第二章 二次函數(shù)與命題一、基礎(chǔ)知識(shí)1二次函數(shù)：當(dāng)0時(shí)，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱(chēng)為關(guān)于x的二次函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。2二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的圖象開(kāi)口向上，在區(qū)間（-，x0上隨自變量x增大函數(shù)值減?。ê?jiǎn)稱(chēng)遞減），在x0, -）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡(jiǎn)稱(chēng)遞增）。當(dāng)a<0時(shí)，情況相反。3當(dāng)a>0時(shí)，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c>0及ax2+bx+c<0與函數(shù)f(x)的關(guān)系如下（記=b2-4ac）。1）當(dāng)>0時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)x1,x2(x1<x2)，不等式和不等式的解集分別是x|x<x1或x>x2和x|x1<x<x2，二次函數(shù)f(x)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，f(x)還可寫(xiě)成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=x0=,不等式和不等式的解集分別是x|x和空集，f(x)的圖象與x軸有唯一公共點(diǎn)。3）當(dāng)<0時(shí)，方程無(wú)解，不等式和不等式的解集分別是R和.f(x)圖象與x軸無(wú)公共點(diǎn)。當(dāng)a<0時(shí)，請(qǐng)讀者自己分析。4二次函數(shù)的最值：若a>0，當(dāng)x=x0時(shí)，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，則當(dāng)x=x0=時(shí)，f(x)取最大值f(x0)=.對(duì)于給定區(qū)間m,n上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，當(dāng)x0m, n時(shí)，f(x)在m, n上的最小值為f(x0); 當(dāng)x0<m時(shí)。f(x)在m, n上的最小值為f(m)；當(dāng)x0>n時(shí)，f(x)在m, n上的最小值為f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出）。定義1 能判斷真假的語(yǔ)句叫命題，如“3>5”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡(jiǎn)單命題，由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。注1 “p或q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同為假命題時(shí)為假，否則為真命題；“p且q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同時(shí)為真命題時(shí)為真，否則為假命題；p與“非p”即“p”恰好一真一假。定義2 原命題：若p則q（p為條件，q為結(jié)論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。注2 原命題與其逆否命題同真假。一個(gè)命題的逆命題和否命題同真假。注3 反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。定義3 如果命題“若p則q”為真，則記為pq否則記作pq.在命題“若p則q”中，如果已知pq,則p是q的充分條件；如果qp，則稱(chēng)p是q的必要條件；如果pq但q不p，則稱(chēng)p是q的充分非必要條件；如果p不q但pq，則p稱(chēng)為q的必要非充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件。二、方法與例題1待定系數(shù)法。例1 設(shè)方程x2-x+1=0的兩根是，求滿足f()=,f()=,f(1)=1的二次函數(shù)f(x).【解】 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0),則由已知f()=,f()=相減并整理得（-）（+）a+b+1=0，因?yàn)榉匠蘹2-x+1=0中0，所以，所以(+)a+b+1=0.又+=1,所以a+b+1=0.又因?yàn)閒(1)=a+b+c=1，所以c-1=1，所以c=2.又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由f()=得a2-(a+1)+2=,所以a2-a+2=+=1，所以a2-a+1=0.即a(2-+1)+1-a=0,即1-a=0，所以a=1,所以f(x)=x2-2x+2.2方程的思想。例2 已知f(x)=ax2-c滿足-4f(1)-1, -1f(2)5，求f(3)的取值范圍?！窘狻?因?yàn)?4f(1)=a-c-1,所以1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1),所以×(-1)+f(3)×5+×4,所以-1f(3)20.3利用二次函數(shù)的性質(zhì)。例3 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程f(x)=x無(wú)實(shí)根，求證：方程f(f(x)=x也無(wú)實(shí)根?！咀C明】若a>0，因?yàn)閒(x)=x無(wú)實(shí)根，所以二次函數(shù)g(x)=f(x)-x圖象與x軸無(wú)公共點(diǎn)且開(kāi)口向上，所以對(duì)任意的xR,f(x)-x>0即f(x)>x，從而f(f(x)>f(x)。所以f(f(x)>x，所以方程f(f(x)=x無(wú)實(shí)根。注：請(qǐng)讀者思考例3的逆命題是否正確。4利用二次函數(shù)表達(dá)式解題。例4 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的兩根x1, x2滿足0<x1<x2<,（）當(dāng)x(0, x1)時(shí)，求證：x<f(x)<x1；（）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=x0對(duì)稱(chēng)，求證：x0<【證明】 因?yàn)閤1, x2是方程f(x)-x=0的兩根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（）當(dāng)x(0, x1)時(shí)，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x.其次f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+<0，所以f(x)<x1.綜上，x<f(x)<x1.（）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+1-a(x1+x2)x+ax1x2,所以x0=,所以，所以5構(gòu)造二次函數(shù)解題。例5 已知關(guān)于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求證：方程的正根比1小，負(fù)根比-1大?！咀C明】 方程化為2a2x2+2ax+1-a2=0.構(gòu)造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即>0，所以f(x)在區(qū)間（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比1小，負(fù)根比-1大。6定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。例6 當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y=取最小值？求出這個(gè)最小值?！窘狻?y=1-,令u,則0<u1。y=5u2-u+1=5,且當(dāng)即x=3時(shí)，ymin=.例7 設(shè)變量x滿足x2+bx-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值?！窘狻?由x2+bx-x(b<-1)，得0x-(b+1).)-(b+1)，即b-2時(shí)，x2+bx的最小值為-，所以b2=2，所以（舍去）。) ->-(b+1)，即b>-2時(shí)，x2+bx在0，-(b+1)上是減函數(shù)，所以x2+bx的最小值為b+1,b+1=-,b=-.綜上，b=-.7.一元二次不等式問(wèn)題的解法。例8 已知不等式組 的整數(shù)解恰好有兩個(gè)，求a的取值范圍?！窘狻?因?yàn)榉匠蘹2-x+a-a2=0的兩根為x1=a, x2=1-a,若a0，則x1<x2.的解集為a<x<1-a，由得x>1-2a.因?yàn)?-2a1-a，所以a0,所以不等式組無(wú)解。若a>0，）當(dāng)0<a<時(shí)，x1<x2,的解集為a<x<1-a.因?yàn)?<a<x<1-a<1，所以不等式組無(wú)整數(shù)解。）當(dāng)a=時(shí)，a=1-a，無(wú)解。）當(dāng)a>時(shí)，a>1-a，由得x>1-2a，所以不等式組的解集為1-a<x<a.又不等式組的整數(shù)解恰有2個(gè)，所以a-(1-a)>1且a-(1-a)3，所以1<a2，并且當(dāng)1<a2時(shí)，不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解0，1。綜上，a的取值范圍是1<a2.8充分性與必要性。例9 設(shè)定數(shù)A，B，C使得不等式A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)0 對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y,z都成立，問(wèn)A，B，C應(yīng)滿足怎樣的條件？（要求寫(xiě)出充分必要條件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示條件）【解】 充要條件為A，B，C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA).先證必要性，可改寫(xiě)為A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)20 若A=0，則由對(duì)一切x,y,zR成立，則只有B=C，再由知B=C=0，若A0，則因?yàn)楹愠闪?，所以A>0，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，即A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有B0，C0，所以必要性成立。再證充分性，若A0，B0，C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA)，1）若A=0，則由B2+C22BC得(B-C)20，所以B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若A>0，則由知0，所以成立，所以成立。綜上，充分性得證。9常用結(jié)論。定理1 若a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|.【證明】 因?yàn)?|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|,所以|a+b|a|+|b|（注：若m>0，則-mxm等價(jià)于|x|m）.又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.綜上定理1得證。定理2 若a,bR, 則a2+b22ab；若x,yR+,則x+y(證略)注 定理2可以推廣到n個(gè)正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細(xì)論證。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1下列四個(gè)命題中屬于真命題的是_，“若x+y=0，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；“兩個(gè)全等三角形的面積相等”的否命題；“若q1，則x2+x+q=0有實(shí)根”的逆否命題；“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”的逆否命題。2由上列各組命題構(gòu)成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題中，p或q為真，p且q為假，非p為真的是_.p；3是偶數(shù)，q：4是奇數(shù)；p:3+2=6,q:p:a(a,b),q:aa,b; p: QR, q: N=Z.3. 當(dāng)|x-2|<a時(shí)，不等式|x2-4|<1成立，則正數(shù)a的取值范圍是_.4. 不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解是1<x<2，則a, b的值是_.5. x1且x2是x-1的_條件，而-2<m<0且0<n<1是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有兩個(gè)小于1的正根的_條件.6.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的逆命題是_.7.若S=x|mx2+5x+2=0的子集至多有2個(gè)，則m的取值范圍是_.8. R為全集，A=x|3-x4, B=, 則(CRA)B=_.9. 設(shè)a, b是整數(shù)，集合A=(x,y)|(x-a)2+3b6y，點(diǎn)（2，1）A，但點(diǎn)（1，0）A，（3，2）A則a,b的值是_.10設(shè)集合A=x|x|<4, B=x|x2-4x+3>0，則集合x(chóng)|xA且xAB=_.11. 求使不等式ax2+4x-1-2x2-a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的a的取值范圍。12對(duì)任意x0,1,有 成立，求k的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題1若不等式|x-a|<x的解集不空，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.2使不等式x2+(x-6)x+9>0當(dāng)|a|1時(shí)恒成立的x的取值范圍是_.3若不等式-x2+kx-4<0的解集為R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.4若集合A=x|x+7|>10, B=x|x-5|<k，且AB=B，則k的取值范圍是_.5設(shè)a1、a2, b1、b2, c1、c2均為非零實(shí)數(shù)，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集分別為M和N，那么“”是“M=N”的_條件。6若下列三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.7已知p, q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則r是q的_條件。8已知p: |1-|2, q: x2-2x+1-m20(m>0)，若非p是非q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.9已知a>0，f(x)=ax2+bx+c，對(duì)任意xR有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)<f(1+2x-x2)，求x 的取值范圍。10已知a, b, cR, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 當(dāng)|x|1時(shí)，|f(x)|1,(1)求證：|c|1;(2)求證：當(dāng)|x|1時(shí)，|g(x)|2;(3)當(dāng)a>0且|x|1時(shí)，g(x)最大值為2，求f(x).11.設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c,m滿足條件：=0，且a0,m>0，求證：方程ax2+bx+c=0有一根x0滿足0<x0<1.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是_.2如果實(shí)數(shù)x, y滿足：，那么|x|-|y|的最小值是_.3已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），（3，5），f(0)>0，當(dāng)函數(shù)的最小值取最大值時(shí)，a+b2+c3=_.4. 已知f(x)=|1-2x|, x0,1，方程f(f(f)(x)=x有_個(gè)實(shí)根。5若關(guān)于x的方程4x2-4x+m=0在-1，1上至少有一個(gè)實(shí)根，則m取值范圍是_.6若f(x)=x4+px3+qx2+x對(duì)一切xR都有f(x)x且f(1)=1，則p+q2=_.7. 對(duì)一切xR，f(x)=ax2+bx+c(a<b)的值恒為非負(fù)實(shí)數(shù)，則的最小值為_(kāi).8函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象如圖，且=b-2ac. 那么b2-4ac_4. （填>、=、<）9若a<b<c<d，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)t-1, 關(guān)于x的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0都有兩個(gè)不等的實(shí)根。10某人解二次方程時(shí)作如下練習(xí)：他每解完一個(gè)方程，如果方程有兩個(gè)實(shí)根，他就給出下一個(gè)二次方程：它的常數(shù)項(xiàng)等于前一個(gè)方程較大的根，x的系數(shù)等于較小的根，二次項(xiàng)系數(shù)都是1。證明：這種練習(xí)不可能無(wú)限次繼續(xù)下去，并求最多能延續(xù)的次數(shù)。11已知f(x)=ax2+bx+c在0，1上滿足|f(x)|1,試求|a|+|b|+|c|的最大值。六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1設(shè)f(x)=ax2+bx+c，a,b,cR, a>100，試問(wèn)滿足|f(x)|50的整數(shù)x最多有幾個(gè)？2設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a<0)，對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)l(a)，使得在整個(gè)區(qū)間0，l(a)上，不等式|f(x)|5都成立。求l(a)的最大值及相應(yīng)a的值。3設(shè)x1,x2,xna, a+1，且設(shè)x=, y=, 求f=y-x2的最大值。4F(x)=ax2+bx+c，a,b,cR, 且|F(0)|1,|F(1)|1,|F(-1)|1,則對(duì)于|x|1，求|F(x)|的最大值。5已知f(x)=x2+ax+b，若存在實(shí)數(shù)m，使得|f(m)|,|f(m+1)|,求=a2-4b的最大值和最小值。6設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a,b,cR, a0)滿足下列條件：1）當(dāng)xR時(shí)，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)x；2）當(dāng)x(0, 2)時(shí)，f(x);3）f(x)在R上最小值為0。求最大的m(m>1)，使得存在tR，只要x1, m就有f(x+t)x.7.求證：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。8設(shè)a,b,A,BR+, a<A, b<B，若n個(gè)正數(shù)a1, a2,an位于a與A之間，n個(gè)正數(shù)b1, b2,bn位于b與B之間，求證：9設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，g(x)=ax2+bx+c, |x|1，求使下列條件同時(shí)滿足的a, b, c的值：（）=381;（）g(x)max=444;（）g(x)min=364.高考資源網(wǎng)()來(lái)源：高考資源網(wǎng)版權(quán)所有：高考資源網(wǎng)(www.k s 5 )