第5節(jié)雙曲線【選題明細(xì)表】知識點、方法題號雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1,2,7,10雙曲線的幾何性質(zhì)3,4,5,8,11雙曲線的綜合問題6,9,12,13基礎(chǔ)鞏固(時間:30分鐘)1.已知F1,F2是雙曲線x2-=1的兩個焦點,過F1作垂直于x軸的直線與雙曲線相交,其中一個交點為P,則|PF2|等于(A)(A)6(B)4(C)2(D)1解析:由題意令|PF2|-|PF1|=2a,由雙曲線方程可以求出|PF1|=4,a=1,所以|PF2|=4+2=6.故選A.2.(2018·黑龍江模擬)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,它的一個焦點坐標(biāo)為(2,0),則雙曲線的方程為(C)(A)-=1 (B)-=1(C)x2-=1 (D)-y2=1解析:雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,可得=,它的一個焦點坐標(biāo)為(2,0),可得c=2,即a2+b2=4,解得a=1,b=,所求雙曲線方程為x2-=1.故選C.3.(2018·遼寧遼南協(xié)作校一模)設(shè)F1和F2為雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩個焦點,若F1,F2,(0,2b)是正三角形的三個頂點,則雙曲線的漸近線方程是(B)(A)y=±x(B)y=±x(C)y=±x(D)y=±x解析:因為|F1F2|=2c,點(0,2b)到F2的距離為,所以2c=,所以4c2=4b2+c2,即3c2=4b2,所以3c2=4(c2-a2),得c=2a,所以b=a.所以雙曲線的漸近線方程為y=±x,即y=±x,選B.4.(2018·全國卷)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則點(4,0)到C的漸近線的距離為(D)(A)(B)2(C)(D)2解析:由題意,得e=,c2=a2+b2,得a2=b2.又因為a>0,b>0,所以a=b,漸近線方程為x±y=0,點(4,0)到漸近線的距離為=2.故選D.5.(2017·湖南婁底二模)給出關(guān)于雙曲線的三個命題:雙曲線-=1的漸近線方程是y=±x;若點(2,3)在焦距為4的雙曲線-=1上,則此雙曲線的離心率e=2;若點F,B分別是雙曲線-=1的一個焦點和虛軸的一個端點,則線段FB的中點一定不在此雙曲線的漸近線上.其中正確的命題的個數(shù)是(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:雙曲線-=1的漸近線方程是y=±x,故錯誤;雙曲線的焦點為(-2,0),(2,0),2a=|-|=2,a=1,從而離心率e=2,所以正確;F(±c,0),B(0,±b),FB的中點坐標(biāo)(±,±)均不滿足漸近線方程,所以正確.故選C.6.(2018·四川成都二診)已知A,B是雙曲線E的左、右焦點,點C在E上,ABC=,若(+)·=0,則E的離心率為(D)(A)-1(B)+1(C) (D)解析:因為(+)·=0,所以=,又ABC=,所以BC=2c,AC=2c,所以2c-2c=2a,所以e=.故選D.7.已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,則動圓圓心M的軌跡方程為. 解析:如圖所示,設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件,MC2-MC1=BC2-AC1=2,所以點M到兩定點C1,C2的距離的差是常數(shù)且小于C1C2.又根據(jù)雙曲線的定義,得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大,與C1的距離小),其中a=1,c=3,則b2=8.故點M的軌跡方程為x2-=1(x-1).答案:x2-=1(x-1)8.(2018·湖南兩市九月調(diào)研)已知F為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點,定點A為雙曲線虛軸的一個端點,過F,A兩點的直線與雙曲線的一條漸近線在y軸右側(cè)的交點為B,若=3,則此雙曲線的離心率為. 解析:根據(jù)題意知F(-c,0),A(0,b).設(shè)B(x0,y0),由=3得(x0,y0-b)=3(c,b),則4b=·3c.所以e=.答案:能力提升(時間:15分鐘)9.(2018·四川模擬)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點到拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為2,點(5,2)是雙曲線的一條漸近線與拋物線的一個交點,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(B)(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點為(-c,0),雙曲線的左焦點到拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線l:x=-的距離為2,可得c-=2,點(5,2)是雙曲線的一條漸近線與拋物線的一個交點,可得20=10p,即p=2,c=3,雙曲線的漸近線方程為y=±x,可得2a=5b,且a2+b2=c2=9,解得a=,b=2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.故選B.10.(2018·云南五市聯(lián)考)設(shè)P為雙曲線x2-=1右支上一點,M,N分別是圓(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的點,設(shè)|PM|-|PN|的最大值和最小值分別為m,n,則|m-n|等于(C)(A)4(B)5(C)6(D)7解析:易知雙曲線的兩個焦點分別為F1(-4,0),F2(4,0),恰為兩個圓的圓心,兩個圓的半徑分別為2,1,所以|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值為(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=(|PF1|-|PF2|)+3=5,同理|PM|-|PN|的最小值為(|PF1|-2)-(|PF2|+1)=(|PF1|-|PF2|)-3=-1,所以|m-n|=6,故選C.11.(2018·湖北省重點高中聯(lián)考)已知雙曲線C-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,若|PF1|-|PF2|=2a,=,且OMF2為等腰直角三角形,則雙曲線C的離心率為(B)(A)(B)+1(C)(D)解析:雙曲線中,|PF1|-|PF2|=2a,所以P點在雙曲線右支上,=,則M為PF2的中點,所以在OMF2中,|OM|>|MF2|,所以MF2O=90°,又OMF2為等腰直角三角形,所以|PF2|=|F1F2|=2c,|PF1|=2c,所以2c-2c=2a,所以e=+1.故選B.12.(2018·天津卷)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為(C)(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:如圖,不妨設(shè)A在B的上方,則A(c,),B(c,-).其中的一條漸近線為bx-ay=0,則d1+d2=2b=6,所以b=3.又由e=2,知a2+b2=4a2,所以a=.所以雙曲線的方程為-=1.故選C.13.(2018·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)已知P是雙曲線-y2=1上任意一點,過點P分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線,垂足分別為A,B,則·的值是. 解析:設(shè)P(x0,y0),因為該雙曲線的漸近線分別是-y=0,+y=0,所以可取|PA|=,|PB|=,又cosAPB=-cosAOB=-cos=-,所以·=|·|·cosAPB=·(-)=×(-)=-.答案:-