第3節(jié)直線、圓的位置關(guān)系【選題明細(xì)表】知識點、方法題號直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系3,5,8,11直線與圓相切問題1,2,7與圓的弦長有關(guān)問題4,5,9,10,12綜合應(yīng)用問題6,11,13,14基礎(chǔ)鞏固(時間:30分鐘)1.若直線2x+y+a=0與圓x2+y2+2x-4y=0相切,則a的值為(B)(A)±(B)±5(C)3(D)±3解析:圓的方程可化為(x+1)2+(y-2)2=5,因為直線與圓相切,所以有=,即a=±5.故選B.2.(2018·長春模擬)過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=r2的切線有且只有一條,則該切線的方程為(B)(A)2x+y-5=0(B)2x+y-7=0(C)x-2y-5=0(D)x-2y-7=0解析:因為過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=r2的切線有且只有一條,所以點(3,1)在圓(x-1)2+y2=r2上,因為圓心與切點連線的斜率k=,所以切線的斜率為-2,則圓的切線方程為y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.故選B.3.(2018·福州模擬)過點P(1,-2)作圓C:(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則AB所在直線的方程為(B)(A)y=-(B)y=-(C)y=-(D)y=-解析:圓(x-1)2+y2=1的圓心為(1,0),半徑為1,以|PC|=2為直徑的圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=1,將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y+1=0,即y=-.故選B.4.已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實數(shù)a的值是(B)(A)-2 (B)-4 (C)-6 (D)-8解析:將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圓心為(-1,1),半徑r=,圓心到直線x+y+2=0的距離d=,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故選B.5.(2016·山東卷)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2.則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是(B)(A)內(nèi)切(B)相交(C)外切(D)相離解析:圓M:x2+y2-2ay=0的圓心M(0,a),半徑為a.所以圓心M到直線x+y=0的距離為,由直線y+x=0被圓M截得弦長為2知a2-=2,故a=2.即M(0,2),且圓M半徑為2.又圓N的圓心N(1,1),且半徑為1,由|MN|=,且2-1<<2+1.故兩圓相交.故選B.6.(2018·全國名校第四次大聯(lián)考)已知直線ax+2y-2=0與圓(x-1)2+(y+1)2=6相交于A,B兩點,且A,B關(guān)于直線x+y=0對稱,則a的值為(D)(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2解析:由幾何關(guān)系可得直線x+y=0,經(jīng)過圓(x-1)2+(y+1)2=6的圓心,且與直線ax+2y-2=0垂直,由直線垂直的充要條件有a×1+2×1=0,所以a=-2.選D.7.若點P(1,2)在以坐標(biāo)原點為圓心的圓上,則該圓在點P處的切線方程為. 解析:設(shè)圓的方程為x2+y2=r2,將P的坐標(biāo)代入圓的方程,得r2=5,故圓的方程為x2+y2=5.設(shè)該圓在點P處的切線上的任意一點為M(x,y),則=(x-1,y-2).由(O為坐標(biāo)原點),得·=0,即1×(x-1)+2×(y-2)=0,即x+2y-5=0.答案:x+2y-5=08.(2018·湖南郴州質(zhì)監(jiān))過點M(,1)的直線l與圓C:(x-1)2+y2=4交于A,B兩點,C為圓心,當(dāng)ACB最小時,直線l的方程為. 解析:由題意得,當(dāng)CMAB時,ACB最小,kCM=-2,所以kAB=,從而直線方程為y-1=(x-),即2x-4y+3=0.答案:2x-4y+3=09.(2017·深圳一模)直線ax-y+3=0與圓(x-2)2+(y-a)2=4相交于M,N兩點,若|MN|2,則實數(shù)a的取值范圍是. 解析:設(shè)圓心到直線的距離為d,則d=,由r2=d2+()2知()2=4-3,解得a-.答案:(-,-能力提升(時間:15分鐘)10.已知AC,BD為圓O:x2+y2=4的兩條互相垂直的弦,且垂足為M(1,),則四邊形ABCD面積的最大值為(A)(A)5(B)10(C)15(D)20解析:如圖,作OPAC于點P,OQBD于點Q,則OP2+OQ2=OM2=3,于是AC2+BD2=4(4-OP2)+4(4-OQ2)=20.又AC2+BD22AC·BD,則AC·BD10,所以S四邊形ABCD=AC·BD×10=5,當(dāng)且僅當(dāng)AC=BD=時等號成立.故四邊形ABCD面積的最大值為5.故選A.11.若曲線x2+y2-6x=0(y>0)與直線y=k(x+2)有公共點,則k的取值范圍是(C)(A)-,0) (B)(0,)(C)(0, (D)-,解析:因為x2+y2-6x=0(y>0)可化為(x-3)2+y2=9(y>0),所以曲線表示圓心為(3,0),半徑為3的上半圓,它與直線y=k(x+2)有公共點的充要條件是:圓心(3,0)到直線y=k(x+2)的距離d3,且k>0,所以3,且k>0,解得0<k.故選C.12.過點(1,)的直線l將圓(x-2)2+y2=4分成兩段弧,當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時,直線l的斜率k=. 解析:因為(1-2)2+()2=3<4,所以點(1,)在圓(x-2)2+y2=4的內(nèi)部,當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時,即直線l交圓的弦長最短,此時圓心(2,0)與點(1,)的連線垂直于直線l.因為=-,所以所求直線l的斜率k=.答案:13.已知圓C:x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.(1)當(dāng)a為何值時,直線l與圓C相切;(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A,B兩點,且|AB|=2時,求直線l的方程.解:將圓C的方程x2+y2-8y+12=0配方,得標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-4)2=4,則此圓的圓心為(0,4),半徑為2.(1)若直線l與圓C相切,則有=2,解得a=-.(2)過圓心C作CDAB,則根據(jù)題意和圓的性質(zhì),得解得a=-7或a=-1.故所求直線方程為7x-y+14=0或x-y+2=0.14.(2018·廣東汕頭期末節(jié)選)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4).(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BC=OA,求直線l的方程.解:圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-7)2=25,所以圓心M(6,7),半徑為5.(1)由圓心在直線x=6上,可設(shè)N(6,y0),因為N與x軸相切,與圓M外切,所以0<y0<7,于是圓N的半徑為y0,從而7-y0=5+y0,解得y0=1,因此,圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因為直線lOA,所以直線l的斜率為=2.設(shè)直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0,則圓心M到直線l的距離d=.因為BC=OA=2,而MC2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.