1專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)21高考考點(1)了解導(dǎo)數(shù)、積分的概念；會熟練計算；(2)理解并掌握導(dǎo)數(shù)在求單調(diào)性、極值、最值、證明不等式及優(yōu)化問題的應(yīng)用2易錯易漏積分計算是易錯點，積分的物理應(yīng)用容易遺漏；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是需要加強的部分3歸納總結(jié)要理解導(dǎo)數(shù)與積分運算其實是逆運算；導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的本質(zhì)是為了研究函數(shù)的圖象，而利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是單調(diào)性及其最值問題的延伸22323023000kkxxdxxxkkk 所1以或【解析】202 -30() A.0 B.1 C.01 D. 1.kxxdxk若，則 等于 或不確定3209d()999A B. C. 2 D.24.4xx.30319.44Cdx由積分的幾何意義可知，為以 為半徑的圓的面積的 ，所以為【解析】選 325()()11A () B ()3311C ) 3. D (33f xaxxxa 如果函數(shù)在，上單調(diào)遞增，則 的取值范圍為 ， ， ，答案:C4.f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間-1,1上的最大值是_【解析】 f(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f(x)=0可得x=0或2(舍去)，當(dāng)-1x0時，f (x)0，當(dāng)0 x1時，f (x)0，所以當(dāng)x=0時，f(x)取得最大值為2. 5. 若曲線y=x4的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直，則l的方程為_【解析】易得切線l的斜率為4.因為y=4x3，所以令4x3=4，則x=1，所以切點為(1,1)，又斜率為k=4，則直線方程為y-1=4(x-1)，即4x-y-3=0. 1. 若物體的運動方程為s=f(t)，則物體在任意時刻t的瞬時速度為f (t)；若物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的方向由x=a運動到x=8時，變力所做的功為W= F(x)dx.2. 函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率.一般情況下定積分 f(x)dx的幾何意義是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形以及直線x=a，x=b之間各部分面積的代數(shù)和，在x軸上方的面積取正號，在x軸下方的面積取負號一般的，如果f(x)是在區(qū)間a，b上有意義的連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)在區(qū)間a，b上可導(dǎo)，并且F(x)=f(x)，那么 f(x)dx= F(x)dx =F(b)-F(a)babababa 3. f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f (x)0，則f(x)是增函數(shù)；若f(x)0，則f(x)是減函數(shù) ; 若f (x)0，則f(x)為常數(shù)函數(shù)4. 如果函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，而且對x0附近的點，都有f(x)f(x0)，我們就說f(x0)是函數(shù)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)求函數(shù)的極值點先求導(dǎo)，然后令y=0得出全部導(dǎo)數(shù)為0的點，若這個點的左、右兩邊的增減性不同，則該點為極值點一個函數(shù)的極值點不一定在導(dǎo)數(shù)為0的點處取得，但可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定導(dǎo)數(shù)為0；如果在x0附近的左側(cè)f (x)0，右側(cè)f (x)0，那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側(cè)f (x)0，那么f(x0)是極小值5f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟：先求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；再將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值6. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，像鏈條一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的一環(huán)，必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系7. 三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d (a0)有極值導(dǎo)函數(shù)f (x)=3ax2+2bx+c的判別式 =4b2-12ac0.題型一 函數(shù)的單調(diào)性與極值【例1】已知函數(shù)f(x)=lnx+a(x2-x)(1)若a=-1時，求f(x)的極值；(2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；【分析】利用f (x)=0求出極值點，通過列表確定極大值或極小值；函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的存在，則為f (x)0有解 2212-12-.-1-21-(21)( -1)10-11)2(axaxfxax aaxxxxxxfxxxfxxx 當(dāng)時，由，所以，或【解析】x(0,1)1(1，+)f (x)+0-f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以x=1時，f(x)極大值=0，無極小值 222-10(0)2-1 0(0)0,1 0(2)f xaxaxfxxaxaxaa因為存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以 在 ，內(nèi)有解，即 在 ，內(nèi)有解對 分類討論：若 不成立，故不存在單調(diào)遞減區(qū)間；222-80-02202-10,12-1 0(008)08aaaaaaayaxaxaxaxaa 若 ，則函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線且恒過點，要使在由于，內(nèi)有解，則應(yīng)有即 或 ，所以，；【點評】各種數(shù)學(xué)思想如函數(shù)的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想，等價轉(zhuǎn)換的思想等都利用二次函數(shù)作為載體，導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問題時，最終也是利用二次函數(shù)為載體來解決問題2202-10,12-1 0(0)08.ayaxaxaxaxaa若 ，則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，且恒過點， 在 ，內(nèi)一定有 或解上，綜17題型二 恒成立問題【分析】函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y+3=0距離的最小值，即為過點P(x，y)且與直線x-y+3=0平 行 的 切 線 到 直 線 的 距 離 ； 轉(zhuǎn) 化 為 函 數(shù)F(x)=f(x)-g(x)0(x0)恒成立求解【例2】設(shè)函數(shù)f(x)=ax+lnx，g(x)=a2x2.(1)當(dāng)a=-1時，求函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y+3=0距離的最小值；(2)是否存在正實數(shù)a，使f(x)g(x)對一切正實數(shù)x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由 11-ln0-1.1111( )222-3011|-(-ln2)3|2224ln22224ln-01223xf xxxxfxxxfxxPfx ydyf xx y 由知 ，則令，得，所求距離的最小值即為，到直線的距離，即函數(shù)圖象上的點到直線距離的最小值為【解析】 max222max-(0)0.11-2-2-(21)(-1)0000111( )ln.ln01.1,)2aF xf xg xxF xaxa xFxaa xxxaxaxxxFxF xxFxF xF xFaaaaa假設(shè)存在實數(shù) 滿足條件，令 ，則由所以當(dāng) 時， ，則為減函數(shù)當(dāng) 時， ，則為增函數(shù)，所以所以，即所以 的取值范圍為【點評】對于同一變量恒成立的不等式f(x)g(x)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用最值的符號求解；對于同一定義域內(nèi)的兩個變量x1，x2，如果有f(x1)g(x2)恒成立，則必須滿足f(x)maxg(x)min.21題型三 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 217ln0221.1()0(2 ).23123f xxg xxmxmlf xg xf xlmh xf xgxgxg xh xbabaf abfaa 已知，直線 與函數(shù)、的圖象都相切，且與函數(shù)的圖象的切點的橫坐標(biāo)為求直線 的方程及 的值；若其中為的導(dǎo)函數(shù) ，求函數(shù)的最大值；當(dāng)時，求證：【例 】 113(2 )lfxllg xmf abfa由直線 與函數(shù)的圖象相切，且切點的橫坐標(biāo)為 求出直線 的方程，再由直線 與函數(shù)的圖象相切，求出 的值； 把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，再利用導(dǎo)【分析】數(shù)求解 22111.11,01.1172212190fxfxlfxlyxlyg xyxyxmxyxmx因為，所以所以直線 的斜率為 ，且與函數(shù)的圖象的切點坐標(biāo)為所以直線 的方程為又因為直線 與函數(shù)的圖象相切，所以方程組有且只有一解由上述方程消去 ，【解析】并整理得，24 22214 90420122ln12111.1112.02.,00(0)02mmmmmg xxxgxxh xxxxxh xxxxhxxhhxxx 依題意，方程有兩個相等的實數(shù)根，所以，解之得或，因為，所以由可知，所以，所以，所以所以當(dāng)時，當(dāng)，時所以當(dāng)時，取最大值，其最大值為，25 (2 )lnln2lnln(1)220010.2221,001,0ln 1ln(1)21(2 ).232f abfaabaabbaaabaababaaxh xhxxxbababf abaaaafa 因為，所以，所以由知當(dāng)時，所以當(dāng)時，所以，方法 ：所以26 (2 )21lnln2.221lnln2)2(022baf abfaababaabF bababaa以其中的一個變量作為自變量，利用導(dǎo)數(shù)解決設(shè)，方，法 ：27 112222(0)0(0)1(2 ).lnln20022l2nln22aababF babaa aba abbaF bF baaF baaaF babaababaf abfaaa ，因為， ，所以，在 ，內(nèi)是增函數(shù)，即，即所以，28【點評】對于二次方程在某個區(qū)間上有解，應(yīng)結(jié)合二次函數(shù)的圖形特征，即應(yīng)滿足對稱軸的位置、區(qū)間端點函數(shù)值的符號和判別式的符號來求解；不等式f(x)g(x)的證明，構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，并求其最小值大于零