考點十八概率一、選擇題1同時拋擲3枚硬幣，那么互為對立事件的是()A“至少有1枚正面”與“最多有1枚正面”B“最多有1枚正面”與“恰有2枚正面”C“至多有1枚正面”與“至少有2枚正面”D“至少有2枚正面”與“恰有1枚正面”答案C解析兩個事件是對立事件必須滿足兩個條件：不同時發(fā)生，兩個事件的概率之和等于1.故選C.2隨機向邊長為10，10，12的三角形中投一點M，則點M到三個頂點的距離都不小于的概率是()A. B. C. D.答案C解析分別以三角形的三個頂點為圓心，為半徑作圓，則在三角形內(nèi)部，且在三圓外部的區(qū)域即為與三角形三個頂點距離不小于的部分，故所求概率P1，故選C.3(2019·四川成都七中5月模擬)據(jù)孫子算經(jīng)中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、侯、公，共五級若給有巨大貢獻的2人進行封爵，則兩人不被封同一等級的概率為()A. B. C. D.答案C解析由題意知，基本事件的總數(shù)有25種情形，兩人被封同一等級的方法種數(shù)有男、子、伯、侯、公，共5種情形，故所求事件的概率為1.4. (2019·晉冀魯豫中原名校第三次聯(lián)考)1876年4月1日，加菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了勾股定理的一種證明方法，即在如圖的直角梯形ABCD中，利用“兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形的面積之和等于直角梯形面積”，可以簡潔明了地推證出勾股定理.1881年加菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、易懂的證明，就把這一證明方法稱為“總統(tǒng)證法”如圖，設(shè)BEC15°，在梯形ABCD中隨機取一點，則此點取自等腰直角CDE中(陰影部分)的概率是()A. B. C. D.答案C解析在直角BCE中，accos15°，bcsin15°，則P，故選C.5(2019·山西晉城三模)在0,20中任取一實數(shù)作為x，則使得不等式log (x1)>4成立的概率為()A. B. C. D.答案B解析log (x1)>4log (x1)>log160<x1<161<x<17，故所求概率P.6(2019·全國卷)生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為()A. B. C. D.答案B解析設(shè)5只兔子中測量過某項指標的3只為a1，a2，a3，未測量過這項指標的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能，這10種情況發(fā)生的可能性是相等的其中恰有2只測量過該指標的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能故恰有2只測量過該指標的概率為.故選B.7. (2019·山東濰坊三模)五行學說是華夏民族創(chuàng)造的哲學思想，是華夏文明重要組成部分古人認為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系若從五類元素中任選兩類元素，則兩類元素相生的概率為()A. B. C. D.答案A解析從金、木、水、火、土任取兩類，共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果，這10種結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的其中兩類元素相生的有金水、金土、木水、木火、火土，共5種結(jié)果，所以兩類元素相生的概率為，故選A.8(2019·資陽二模)箱子里有3雙顏色不同的手套(紅藍黃各1雙)，有放回地拿出2只，記事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成對”，則事件A的概率為()A. B. C. D.答案B解析記3雙手套為Aa，Bb，Cc，有放回地拿出2只，所有基本事件為AA，Aa，AB，Ab，AC，Ac，aA，aa，aB，ab，aC，ac，BA，Ba，BB，Bb，BC，Bc，bA，ba，bB，bb，bC，bc，CA，Ca，CB，Cb，CC，Cc，cA，ca，cB，cb，cC，cc，共36種，這36種情況發(fā)生的可能性是相等的事件A“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成對”包括Ab，Ac，aB，aC，Ba，Bc，bA，bC，Ca，Cb，cA，cB，共12種，故P(A).二、填空題9已知某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率都為80%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員4次射擊至少3次擊中目標的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0,1表示沒有擊中目標，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標；再以每4個隨機數(shù)為一組，代表4次射擊的結(jié)果經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281據(jù)此估計，該射擊運動員4次射擊至少3次擊中目標的概率為_答案0.75解析4次射擊中有1次或2次擊中目標的有：0371,6011,7610,1417,7140，所求概率P10.75.10在棱長為4的一個正方體內(nèi)，有一根細線系在上底面的中心處，下方懸掛了一個半徑為1的球，且球位于正方體內(nèi)，已知球面是網(wǎng)狀的，小蟲可以自由地出入若一只小蟲在某一時刻可以位于正方體內(nèi)的任意一個位置，則小蟲飛入網(wǎng)狀球面球體內(nèi)的概率為_答案解析小蟲飛入網(wǎng)狀球面球體內(nèi)的概率為.11某汽車站每天上午均有3輛開往A景點的分上、中、下等級的客車某天，王先生準備在該汽車站乘車去A景點，但他不知道客車的車況，也不知道發(fā)車順序為了盡可能乘上上等車，他采取如下策略：先放過第一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛，那么他乘上上等車的概率為_答案解析共有6種發(fā)車順序：上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、中、上；下、上、中(其中畫線的表示王先生所乘的車)，這6種情況發(fā)生的可能性是相等的，其中王先生乘上上等車的有，共3種情況，所以他乘上上等車的概率為.12(2019·山東鄆城一中三模)七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，是由七塊板組成的而這七塊板可拼成許多圖形，例如：三角形、不規(guī)則多邊形、各種人物、動物、建筑物等，清陸以湉冷廬雜識寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余在18世紀，七巧板流傳到了國外，至今英國劍橋大學的圖書館里還珍藏著一部七巧新譜若用七巧板拼成一只雄雞，在雄雞平面圖形上隨機取一點，則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為_答案解析設(shè)包含7塊板的正方形邊長為4，其面積為4×416，則雄雞的雞尾面積為標號為6的板塊，其面積為S2×12，所以在雄雞平面圖形上隨機取一點，則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為P.三、解答題13(2019·河南焦作四模)新個稅法于2019年1月1日進行實施為了調(diào)查國企員工對新個稅法的滿意程度，研究人員在A地各個國企中隨機抽取了1000名員工進行調(diào)查，并將滿意程度以分數(shù)的形式統(tǒng)計成如下的頻率分布直方圖，其中a4b.(1)求a，b的值并估計被調(diào)查的員工的滿意程度的中位數(shù)(計算結(jié)果保留兩位小數(shù))；(2)若按照分層抽樣從50,60)，60,70)中隨機抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人，求至少有1人的分數(shù)在50,60)的概率解(1)依題意，(ab0.0080.0270.035)×101，所以ab0.03，又a4b，所以a0.024，b0.006，所以中位數(shù)為7075.14.(2)依題意，得分數(shù)在50,60)的員工抽取了2人，記為a，b，分數(shù)在60,70)的員工抽取了6人，記為1,2,3,4,5,6，所以從這8人中隨機抽取2人，所有的情況為(a，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共28種，這28種情況發(fā)生的可能性是相等的其中滿足條件的為(a，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13種設(shè)“至少有1人的分數(shù)在50,60)”的事件為A，則P(A).一、選擇題1已知實數(shù)m0,1，向量a(2，2)，b(1,1)，則|ma|>|b|的概率是()A. B. C. D.答案C解析ma(2m，2m)，若|ma|>|b|，則 > ，得m<(舍去)或m>.所以|ma|>|b|的概率是P.故選C.2(2019·全國卷)兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是()A. B. C. D.答案D解析設(shè)兩位男同學分別為A，B，兩位女同學分別為a，b，則用“樹形圖”表示四位同學排成一列所有可能的結(jié)果如圖所示由圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中兩位女同學相鄰的結(jié)果(畫“”的情況)共有12種，故所求概率為.故選D.3一個三位數(shù)，個位、十位、百位上的數(shù)字依次為x，y，z，當且僅當y>x，y>z時，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243)，現(xiàn)從集合1,2,3,4中取出三個不相同的數(shù)組成一個三位數(shù)，則這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為()A. B. C. D.答案B解析從集合1,2,3,4中取出三個不相同的數(shù)組成一個三位數(shù)共有24個結(jié)果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，且這24種結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的其中是“凸數(shù)”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8個結(jié)果，所以這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為，故選B.4. 下圖是一個邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲400個點，其中落入黑色部分的有225個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積為()A8 B9 C10 D12答案B解析根據(jù)面積之比與點數(shù)之比相等的關(guān)系，得黑色部分的面積S4×4×9，故選B.5(2019·河南鄭州第三次質(zhì)檢)關(guān)于圓周率，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過很多有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗，受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的試驗來估計的值，試驗步驟如下：先請高二年級n名同學每人在小卡片上隨機寫下一個實數(shù)對(x，y)(0<x<1,0<y<1)；若卡片上的x，y能與1構(gòu)成銳角三角形，則將此卡片上交；統(tǒng)計上交的卡片數(shù)，記為m；根據(jù)統(tǒng)計數(shù)n，m估計的值那么可以估計的值約為()A. B. C. D.答案C解析由題意，實數(shù)對(x，y)(0<x<1,0<y<1)，即面積為1.且卡片上的x，y能與1構(gòu)成銳角三角形，即滿足x2y21，且所以面積為1，所以x，y能與1構(gòu)成銳角三角形的概率為1，由題，n張卡片上交m張，即1，故選C.6(2019·湖南師大附中模擬三)若即時起10分鐘內(nèi)，305路公交車和202路公交車由南往北等可能進入二里半公交站，則這兩路公交車進站時間的間隔不超過2分鐘的概率為()A0.18 B0.32 C0.36 D0.64答案C解析設(shè)305路車和202路車的進站時間分別為x，y，設(shè)所有基本事件為W：“進站時間的間隔不超過2分鐘”為事件A，則A(x，y)|0x10，0y10，|xy|2，畫出不等式表示的區(qū)域如圖中陰影區(qū)域，則S10×108×836，則P(A)0.36，故選C.7. (2019·北京師大附中模擬三)剪紙藝術(shù)是中國最古老的民間藝術(shù)之一，作為一種鏤空藝術(shù)，它能給人以視覺上的藝術(shù)享受在如圖所示的圓形圖案中有12個樹葉狀圖形(即圖中陰影部分)，構(gòu)成樹葉狀圖形的圓弧均相同若在圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是()A2 B4 C. D.答案B解析設(shè)圓的半徑為r，如圖所示，12片樹葉是由24個相同的弓形組成，且弓形AmB的面積為S弓形r2·r2·sinr2r2.所求的概率為P4，故選B.8在圓x2y24上任取一點，則該點到直線xy20的距離d0,1的概率為()A. B. C. D.答案C解析圓心(0,0)到直線xy20的距離為2，所以該直線與圓相切設(shè)切點為D，如圖，作與直線xy20平行的直線交圓于點A，B，且O到直線AB的距離OC1，而OA2，所以AOB.所以劣弧的長度為×2，而圓的周長為4，所以在圓x2y24上任取一點，該點到直線xy20的距離d0,1的概率為.二、填空題9給甲、乙、丙三人打電話，若打電話的順序是任意的，則第一個打電話給甲的概率是_答案解析給三人打電話的不同順序有6種等可能的結(jié)果，其中第一個給甲打電話的結(jié)果有2種，故所求概率為P.10袋中有大小、質(zhì)地相同的紅、黑球各一個，現(xiàn)有放回地隨機摸取3次，每次摸取一個球，若摸出紅球，得2分，摸出黑球，得1分，則3次摸球所得總分至少是4分的概率是_答案解析所有基本事件為(紅，紅，紅)，(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(黑，紅，紅)，(紅，黑，黑)，(黑，紅，黑)，(黑，黑，紅)，(黑，黑，黑)，共計8個，這8種情況發(fā)生的可能性是相等的可求對立事件“總分少于4分”即“三黑”的概率為，所以所求概率P1.11從區(qū)間2,2中隨機選取一個實數(shù)a，則函數(shù)f(x)4xa·2x11有零點的概率是_答案解析令t2x，函數(shù)有零點就等價于方程t22at10有正根，進而可得a1，又a2,2，所以函數(shù)有零點的實數(shù)a應滿足a1,2，故P.12某人在微信群中發(fā)了一個7元“拼手氣”紅包，被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人的概率是_答案解析設(shè)甲、乙、丙分別領(lǐng)到x元、y元、z元，記為(x，y，z)則基本事件有：(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)，(3,3,1)，(3,1,3)，(1,3,3)，共15種，這15種情況發(fā)生的可能性是相等的其中“甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人”所含的基本事件有：(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,2,2)，(3,3,1)，(3,1,3)，共6種，所以所求概率P.三、解答題13(2019·湖南長郡中學模擬) 據(jù)了解，大學英語四級改革的一項重要內(nèi)容就是總分改為710分，每個考生會有一個成績，不再頒發(fā)“合格證”這也意味著，不再有“及格”一說大學英語四級考試成績在425分及以上的考生可以報考大學英語六級考試，英語四級成績在550分及以上的考生可以報考口語如圖是從某大學數(shù)學專業(yè)40人的英語四級成績中隨機抽取8人的成績的莖葉圖：(1)根據(jù)這8人的英語四級成績，估計該大學數(shù)學專業(yè)英語四級考試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；(2)在這8人中，從可以報考大學英語六級考試的學生中任取2人，求這2人都可以報考口語的概率解(1)這8人的英語四級成績的平均數(shù)為(386410450485520564575610)÷8500，這8人的英語四級成績的中位數(shù)為(485520)÷2502.5，由此可估計該大學數(shù)學專業(yè)英語四級考試成績的平均數(shù)為500分，中位數(shù)為502.5分(2)設(shè)可以報考大學英語六級考試但不能報考口語的3人為A1，A2，A3，可以報考口語的3人為B1，B2，B3，從這6人中任取2人，全部情況為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15種，這15種情況發(fā)生的可能性是相等的這2人都可以報考口語的情況為(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共3種，則這2人都可以報考口語的概率P.