第三節(jié)、第三節(jié)、 齊次方程齊次方程形如形如)(xyfxdyd （1）的微分方程，稱為齊次微分方程。的微分方程，稱為齊次微分方程。例如：例如：22xyxyxdyd 1)(2 xyxyxdyd0)2()(22 ydyxxxdxyxyxxyyxxdyd222 )(21)()(2xyxyxyxdyd 作變量變換作變量變換xyv )(xyfxdyd 對方程對方程則有則有,xvy )(xvxddxdyd xdvdxv xdvdxv )(vf xdvdxvvf )(,)(vvfvd xxd1)(cvvfvd xxd|ln x1)(cvvfvd 1)(|cvvfvdex vvfvdecx)()(1cec 最后將原變量代回最后將原變量代回例例1：解微分方程解微分方程22xyxyxdyd 解：解：,1)(2 xyxyxdyd,xyv 令令,xvy 得得,xdvdxvxdyd xdvdxv ,12 vvxdvdx1 vvvdvv1 ,xxd vdv)11( xxd|ln vv ,|ln1cx ,|ln1cxvv ,|ln1cxyy ,xyecy 1()cce 例例1：解微分方程解微分方程22xyxyxdyd ,|ln1cxyy ,xyecy )(1cec 解：解：,1)(2 xyxyxdyd,xyv 令令,xvy 得得注意函數(shù)注意函數(shù) y = 0 也是所求方程的解，它對應常數(shù)也是所求方程的解，它對應常數(shù) c = 0 。所以所求通解為所以所求通解為xyecy 其中其中 c 為包括零在內(nèi)的任意常數(shù)。為包括零在內(nèi)的任意常數(shù)。例例 2 2 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，則則udxxdudy , 0)(cos)cos1( xduudxudxuu,cosxdxudu ,|lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解為微分方程的解為解解. 0cos)cos1( dyxydxxyxy，xuy 例例3：求微分方程求微分方程)0(0)(22 xydxxdyxy滿足初始條件滿足初始條件0|1 xy的特解。的特解。解：上述問題又稱為（或表示為）求解：上述問題又稱為（或表示為）求初值問題初值問題 0|)0(0)(122xyxydxxdyxy將原方程化為將原方程化為xyxyxdyd22 xyxxy22 xyxxyxdyd22 21 xyxy,xyv 令令,xvy 得得,xdvdxvxdyd xdvdxv ,12vv xdvdx,12v 分離變量得分離變量得21 vvd xxd vdv211 1cxxd vdv211 1cxxdcvvvdv )1(ln1122)1(ln2vv Cxlnln 21vv xC )ln(1Cc 再將再將 代回得代回得xyv 21 xyxyxC 22yxy 2xC 將初始條件將初始條件 代入得代入得0|1 xy1 C所以所求特解為：所以所求特解為：21yy 2x 所以所求特解為：所以所求特解為：21yy 2x 21y yx 222yx 2242yxyx 故所求特解為：故所求特解為： y)1(212 x/例例3：求微分方程求微分方程)0(0)(22 xydxxdyxy滿足初始條件滿足初始條件0|1 xy的特解。的特解。例例2應用題不講，自已看應用題不講，自已看星號二，可化為齊次的方程不講，自已看星號二，可化為齊次的方程不講，自已看第第12章：作業(yè)章：作業(yè)第三節(jié)：第三節(jié)：P314;習題習題12 3: 1(1,4，5）, 2（1) ,3