故選C.14(2018·武漢調(diào)研)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. B.C. D.解析：選D由三視圖知，該幾何體是在長、寬、高分別為2,1,1的長方體中，截去一個三棱柱AA1D1­BB1C1和一個三棱錐C­BC1D后剩下的幾何體，即如圖所示的四棱錐D­ABC1D1，四棱錐D­ABC1D1的底面積為S四邊形ABC1D12×2，高h，其體積VS四邊形ABC1D1h×2×.15(2019屆高三·安徽知名示范高中聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A1 B.C. D.解析：選C法一：該幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐S­ABCD，SD平面ABCD，且SD1，四邊形ABCD是平行四邊形，且ABDC1，連接BD，由題意知BDDC，BDAB，且BD1，所以S四邊形ABCD1，所以VS­ABCDS四邊形ABCD·SD.法二：由三視圖易知該幾何體為錐體，所以VSh，其中S指的是錐體的底面積，即俯視圖中四邊形的面積，易知S1，h指的是錐體的高，從正視圖和側(cè)視圖易知h1，所以VSh.16(2018·福州質(zhì)檢)已知三棱錐P­ABC的四個頂點都在球O的表面上，PA平面ABC，ABBC，且PA8.若平面ABC截球O所得截面的面積為9，則球O的表面積為()A10 B25C50 D100解析：選D設(shè)球O的半徑為R，由平面ABC截球O所得截面的面積為9，得ABC的外接圓的半徑為3.設(shè)該外接圓的圓心為D，因為ABBC，所以點D為AC的中點，所以DC3.因為PA平面ABC，易證PBBC，所以PC為球O的直徑又PA8，所以O(shè)DPA4，所以ROC5，所以球O的表面積為S4R2100.二、填空題17一個四棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖為正三角形，則該四棱錐的體積是_解析：由四棱錐的三視圖可知，該四棱錐的直觀圖如圖中四棱錐P­ABCD所示，底面ABCD為邊長為1的正方形，PAD是邊長為1的等邊三角形，作POAD于點O，則O為AD的中點，所以四棱錐的體積為V×1×1×.答案：18.如圖，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D為棱AA1的中點若AA14，AB2，則四棱錐B­ACC1D的體積為_解析：取AC的中點O，連接BO(圖略)，則BOAC，所以BO平面ACC1D.因為AB2，所以BO.因為D為棱AA1的中點，AA14，所以AD2，所以S梯形ACC1D×(24)×26，所以四棱錐B­ACC1D的體積為×6×2.答案：219.如圖，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱，則圓柱的側(cè)面積最大值是_解析：設(shè)圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為，則r4cos ，圓柱的高為8sin .所以圓柱的側(cè)面積為32sin 2.當(dāng)且僅當(dāng)時，sin 21，圓柱的側(cè)面積最大，所以圓柱的側(cè)面積的最大值為32.答案：3220(2018·沈陽質(zhì)檢)已知在正四棱錐S­ABCD中，SA6，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為_解析：設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長為a，高為h，因為在正四棱錐S­ABCD中，SA6，所以h2108，即a22162h2，所以正四棱錐的體積VS­ABCDa2h72hh3，令y72hh3，則y722h2，令y>0，得0<h<6，令y<0，得h>6，所以當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為6.答案：6