專題九 數(shù)學(xué)思想方法 1高考考點(diǎn) 本節(jié)內(nèi)容的主要內(nèi)容和考點(diǎn)是數(shù)學(xué)思想方法對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查是高考的重點(diǎn)目標(biāo)之一，也是數(shù)學(xué)教育的核心價(jià)值高考對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查有以下幾個(gè)方面： (1)函數(shù)與方程思想； (2)數(shù)形結(jié)合思想； (3)分類與整合； (4)化歸與轉(zhuǎn)化思想以及特殊與一般、有限與無(wú)限思想、必然與或然等 高考試題重在考查對(duì)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、深刻性，重在考查知識(shí)的綜合靈活運(yùn)用，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力綜合的角度進(jìn)行較為深入的考查它著眼于知識(shí)點(diǎn)新穎巧妙的組合，試題新而不偏，活而不過(guò)難；著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查 2易錯(cuò)易漏： (1)在解題中沒有仔細(xì)分析題意，明確的目標(biāo)意識(shí)生搬硬套數(shù)學(xué)知識(shí)，盲目解題； (2)沒有用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)解題，解題過(guò)程繁雜、降低解題效率； (3)沒有用數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解題過(guò)程、結(jié)果進(jìn)行反思、優(yōu)化，因此過(guò)程不完整、解答不嚴(yán)謹(jǐn) 3歸納總結(jié)： 在復(fù)習(xí)中要以數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識(shí)、方法的運(yùn)用，整體把握各部分知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，多進(jìn)行一題多解、一題多變、多題一解、錯(cuò)題糾錯(cuò)等練習(xí)，優(yōu)化解題過(guò)程和方法，提高數(shù)學(xué)能力.1.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-a|的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則a的值為()A. 3 B. 2C. 1 D. -1 23.111f xaax 由的圖象特征及該函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，易知，【解析】所以222ABCsinsinsinsinsin(). (0 .)66. (0 2.(2.)31)30 1ABCBCAABCD在中，則 的取值范圍是 ，慶，重，222222222sinsinsinsinsin1221.cos0023ABCBCbcaabcbcbcAACA由得，即，所以，因?yàn)椤窘馕觥?，故，選1( )12()3.(2011)xyyx函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的圖象像大致是川四1( ).10,222,0 xAyyx圖象過(guò)點(diǎn)，且單調(diào)遞減，故它【解析】關(guān)于直線對(duì)稱的圖象過(guò)點(diǎn)且遞減，故選單調(diào)tan (0)2lg() (0)(2)98_4.4xxf xxxff若函數(shù)，則等于(2)442(2)tan14498100298lg100(2)9.4281 22fxf xffxf xfff 由函數(shù)表達(dá)式知，即為時(shí)，的值，所以；即為時(shí)，的值，所【以解析】所以，5.圍建一個(gè)面積為360 m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2 m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為x(單位：元)，則修建此矩形場(chǎng)地圍墻的最小總費(fèi)用等于_222m451802180 2225360360360360360225360036002252 225 36010800ayyxxaxaxaaxyxxxxxx如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為，修建此矩形場(chǎng)地費(fèi)用為 ，則，由已知，得，所以【因?yàn)?，所以解析】?23602253601044036022524m10440yxxxxx所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立即當(dāng)時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小最小總費(fèi)用是，元 1數(shù)形結(jié)合在解題過(guò)程中常用到的圖形有：數(shù)軸、常見函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù))的圖象、單位圓、三角函數(shù)線、圓、圓錐曲線及空間幾何體 2分類討論的問(wèn)題，主要有以下五個(gè)方面原因引起： (1)涉及數(shù)學(xué)概念是分類定義而引起的分類討論； (2)由應(yīng)用的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式本身的限制條件而引發(fā)的分類討論； (3)由于求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論有多種的可能性而引起的分類討論； (4)對(duì)于含有參數(shù)的問(wèn)題，由于參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果，需要進(jìn)行的分類討論； (5)對(duì)于較復(fù)雜的或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題含有不確定因素，需要進(jìn)行的分類討論 3函數(shù)思想就是要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的形式把這種數(shù)量關(guān)系表達(dá)出來(lái)，并加以研究，從而使問(wèn)題獲得解決方程思想就是如果變量間的關(guān)系是通過(guò)解析式表示出來(lái)的，則可以把解析式看作一個(gè)方程，通過(guò)對(duì)方程的研究使問(wèn)題得以解決 4當(dāng)遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難時(shí)，可通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過(guò)程，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)自己較為熟悉的新問(wèn)題，通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的求解達(dá)到解決原問(wèn)題的目的題型一 函數(shù)與方程思想 223746130220()A. 33 B. 33 3C. 3 33 D. 3 33 32160.321.3nnnxymxyxmaa aaaanSABCABCabccC 【例】直線與圓相切，則實(shí)數(shù) 等于 或或或或已知等差數(shù)列中，求的前 項(xiàng)和在中，已知內(nèi)角 ， ， 對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是 ， ， ，且，3sinsin-2sin2ABCa bCB AAABC若的面積等于 ，求 ， ；若，求的面積 222222302204(2 32)20(2 32)162033.31xymxyxxmmmCxmmm 聯(lián)立方程，得，若直線與圓相切，則須，解得或，【解析】故選 1111221*1111(2 )(6 )181963819 ()5081216824822nnnadad adadadaSnn nn nSdadadann nn nnNadd 設(shè)的公差為 ，則，即，解得或或因此， 2222431sin34224.24sinsin4sincossincos2sincos4 32 3cos026333ababABCabCabaababbabBABAAABAAAAABab由余弦定理及已知條件得，又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得， 聯(lián)立得，解得由題意得，即，當(dāng)時(shí)，2212 3sin.23cos0sin2sin22 343.24 3312 3sin.23.2 33ABCSabCABAbaaababbabABCSabABCC的面積當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組，解得所以的的面積可知，為面積綜上【點(diǎn)評(píng)】上述問(wèn)題知識(shí)依托各不相同，但都是考查方程思想在解決問(wèn)題中的應(yīng)用關(guān)鍵是確定問(wèn)題的基本量，在高考試題中這類問(wèn)題比比皆是題型二 利用數(shù)形結(jié)合解題 【例2】不論k為何實(shí)數(shù)，直線y=kx+1與曲線x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【分析】抓住直線y=kx+1是過(guò)定點(diǎn)的直線系方程，因此考慮定點(diǎn)與圓心的位置關(guān)系是關(guān)鍵【解析】由于直線必過(guò)定點(diǎn)(0,1)，所以要使直線與圓恒有交點(diǎn)，等價(jià)于點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi)或圓上，即02+12-2a0+a2-2a-40，且2a+40.因此-1a3.【點(diǎn)評(píng)】注意直線方程的特點(diǎn)，必過(guò)定點(diǎn)(0,1)，曲線的特點(diǎn)是封閉曲線，因此通過(guò)點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系求解比利用的討論求解要高效得多本題也可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(0,1)到圓(x-a)2+y2=2a+4的圓心的距離小于半徑解題中容易忽視的是2a+40的要求題型三 利用分類討論解題 121421,2.1120.3nnnnnnannnnaanSSnnSnaba ppbnT在等差數(shù)列中，前 項(xiàng)和滿足條件，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；記，求數(shù)列的前 項(xiàng)和【例 】2421nnnnnnnSnSSnaaa pa將 的公式直接代入，便可求得 ，【分析】再將 的表達(dá)式代入，問(wèn)題得解 212122112312341231.423121.1.23111.21123121nnnnnannnnnnnnnnnnnnadSaanSnaadaaaandnba pbnpTpppnpnpnnpTppTpppnpnpp Tppppp 設(shè)等差數(shù)列的公差為由，得，所以，即所以由，得所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，【時(shí)】，解析1nnp112121 121 1111111.1nnnnnnnnnnpTppnppnppppppppn pTpp ，即即1qq等比數(shù)列的求和公式只適合于，特別公比 中含參數(shù)時(shí)，需要分【點(diǎn)評(píng)】類討論題型四 數(shù)形結(jié)合 2222222201,01.11112.42ababababab 已知 例求】證【：1.ABCDABADAEaAGbEGADABCDBCFHEFGHOAOBOCODOAOGBOECOFDOG如圖，作邊長(zhǎng)為 的正方形，分別在、上取，過(guò) 、 分別作、的平行線，交、于 、 ，、交于 點(diǎn)，連接、 【解 由題設(shè)條件及作圖可知，、皆為直角析】三角形22222222222222221111.211112 2OAabOBabOCabODabACBDACBDOAOCACOBODBDabababab 所以，連接對(duì)角形、，易知，所以【點(diǎn)評(píng)】觀察待證式左端，它的每個(gè)根式都使我們類比聯(lián)想到RtABC中的等式a2+b2=c2，激起我們構(gòu)造平面圖形利用幾何方法證明這個(gè)不等式的想法，這里采用的是數(shù)形結(jié)合的思想方法 題型五 轉(zhuǎn)化與化歸 190(052)123ABCDABEFABCDABEFMACNBFCMBNaaMNMNMNMNAMNB如圖所示，正方形、邊長(zhǎng)都是 ，而且平面與平面所成的二面角為，點(diǎn)在上移動(dòng)，點(diǎn)在上移動(dòng)若，求的長(zhǎng)；當(dāng)為何值時(shí)，的長(zhǎng)最??；當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，求平面與平面所成的二面角的余弦值的大小【例】 22222/.4/.1222122211(02).22221MP ABBCPNQ ABBEQPQMP NQMPNQMNQPMNPQCMBNMNaCBABBEACBFCPBPQCPBQaQaaaa 作交于點(diǎn) ，交于點(diǎn) ，連接由公理 得，且，則四邊形為平行【四邊形，所以由條件，得，解析】 min2.2222122aMNMNACBFMN由可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)、 分別移動(dòng)到、的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)度最最小值為小， .641cos.1.333MNGAGBGMNMNACBFAMANBMBNAGMNBGMNAGBAGBGAGB取中點(diǎn) ，連接、當(dāng)最小時(shí)，、 分別是、中點(diǎn)，則，故、，所以為所求二面角故所求的平面角又，在中，由余弦定二面角 的余弦得值為理【點(diǎn)評(píng)】(1)由MN平移到PQ，是等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，進(jìn)而把空間中MN化歸到平面CBE中，再通過(guò)三角形中的相似比問(wèn)題就不難解決了 (2)立體幾何中的求線段長(zhǎng)度，兩直線所成的角，圍成的面積等問(wèn)題一般化歸到函數(shù)求最值范圍里，也就是根據(jù)條件設(shè)出變量，寫出函數(shù)關(guān)系式，再通過(guò)函數(shù)關(guān)系求出最值這一過(guò)程中應(yīng)特別注意變量的取值范圍，因?yàn)樗乔蠛瘮?shù)在某一區(qū)間的值域問(wèn)題 (3)二面角的平面角定義本身正是立體幾何問(wèn)題平面化思想的體現(xiàn)