第3節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)平面的基本性質(zhì)3,12點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1,2,4,7異面直線所成的角5,6,8,9綜合應(yīng)用10,11,13,14基礎(chǔ)鞏固(時(shí)間:30分鐘)1.(2018·遂寧模擬)直線l不平行于平面,且l,則(B)(A)內(nèi)的所有直線與l異面(B)內(nèi)不存在與l平行的直線(C)內(nèi)存在唯一的直線與l平行(D)內(nèi)的直線與l都相交解析:如圖,設(shè)l=A,內(nèi)的直線若經(jīng)過A點(diǎn),則與直線l相交;若不經(jīng)過點(diǎn)A,則與直線l異面.2.設(shè)A,B,C,D是空間四個(gè)不同的點(diǎn),在下列命題中,不正確的是(D)(A)若AC與BD共面,則AD與BC共面(B)若AC與BD是異面直線,則AD與BC是異面直線(C)若AB=AC,DB=DC,則ADBC(D)若AB=AC,DB=DC,則AD=BC解析:ABCD可能為平面四邊形,也可能為空間四邊形,故D不成立.3.(2018·周口月考)如圖所示的是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),這四個(gè)點(diǎn)不共面的是(D)解析:A中PSQR,故共面;B中PS與QR相交,故共面;C中四邊形PQRS是平行四邊形,故共面.4.(2018·咸陽(yáng)模擬)已知m,n,l為不同的直線,為不同的平面,有下面四個(gè)命題:m,n為異面直線,過空間任一點(diǎn)P,一定能作一條直線l與m,n都 相交.m,n為異面直線,過空間任一點(diǎn)P,一定存在一個(gè)與直線m,n都平行的平面.,=l,m,n,m,n與l都斜交,則m與n一定不垂直.m,n是內(nèi)兩相交直線,則與相交的充要條件是m,n至少有一條與相交.則四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:錯(cuò)誤,因?yàn)檫^直線m存在一個(gè)與直線n平行的平面,當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平面內(nèi)且不在直線m上時(shí),就不滿足結(jié)論;錯(cuò)誤,因?yàn)檫^直線m存在一個(gè)與直線n平行的平面,當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平面內(nèi)時(shí),就不滿足結(jié)論;正確,否則,若mn,在直線m上取一點(diǎn)作直線al,由,得 an.從而有n,則nl;正確.5.(2018·潮州模擬)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,過頂點(diǎn)A1與正方體其他頂點(diǎn)的連線與直線BC1成60°角的條數(shù)為(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:有2條:A1B和A1C1.6.(2018·全國(guó)卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CD所成角的正切值為(C)(A)(B)(C)(D)解析:如圖,因?yàn)锳BCD,所以AE與CD所成的角為EAB.在RtABE中,設(shè)AB=2,則BE=,則tanEAB=,所以異面直線AE與CD所成角的正切值為.故選C.7.設(shè)a,b,c是空間中的三條直線,下面給出四個(gè)命題:若ab,bc,則ac;若ab,bc,則ac;若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;若a平面,b平面,則a,b一定是異面直線.上述命題中正確的命題是(寫出所有正確命題的序號(hào)). 解析:由公理4知正確;當(dāng)ab,bc時(shí),a與c可以相交、平行或異面,故錯(cuò);當(dāng)a與b相交,b與c相交時(shí),a與c可以相交、平行,也可以異面,故錯(cuò);a,b,并不能說明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”,故錯(cuò).答案:8.(2018·寧德模擬)如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點(diǎn),在這個(gè)正四面體中,GH與EF平行;BD與MN為異面直線;GH與MN成60°角;DE與MN垂直.以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是. 解析:還原成正四面體知GH與EF為異面直線,BD與MN為異面直線,GH與MN成60°角,DEMN.答案:能力提升(時(shí)間:15分鐘)9.(2016·全國(guó)卷)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為(A)(A)(B)(C)(D)解析:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,由題意,直線mBD,直線nA1B,又A1DB為等邊三角形,DBA1=60°,sin 60°=,所以m,n所成角的正弦值為,故選A.10.(2018·茂名一模)如圖為一正方體的平面展開圖,在這個(gè)正方體中,有下列四個(gè)命題:AFGC;BD與GC為異面直線且夾角為60°BDMN;BG與平面ABCD所成的角為45°.其中正確的個(gè)數(shù)是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:將正方體展開圖還原成正方體,如圖知AF與GC異面垂直,故正確;顯然BD與GC為異面直線,連接MB,MD.則BMGC,在等邊BDM中,BD與BM所成的60°角就是異面直線BD與GC所成的角,故正確;顯然BD與MN異面垂直,故錯(cuò)誤;顯然GD平面ABCD,所以在RtBDG中,GBD是BG與平面ABCD所成的角,RtBDG不是等腰直角三角形.所以BG與平面ABCD所成的角不是45°,故錯(cuò)誤.故選B.11.(2018·長(zhǎng)春模擬)設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1,和a,且長(zhǎng)為a的棱與長(zhǎng)為的棱異面,則a的取值范圍是(A)(A)(0,) (B)(0,)(C)(1,) (D)(1,)解析:如圖所示,令A(yù)B=,CD=a,設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),則EDAB,ECAB,則ED=,同理EC=.由構(gòu)成三角形的條件知0<a<ED+EC= ,所以0<a<.12.(2018·百色月考)不在同一條直線上的三點(diǎn)A,B,C到平面的距離相等,且A,給出以下三個(gè)結(jié)論:ABC中至少有一條邊平行于;ABC中至多有兩邊平行于;ABC中只可能有一條邊與相交,其中正確的結(jié)論是. 解析:如圖所示,三點(diǎn)A,B,C可能在的同側(cè),也可能在兩側(cè),其中真命題是.答案:13.(2018·鶴崗模擬)已知圓柱的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為r,O是上底面圓心,A,B是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn),BC是母線,如圖.若直線OA與BC所成角的大小為,則=. 解析:過A作圓柱的母線AD,連接OD,則AD=l,OD=r,且ODA為直角三角形,且OAD為異面直線BC與OA所成的角.所以O(shè)AD=,因?yàn)閠an=,所以=.答案:14.如圖所示,三棱錐P-ABC中,PA平面ABC,BAC=60°,PA= AB=AC=2,E是PC的中點(diǎn).(1)求證:AE與PB是異面直線;(2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值;(3)求三棱錐AEBC的體積.(1)證明:假設(shè)AE與PB共面,設(shè)平面為,因?yàn)锳,B,E,所以平面即為平面ABE,所以P平面ABE,這與P平面ABE矛盾,所以AE與PB是異面直線.(2)解:取BC的中點(diǎn)F,連接EF,AF,則EFPB,所以AEF或其補(bǔ)角就是異面直線AE和PB所成角.因?yàn)锽AC=60°,PA=AB=AC=2,PA平面ABC,所以AF=,AE=,PB=2,EF=,cosAEF=,所以異面直線AE和PB所成角的余弦值為.(3)解:因?yàn)镋是PC的中點(diǎn),所以E到平面ABC的距離為PA=1,· =×(×2×)×1=.