第第4講講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的切線及函數(shù)零點(diǎn)問題導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的切線及函數(shù)零點(diǎn)問題高考定位高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有：(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是考查熱點(diǎn)，要求是B級(jí)，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上在某點(diǎn)處的切線的斜率，能夠解決與曲線的切線有關(guān)的問題；(2)在高考試題導(dǎo)數(shù)壓軸題中涉及函數(shù)的零點(diǎn)問題是高考命題的另一熱點(diǎn).真真 題題 感感 悟悟考考 點(diǎn)點(diǎn) 整整 合合1.求曲線yf(x)的切線方程的三種類型及方法(1)已知切點(diǎn)P(x0，y0)，求yf(x)過點(diǎn)P的切線方程：求出切線的斜率f(x0)，由點(diǎn)斜式寫出方程.(2)已知切線的斜率為k，求yf(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，通過方程kf(x0)解得x0，再由點(diǎn)斜式寫出方程.(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求yf(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程.2.三次函數(shù)的零點(diǎn)分布三次函數(shù)在存在兩個(gè)極值點(diǎn)的情況下，由于當(dāng)x時(shí)，函數(shù)值也趨向，只要按照極值與零的大小關(guān)系確定其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2且x1x2的函數(shù)f(x)ax3bx2cxd(a0)的零點(diǎn)分布情況如下：a的符號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)充要條件a0(f(x1)為極大值，f(x2)為極小值)一個(gè)f(x1)0兩個(gè)f(x1)0或者f(x2)0三個(gè)f(x1)0且f(x2)0a0(f(x1)為極小值，f(x2)為極大值)一個(gè)f(x2)0兩個(gè)f(x1)0或者f(x2)0三個(gè)f(x1)0且f(x2)03.(1)研究函數(shù)零點(diǎn)問題或方程根問題的思路和方法 研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)，歸根到底還是研究函數(shù)的圖象，如單調(diào)性、值域、與x軸的交點(diǎn)等，其常用解法如下： 轉(zhuǎn)化為形如f(x1)f(x2)0的不等式：若yf(x)滿足f(a)f(b)0，則f(x)在(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域：零點(diǎn)及兩函數(shù)的交點(diǎn)問題即是方程g(x)0有解問題，將方程分離參數(shù)后(af(x)轉(zhuǎn)化為求yf(x)的值域問題；數(shù)形結(jié)合：將問題轉(zhuǎn)化為yf(x)與yg(x)的交點(diǎn)問題，利用函數(shù)圖象位置關(guān)系解決問題.(2)研究?jī)蓷l曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法數(shù)形結(jié)合法，通過畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，研究圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出答案.函數(shù)與方程法，通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)得出兩曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù).熱點(diǎn)一函數(shù)圖象的切線問題【例1】 (1)(2016全國(guó)卷)若直線ykxb是曲線yln x2的切線，也是曲線yln(x1)的切線，則b_.答案1ln 2(2)已知函數(shù)f(x)2x33x.求f(x)在區(qū)間2，1上的最大值；若過點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線yf(x)相切，求t的取值范圍.所以，g(0)t3是g(x)的極大值，g(1)t1是g(x)的極小值.當(dāng)g(0)t30，即t3時(shí)，此時(shí)g(x)在區(qū)間(，1和1，)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn).當(dāng)g(1)t10，即t1時(shí)，此時(shí)g(x)在區(qū)間(，0)和0，)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn).當(dāng)g(0)0且g(1)0，即3t1時(shí)，因?yàn)間(1)t70，g(2)t110，所以g(x)分別在區(qū)間1，0)，0，1)和1，2)上恰有1個(gè)零點(diǎn)，由于g(x)在區(qū)間(，0)和(1，)上單調(diào)，所以g(x)分別在區(qū)間(，0)和1，)上恰有1個(gè)零點(diǎn).綜上可知，當(dāng)過點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線yf(x)相切時(shí)，t的取值范圍是(3，1).探究提高解決曲線的切線問題的關(guān)鍵是求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解題時(shí)先不要管其他條件，先使用曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表達(dá)切線方程，再考慮該切線與其他條件的關(guān)系，如本題第(2)問中的切線過點(diǎn)(1，t).【訓(xùn)練1】 已知函數(shù)f(x)x3x. (1)設(shè)M(0，f(0)是函數(shù)f(x)圖象上的一點(diǎn)，求圖象在點(diǎn)M處的切線方程； (2)證明：過點(diǎn)N(2，1)可以作曲線f(x)x3x的三條切線.因?yàn)間()在R上只有一個(gè)極大值3和一個(gè)極小值5，所以過點(diǎn)N可以作曲線f(x)x3x的三條切線.探究提高對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解.這類問題求解的通法是：(1)構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；(3)畫出函數(shù)草圖；(4)數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解.探究提高研究方程的根(或函數(shù)零點(diǎn))的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程根(函數(shù)零點(diǎn))的情況，這是導(dǎo)數(shù)這一工具在研究方程中的重要應(yīng)用.1.求曲線的切線方程的方法是利用切線方程的公式y(tǒng)y0f(x0)(xx0)，它的難點(diǎn)在于分清“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異.突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵是理解這兩種切線的不同之處在哪里，在過點(diǎn)P(x0，y0)的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)，則此時(shí)切線的方程是yy0f(x0)(xx0).2.我們借助于導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的零點(diǎn)，不同的問題，比如方程的解、直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)、兩函數(shù)圖象交點(diǎn)問題都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題.3.對(duì)于存在一個(gè)極大值和一個(gè)極小值的函數(shù)，其圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，除了受兩個(gè)極值大小的制約外，還受函數(shù)在兩個(gè)極值點(diǎn)外部函數(shù)值的變化的制約，在解題時(shí)要注意通過數(shù)形結(jié)合找到正確的條件.4.求函數(shù)零點(diǎn)或兩函數(shù)的交點(diǎn)問題，綜合了函數(shù)、方程、不等式等多方面知識(shí)，可以全面地考察學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，同時(shí)考察學(xué)生的變形、轉(zhuǎn)化能力.因此在高考?jí)狠S題中占有比較重要的地位.