專題四 三角函數(shù)與平面向量 1高考考點(diǎn) (1)理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義 (2)能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出pa的正弦、余弦、正切，以及 的正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性 (3)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間 上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等)；理解正切函數(shù)在區(qū)間 上的單調(diào)性 2()2 2 ，0,2 與三角函數(shù)圖象有關(guān)的問題，包括圖象的變換，求解析式等在高考試題中題型穩(wěn)定，題量適中以解答題形式出現(xiàn)的三角函數(shù)試題放在較前位置，其難度為基礎(chǔ)和中檔題 (4)理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；(5) sin()yAxA了解函數(shù)的圖象，參數(shù) ， ，對函數(shù)圖象變化的影響以及三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡單的實(shí)際問題 2易錯(cuò)易漏 (1)三角函數(shù)圖象變換中，常常忽視平移和伸縮變換是對x進(jìn)行的； (2)未能搞清對于變換中先平移后伸縮與先伸縮后平移要注意兩者的聯(lián)系與差異； (3)對于復(fù)合的三角函數(shù)圖象的研究要先化簡后研究； sincos(4)ab對形如的化簡以及圖象性質(zhì)掌握不熟練、不到位 3歸納總結(jié) 要注意利用數(shù)形結(jié)合的思想方法理解三角函數(shù)的圖象變換，即平移、伸縮、對稱等用轉(zhuǎn)化與化歸的思想將三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為最簡三角函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx的形式是研究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的基本方法 2D.ACBD、 選項(xiàng)是奇函數(shù)， 選項(xiàng)【解析】周期為，只有 正確選，()A.sin2 B.cosC.tan .21D.cosyxyxyxyx下列函數(shù)中，最小正周期為 的偶函數(shù)是 sin(2)()3511A. ()12125B.2. ()1212511C. 22()12125D. 22()1212yxkkkkkkkkkkkk函數(shù)的增區(qū)間是 ，ZZZZ222()2325222()665()1B.212kxkkkxkkkxkkZZZ由，得，所以【解析】所以選， sin(2)3()3(0)31203.(20611)f xxf xxf xf xf x設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是 的圖象關(guān)于直線對稱；的圖象關(guān)于點(diǎn)，對稱；把的圖象向左平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像三明模擬；在 ， 上為增函數(shù)A. B.C. D.()sin(2)0333()sin2()sin(2)cos2121232202633C3ff xxxxxx因?yàn)?，所以【解析】答案：不正確，確定正確又因?yàn)?，所以正確因?yàn)?，所以不正確22cos1cos22.22Tyxx 因?yàn)?，故其最小正周期為【解析?2cos1 ()_._4yxxR函數(shù)的最小正周期為 5sincos().(2011)()f xxxxtf tkkg t設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn) ，處切線的斜率為 ，則函數(shù)的部分圖象山東實(shí)驗(yàn)中模為擬學(xué) sincossincoscossin00A0B.D0Ckg tftttttttg tttttg ttg t；所以當(dāng) 從負(fù)方向靠近 時(shí)，；故排除 和 ，當(dāng) 從正方向靠近 時(shí)【解析】所，排除 ；以選；故 1si 1n22232()2,2222()2()2sin12()2sin1.(0)()(2yxTkkkkkkxkkyxxkkyxkkxkkZZZZZZ正弦、余弦、正切函數(shù)的主要性質(zhì)：是周期的奇函數(shù)；且在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，取得最大值 ；當(dāng)時(shí)，取得最小值圖象關(guān)于點(diǎn)，中心對稱，關(guān)于直線)軸對稱 cos222()22()2()cos12()cos12()cos1.(0)()2( )2 yxTkkkkkkxkkyxxkkyxxkkyxkkxkkZZZZZZZ是周期的偶函數(shù)；且在，上是增函數(shù)，在，上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，取得最大值 ；當(dāng)時(shí)，取得最大值 ；當(dāng)時(shí)，取得最小值圖象關(guān)于點(diǎn)，中心對稱，關(guān)于直線軸對稱 tan |()2()()2 2 (0)(2 3)yxx xkkTkkkkkZRZZ的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，是周期的奇函數(shù)；且在，上是增函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)，中心對稱，不關(guān)于直線軸對稱sincostansin()2cos()2|tan.|yxyxyxTyAxByAxBTyxT、的周期均為；函數(shù)、的周期均為，函數(shù)期為的周sinsin() (00)“”“ 3”yxyAxA由的圖象通過變換得到，的圖象，有兩種主要途徑： 先平移后伸縮 與 先伸縮后平移 注意兩者在變換過程中的區(qū)別 sin(0)(0)|sin()sin()1sin()sin()sin()s in 1 2yxyxyxyxyxAyAxyx先平移后伸縮：由的圖象向左或向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象；再將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象；再將的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變，得到的圖象先伸縮后平移：將的sinsin(0)(0)yxyx圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象；再將的圖象向左或向右sin()sin()sin()yxyxAyAx平移個(gè)單位長度，得到的圖象；再將的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變，得到的圖象“”sin()02 2432yAxuxu利用 五點(diǎn)法 作的圖象，主要是通過變量代換，設(shè)，分別由 取 ， ， ， 計(jì)算出相應(yīng)的五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象222222sincossin() (tan)sin cos 5axbxabxbaxbxaabab其中，所以的取值范圍是，題型一 三角函數(shù)的周期與最值問題 22cos3sin2 2sin(2)121.26f xxxaxTaf x因?yàn)?，所以的最小正【周解】期?22cos3sin2()123661fxxxa axfxfxaRR已知若，求的最小正周期；若在， 上的最大值與最小值之和為 ，求實(shí)數(shù)【例 】的值 maxmin26 66621sin(2)1.2621112330.2xxaxf xaf xaa 因?yàn)椋?，所以，所以所以，所，即以 【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的基本變形注意三角函數(shù)在指定區(qū)間上的最值的求法題型二 三角函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性問題 21cos ()1sin2 .210( )2122f xxg xxxyf xgh xf xg x 已知【例 】函數(shù)，設(shè)直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，求的值；若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 21cos(22 )cos ( )1sin)202(1)(1).xf xxxyf xf xkkgkk依題意有因?yàn)橹本€是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，所以是偶函數(shù)，所以【解析，即所以】ZZ 21cos ()1cos(2)121226111cos(2)1sin2262131313cos(2)sin2 (cos2sin2 )262222213sin(2).232222()2325)222(11f xxxh xf xg xxxxxxxxkxkkkxkkh xf xg ZZ當(dāng)時(shí)，由，解得故函數(shù) 5()1212kkkx Z，的單調(diào)遞增區(qū)間是【點(diǎn)評】本題把條件“直線x=0是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對稱軸”轉(zhuǎn)化為偶函數(shù)，使問題得到較好解決正弦、余弦函數(shù)的對稱軸一定過其圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn) 413.1223TT 依題意得，周期，所以【解析】 sin()(0,0p)101,2,4.122f xxybbf xf xg xfxf xg x 已知函數(shù)的圖象與直線的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是求的解析式，并寫出【例3】的單調(diào)遞減區(qū)間；設(shè)，求函數(shù)的值域題型三 函數(shù) 的圖象問題sin()yAx 212323sin()1223232sin()2232221sin()cos32322cos(2)cos3322 2cosc33 ,os1.33co3s122.xf xxf xxxg xxxxxxttf xkkk Z由對稱性知，當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以由所以函數(shù)的單知，所以令調(diào)遞減區(qū)間是，則,1 ， 2219212()49288yttg xt 所所以，以的值域?yàn)?，sin( ) yAxA函數(shù)是高考命題的重要題型之一熟悉 ， ，的幾何意義及其求法是關(guān)鍵數(shù)形結(jié)合、換元轉(zhuǎn)化是常用的【點(diǎn)評】解題方法 22(3sin1cosfxf axf axxa 【備選例已知是定義域?yàn)?，的單調(diào)遞減函數(shù)若對一切實(shí)數(shù)均成立，求實(shí)數(shù) 的取題】值范圍222222sin31cos3sin1cos3sin2cos21cos2sinaxaxaxaxxaxaxxaaxx 依題意，得對一切實(shí)數(shù) 均成立對一切實(shí)數(shù)【解析】均成立2222221511(sin)42211012110.422512aaaxaaxaaaaa 故實(shí)數(shù) 的取值范圍是，對一切實(shí)數(shù) 均成立，所以