課時作業(yè)61參數(shù)方程1(2016·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo)解：(1)C1的普通方程為y21.C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.(2)由題意，可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(cos ，sin )因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值，d().當(dāng)且僅當(dāng)2k(kZ)時，d()取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標(biāo)為.2(2019·南昌一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為sin kcos k0(kR)(1)請寫出曲線C的普通方程與直線l的一個參數(shù)方程；(2)若直線l與曲線C交于點A，B，且點M(1,0)為線段AB的一個三等分點，求|AB|.解：(1)由題意知，曲線C的普通方程為1.直線l的直角坐標(biāo)方程為yk(x1)，其一個參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)聯(lián)立(1)中直線l的參數(shù)方程與曲線C的普通方程并化簡得(3sin2)t26tcos 90，設(shè)點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，不妨設(shè)t1>0，t2<0，t12t2，代入中得cos2，sin2.|AB|t1t2|.3(2019·河北衡水中學(xué)模擬)在極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程是，在以極點為原點O，極軸為x軸正半軸(兩坐標(biāo)系取相同的單位長度)的直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程與曲線C2的普通方程；(2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3，若M、N分別是曲線C1和曲線C3上的動點，求|MN|的最小值解：(1)C1的極坐標(biāo)方程是，4cos 3sin 24，4x3y240，故C1的直角坐標(biāo)方程為4x3y240.曲線C2的參數(shù)方程為x2y21，故C2的普通方程為x2y21.(2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3，則曲線C3的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)N(2·cos ，2sin )，則點N到曲線C1的距離d.當(dāng)sin()1時，d有最小值，所以|MN|的最小值為.4已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos ，直線l與圓C交于A，B兩點(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程及弦AB的長；(2)動點P在圓C上(不與A，B重合)，試求ABP的面積的最大值解：(1)由4cos 得24cos ，所以x2y24x0，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24.設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.將直線l的參數(shù)方程代入圓C：(x2)2y24，并整理得t22t0，解得t10，t22.所以直線l被圓C截得的弦AB的長為|t1t2|2.(2)由題意得，直線l的普通方程為xy40.圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，可設(shè)圓C上的動點P(22cos ，2sin )，則點P到直線l的距離d，當(dāng)cos1時，d取得最大值，且d的最大值為2.所以SABP×2×(2)22，即ABP的面積的最大值為22.5(2019·鄭州測試)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0，)以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為cos24sin .(1)設(shè)M(x，y)為曲線C上任意一點，求xy的取值范圍；(2)若直線l與曲線C交于不同的兩點A，B，求|AB|的最小值解：(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程cos24sin ，化為直角坐標(biāo)方程，得x24y.M(x，y)為曲線C上任意一點，xyxx2(x2)21，xy的取值范圍是1，)(2)將代入x24y，得t2cos2 4tsin 40.16sin216cos216>0，設(shè)方程t2cos24tsin 40的兩個根為t1，t2，則t1t2，t1t2，|AB|t1t2|4，當(dāng)且僅當(dāng)0時，取等號故當(dāng)0時，|AB|取得最小值4.6(2019·廣州調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，將曲線C1經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C2.在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為cos sin 100.(1)說明曲線C2是哪一種曲線，并將曲線C2的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)已知點M是曲線C2上的任意一點，求點M到直線l的距離的最大值和最小值解：(1)因為曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，且所以曲線C2的參數(shù)方程為所以C2的普通方程為x2y24，所以C2為圓心在原點，半徑為2的圓，所以C2的極坐標(biāo)方程為24，即2(R)(2)解法一直線l的直角坐標(biāo)方程為xy100，設(shè)M(2cos ，2sin )(為參數(shù))曲線C2上的點M到直線l的距離d.當(dāng)cos1，即2k(kZ)時，d取得最小值，為52.當(dāng)cos1，即2k(kZ)時，d取得最大值，為25.解法二直線l的直角坐標(biāo)方程為xy100.因為圓C2的半徑r2，且圓心到直線l的距離d5>2，所以直線l與圓C2相離所以圓C2上的點M到直線l的距離的最大值為dr52，最小值為dr52.7(2019·洛陽統(tǒng)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，mR)，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2(0)(1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點P是曲線C2上一點，若點P到曲線C1的最小距離為2，求m的值解：(1)由曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)t，可得C1的普通方程為xym0.由曲線C2的極坐標(biāo)方程得3222cos23，0，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y21(0y1)(2)設(shè)曲線C2上任意一點P的坐標(biāo)為(cos ，sin )，0，則點P到曲線C1的距離d.0，cos，2cos2，由點P到曲線C1的最小距離為2得，若m<0，則m4，即m4.若m2>0，則m24，即m6.若m2<0，m>0，當(dāng)|m|m2|，即m時，m24，即m2，不合題意，舍去；當(dāng)|m|<|m2|，即m<時，m4，即m4，不合題意，舍去綜上，m4或m6.8(2019·成都診斷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，過極點O的射線與曲線C相交于不同于極點的點A，且點A的極坐標(biāo)為(2，)，其中.(1)求的值；(2)若射線OA與直線l相交于點B，求|AB|的值解：(1)由題意知，曲線C的普通方程為x2(y2)24，xcos ，ysin ，曲線C的極坐標(biāo)方程為(cos )2(sin 2)24，即4sin .由2，得sin ，.(2)易知直線l的普通方程為xy40，直線l的極坐標(biāo)方程為cos sin 40.又射線OA的極坐標(biāo)方程為(0)，聯(lián)立解得4.點B的極坐標(biāo)為，|AB|BA|422.