課時(shí)作業(yè)61變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例一、選擇題1四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論：y與x負(fù)相關(guān)且2.347x6.423；y與x負(fù)相關(guān)且3.476x5.648；y與x正相關(guān)且5.437x8.493；y與x正相關(guān)且4.326x4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是(D)A BC D解析：正相關(guān)指的是y隨x的增大而增大，負(fù)相關(guān)指的是y隨x的增大而減小，故不正確的為.2下列說法錯(cuò)誤的是(B)A自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系B在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)r的值越大，變量間的相關(guān)性越強(qiáng)C在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高D在回歸分析中，R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好解析：根據(jù)相關(guān)關(guān)系的概念知A正確；當(dāng)r>0時(shí)，r越大，相關(guān)性越強(qiáng)，當(dāng)r<0時(shí)，r越大，相當(dāng)性越弱，故B不正確；對(duì)于一組數(shù)據(jù)的擬合程度的好壞的評(píng)價(jià)，一是殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域越窄，擬合效果越好，二是R2越大，擬合效果越好，所以R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好，C、D正確，故選B.3為了解某商品銷售量y(件)與其單價(jià)x(元)的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)了(x，y)的10組值，并畫成散點(diǎn)圖如圖，則其回歸方程可能是(B)A.10x198 B.10x198C.10x198 D.10x198解析：由圖象可知回歸直線方程的斜率小于零，截距大于零，故選B.4若一函數(shù)模型為yax2bxc(a0)，為將y轉(zhuǎn)化為t的回歸直線方程，需作變換t(C)Ax2 B(xa)2C.2 D以上都不對(duì)解析：y關(guān)于t的回歸直線方程，實(shí)際上就是y關(guān)于t的一次函數(shù)因?yàn)閥a2，所以可知選項(xiàng)C正確5(2019·湖北七市聯(lián)考)廣告投入對(duì)商品的銷售額有較大影響，某電商對(duì)連續(xù)5個(gè)年度的廣告費(fèi)和銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表(單位：萬元)廣告費(fèi)23456銷售額2941505971由表可得回歸方程為10.2x，據(jù)此模擬，預(yù)測廣告費(fèi)為10萬元時(shí)的銷售額約為(C)A101.2 B108.8C111.2 D118.2解析：由題意得：4，50，504×10.2，解得9.2，回歸直線方程為10.2x9.2，當(dāng)x10時(shí)，10.2×109.2111.2，故選C.6某考察團(tuán)對(duì)10個(gè)城市的職工人均工資x(千元)與居民人均消費(fèi)y(千元)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得出y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為0.6x1.2.若某城市職工人均工資為5千元，估計(jì)該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為(D)A66% B67%C79% D84%解析：因?yàn)閥與x具有線性相關(guān)關(guān)系，滿足回歸方程0.6x1.2，該城市職工人均工資為x5，所以可以估計(jì)該城市的職工人均消費(fèi)水平y(tǒng)0.6×51.24.2，所以可以估計(jì)該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為84%.7(2019·江西九校聯(lián)考)隨著國家二孩政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機(jī)構(gòu)用簡單隨機(jī)抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表.非一線一線總計(jì)愿生452065不愿生132235總計(jì)5842100由K2，得K29.616.參照下表，P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828下列說法中，正確的結(jié)論是(C)A在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”B在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無關(guān)”C有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”D有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無關(guān)”解析：K29.616>6.635，有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”二、填空題8某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x()之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了如下對(duì)照表：氣溫()1813101用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸直線方程x中的2，預(yù)測當(dāng)氣溫為4 時(shí)，用電量為68度解析：回歸直線過點(diǎn)(，)，根據(jù)題意得10，40，將(10,40)代入2x，解得60，則2x60，當(dāng)x4時(shí)，(2)×(4)6068，即當(dāng)氣溫為4 時(shí)，用電量約為68度9(2019·安徽蚌埠段考)為了研究工人的日平均工作量是否與年齡有關(guān)，從某工廠抽取了100名工人，且規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，列出的2×2列聯(lián)表如下：生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手總計(jì)25周歲以上25356025周歲以下103040總計(jì)3565100有90%以上的把握認(rèn)為“工人是否為生產(chǎn)能手與工人的年齡有關(guān)”解析：由2×2列聯(lián)表可知，K22.93，因?yàn)?.93>2.706，所以有90%以上的把握認(rèn)為“工人是否為生產(chǎn)能手與工人的年齡有關(guān)”三、解答題10某公司為了了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計(jì)數(shù)的(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長方形的寬度；(2)估計(jì)該公司投入萬元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值)；(3)該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：廣告投入x(單位：萬元)12345銷售收益y(單位：萬元)2327表中的數(shù)據(jù)顯示，x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)將(2)中的結(jié)果填入空白欄，并計(jì)算y關(guān)于x的線性回歸方程解：(1)設(shè)各小長方形的寬度為m，由頻率分布直方圖中各小長方形面積總和為1，可知(0.080.10.140.120.040.02)·m0.5m1，故m2.(2)由(1)知，各分組依次是0,2)，2,4)，4,6)，6,8)，8,10)，10,12，其中點(diǎn)值分別為1,3,5,7,9,11，對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.16,0.20, 0.28, 0.24,0.08,0.04，故可估計(jì)平均值為1×0.163×0.25×0.287×0.249×0.0811×0.045.(3)空白欄中填5.由題意可知，3，3.8，iyi1×22×33×24×55×769，122232425255.根據(jù)公式可求得1.2，3.81.2×30.2，即線性回歸方程為1.2x0.2.11已知某產(chǎn)品連續(xù)4個(gè)月的廣告費(fèi)用為xi(i1,2,3,4)千元，銷售額為yi(i1,2,3,4)萬元，經(jīng)過對(duì)這些數(shù)據(jù)的處理，得到如下數(shù)據(jù)信息：x1x2x3x418，y1y2y3y414；廣告費(fèi)用x和銷售額y之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；回歸直線方程x中的0.8(用最小二乘法求得)那么，當(dāng)廣告費(fèi)用為6千元時(shí)，可預(yù)測銷售額約為(B)A3.5萬元 B4.7萬元C4.9萬元 D6.5萬元解析：依題意得4.5，3.5，由回歸直線必過樣本中心點(diǎn)得a3.50.8×4.50.1.當(dāng)x6時(shí)，0.8×60.14.7.12近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展起源于二十世紀(jì)初，它是在概率論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的工作則可以追溯到遠(yuǎn)古的“結(jié)繩記事”和二十四史中大量的關(guān)于我國人口、錢糧、水文、天文、地震等資料的記錄近幾年，霧霾來襲，對(duì)某市該年11月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：表一日期12345678910天氣晴霾霾陰霾霾陰霾霾霾日期11121314151617181920天氣陰晴霾霾霾霾霾霾陰晴日期21222324252627282930天氣霾霾晴霾晴霾霾霾晴霾對(duì)于此種情況，該市政府為減少霧霾于次年采取了全年限行的政策下表是一個(gè)調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)比以上兩年11月份(該年不限行30天、次年限行30天，共60天)的調(diào)查結(jié)果：表二不限行限行總計(jì)沒有霧霾a有霧霾b總計(jì)303060(1)請(qǐng)由表一中數(shù)據(jù)求a，b的值，并估計(jì)在該年11月份任取一天是晴天的概率；(2)請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理計(jì)算，若沒有90%的把握認(rèn)為霧霾與限行有關(guān)系，則限行時(shí)有多少天沒有霧霾？P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828(表中數(shù)據(jù)使用時(shí)四舍五入取整數(shù))解：(a)a10，b20，所求概率P.(2)設(shè)限行時(shí)有x天沒有霧霾，則有霧霾的天數(shù)為30x，由題意得K2的觀測值k3，代入數(shù)據(jù)化簡得21x2440x1 5000，x0,30，xN*，即(7x30)(3x50)0，解得x，所以5x16，且xN*，所以若沒有90%的把握認(rèn)為霧霾與限行有關(guān)系，則限行時(shí)有516天沒有霧霾13(2019·山西八校聯(lián)考)某電視廠家準(zhǔn)備在元旦舉行促銷活動(dòng)，現(xiàn)根據(jù)近七年的廣告費(fèi)與銷售量的數(shù)據(jù)確定此次廣告費(fèi)支出廣告費(fèi)支出x(萬元)和銷售量y(萬臺(tái))的數(shù)據(jù)如下：年份2011201220132014201520162017廣告費(fèi)支出x1246111319銷售量y1.93.24.04.45.25.35.4(1)若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)若用ycd模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程1.630.99，經(jīng)計(jì)算線性回歸模型和該模型的R2分別約為0.75和0.88，請(qǐng)用R2說明選擇哪個(gè)回歸模型更好；(3)已知利潤z與x，y的關(guān)系為z200yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：廣告費(fèi)x20時(shí)，銷售量及利潤的預(yù)報(bào)值是多少？廣告費(fèi)x為何值時(shí)，利潤的預(yù)報(bào)值最大？(精確到0.01)參考公式：回歸直線x的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為， .參考數(shù)據(jù)：2.24.解：(1)8，4.2，iyi279.4，708，0.17， 4.20.17×82.84，y關(guān)于x的線性回歸方程為0.17x2.84.(2)0.75<0.88且R2越大，反映殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，選用1.630.99更好(3)由(2)知，當(dāng)x20時(shí)，銷售量的預(yù)報(bào)值1.630.996.07(萬臺(tái))，利潤的預(yù)報(bào)值z200×(1.630.99)201 193.04(萬元)z200(1.630.99)xx198326()2198326(99)210 127，當(dāng)99，即x9 801時(shí)，利潤的預(yù)報(bào)值最大，故廣告費(fèi)為9 801萬元時(shí)，利潤的預(yù)報(bào)值最大