專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 1高考考點(diǎn) (1)導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景； 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 (2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； 常用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則 21 yCyxyxyx能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)； (3)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次)； 了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次) 2易錯易漏 對導(dǎo)數(shù)概念以及導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景(如瞬時速度，加速度，光滑曲線的切線的斜率)未能認(rèn)真理解； 求函數(shù)極值時，導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分條件； 求曲線在某一點(diǎn)處的切線與過某一點(diǎn)的切線的差異和聯(lián)系理解不到位； 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則記憶不準(zhǔn)確、變形不熟悉，導(dǎo)致計(jì)算失誤、效率低下 3歸納總結(jié)有意識地把導(dǎo)數(shù)與解析幾何(特別是切線、最值)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值、最值，二次函數(shù)，方程，不等式，代數(shù)式的證明進(jìn)行交匯、綜合運(yùn)用，重視導(dǎo)數(shù)的工具性解題中常用的方法有：公式法、圖象法、轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造法等sincos(1)2_1.(2011)yxx在點(diǎn)，處的浙江嘉興模擬切線斜率為2|cossicossn2in12.xyxxy ，則【解析】【解析】f (x)=1+lnx，所以切線斜率k=f (1)=1.又f(1)=0，所以切點(diǎn)為(1,0)切線方程為y=x-1.所以應(yīng)選C.2.曲線f(x)=xlnx在點(diǎn)x=1處的切線方程為()A. y=2x+2 B. y=2x-2C. y=x-1 D. y=x+13.函數(shù)y=x3-3x2-9x(-2x0當(dāng)x(-1,2)時，f (x)0.所以f(x)在(-2,2)上有極大值f(-1)=5.所以應(yīng)選C. 300241()A. 1,0 B. 2,8C. 1,0( 14) D. 2,8( 14)4.(2011)f xxxPyxP曲線在 處的切線平行于直線，則 點(diǎn)的坐標(biāo)為 江蘇鹽城模擬和，和， 2000000()3141114.C0P xyfxxxff 設(shè)，；則，解得，由和【】，解析故選214()A. (0) B. (1)1C. () D. (1)5.(2011)2yxx 函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是 寧德模擬， 32181180.2.2Cxfxxxxx由，解得【解析】故選 1若物體的運(yùn)動方程為s=f(t)，則物體在任意時刻t的瞬時速度為f (t) 2.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率 3f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f (x)0，則f(x)是增函數(shù)；若f (x)0，則f(x)是減函數(shù)； 若f (x)恒等于0，則f(x)為常數(shù)函數(shù) 4如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，而且對x0附近的點(diǎn)，都有f(x)f(x0)，我們就說f(x0)是函數(shù)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)；求函數(shù)的極值點(diǎn)先求導(dǎo)，然后令y=0得出全部導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，若這個點(diǎn)的左、右兩邊的增減性不同，則該點(diǎn)為極值點(diǎn) 一個函數(shù)的極值點(diǎn)不一定在導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)處取得， 但可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定導(dǎo)數(shù)為0；如果在x0附近的左側(cè)f (x)0， 右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側(cè)f (x)0，那么f(x0)是極小值5在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(x)在a，b上求最大值與最小值的步驟：先求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；再將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值6三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d (a0)有極值導(dǎo)函數(shù)f (x)=3ax2+2bx+c的判別式=4b2-12ac0.題型一 函數(shù)的單調(diào)性問題 【例1】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-2x+5.(1)若函數(shù)f(x)在(- ，1)上單調(diào)遞減，在(1，+)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的值；(2)求證：當(dāng) a 時，f(x)在(-2， )上單調(diào)遞減 235223416【解析】(1)f (x)=3x2+2ax-2.因?yàn)閒(x)在(- ，1)上單調(diào)遞減，在(1，+)上單調(diào)遞增，所以f (1)=2a+1=0，即a=- .2312 211( 2)( 2)66032221242052311242061235231( 2)02465231( 2)2462f xxfxfxxaxfaaafaxfxaf x 要使在， 上單調(diào)遞減，則對，總有，因?yàn)榈膱D象開口向上，所以所以，當(dāng)， 時，成立所以,當(dāng)時，在， 上單調(diào)遞減【點(diǎn)評】已知函數(shù)在給定的區(qū)間上單調(diào)，確定參數(shù)的問題經(jīng)常用的方法是找出極值點(diǎn)或轉(zhuǎn)化為恒成立問題 題型二 方程根的問題 【解析】設(shè)f1(x)=x3+3x2，f2(x)=a，f1(x)=3x2+6x=0的兩根為x1=-2，x2=0(如圖)，函數(shù)f1(x)的極大值是f1(-2)=4，函數(shù)f1(x)的極小值是f1(0)=0，【例2】設(shè)aR，討論關(guān)于x的方程x3+3x2-a=0的相異實(shí)根的個數(shù)？(1)當(dāng)a4時，函數(shù)f1(x)與f2(x)只有一個交點(diǎn)，即方程只有一個根(2)當(dāng)a=0或a=4時，函數(shù)f1(x)與f2(x)只有兩個交點(diǎn)，即方程只有兩個根(3)當(dāng)0a4時，函數(shù)f1(x)與f2(x)有三個交點(diǎn)，方程有三個根 【點(diǎn)評】利用導(dǎo)數(shù)不僅能判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值和最值，還能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，得到函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)的條件，從而為研究方程的根提供了方便，所以在解決方程的根的問題中，要善于運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行求解 題型三 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 【解析】 (1)依題意，得f (x)=x2+2ax+b，由f (-1)=1-2a+b=0，得b=2a-1. (2)由(1)得f(x)= x3+ax2+(2a-1)x，故f (x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1)，13【例3】已知函數(shù) ，且f (-1)=0. (1)試用含a的代數(shù)式表示b； (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)令a=-1，設(shè)函數(shù)f(x)在x1，x2(x11時，1-2a-1，當(dāng)x變化時，f (x)與f(x)的變化情況如下表：x(-，1-2a)(1-2a，-1)(-1，+)f (x)+-+f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-，1-2a)和(-1，+)，單調(diào)減區(qū)間為(1-2a，-1)由a=1時，1-2a=-1，此時，f (x)0恒成立，且僅在x=-1處f (x)=0，故函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為R.當(dāng)a-1，同理可得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-，-1)和(1-2a，+)，單調(diào)減區(qū)間為(-1,1-2a)綜上：當(dāng)a1時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-，1-2a)和(-1，+)，單調(diào)減區(qū)間為(1-2a，-1)；當(dāng)a=1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)a1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-，-1)和(1-2a，+)，單調(diào)減區(qū)間為(-1,1-2a)(3)當(dāng)a=-1時，得f(x)=x3-x2-3x，由f (x)= x3-2x-3=0，得x1=-1，x2=3，由(2)得f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-，-1)和(3，+)，單調(diào)減區(qū)間為(-1,3)，所以函數(shù)f(x)在x1=-1，x2=3處取得極值13 32323205( 1),(39)38 1.3133330.813330302300,20,2MNMNyxyxxxxxxyxF xxxxFFF xF xxMNf xMN 故，所以直線的方程為由，得令，易得，而的圖象在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，故在內(nèi)存在零點(diǎn) ，這表明線段與曲線有異于， 的公共點(diǎn)