題型三 圖形動(dòng)態(tài)研究題圖形動(dòng)態(tài)研究題線段問(wèn)題線段問(wèn)題類型一類型一類型二類型二圖形形狀問(wèn)題圖形形狀問(wèn)題類型三類型三圖形面積問(wèn)題圖形面積問(wèn)題類型一類型一 線段問(wèn)題線段問(wèn)題 例例(2015岳陽(yáng)岳陽(yáng))已知直線已知直線mn,點(diǎn)點(diǎn)C是直線是直線m上一點(diǎn)上一點(diǎn),點(diǎn)點(diǎn)D是直線是直線n上一點(diǎn)上一點(diǎn),CD與直線與直線m、n不垂直不垂直,點(diǎn)點(diǎn)P為線段為線段CD的中點(diǎn)的中點(diǎn) (1)操作發(fā)現(xiàn)：直線操作發(fā)現(xiàn)：直線lm,ln,垂足分別為點(diǎn)垂足分別為點(diǎn)A、B,當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)重合時(shí)(如圖所示如圖所示),連接連接PB,請(qǐng)直接寫出線段請(qǐng)直接寫出線段PA與與PB的數(shù)量關(guān)系：的數(shù)量關(guān)系：_； (2)猜想證明：在圖的情況下猜想證明：在圖的情況下,把直線把直線l向上平移到如向上平移到如圖的位置圖的位置,試問(wèn)試問(wèn)(1)中的中的PA與與PB的關(guān)系式是否仍然成立？的關(guān)系式是否仍然成立？若成立若成立,請(qǐng)證明；若不成立請(qǐng)證明；若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由；請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)延伸探究：在圖的情況下延伸探究：在圖的情況下，把直線把直線l繞點(diǎn)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)，使得使得APB=90(如圖所示如圖所示)，若兩平行線若兩平行線m、n之間之間的距離為的距離為2k，求證：求證：PAPB=kAB. (1)【思維教練】【思維教練】要判斷要判斷PA與與PB的數(shù)量關(guān)系，的數(shù)量關(guān)系，觀察圖形，已知點(diǎn)觀察圖形，已知點(diǎn)P為為CD中點(diǎn)，聯(lián)想到直角三角形中點(diǎn)，聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，通過(guò)證明斜邊上的中線等于斜邊的一半，通過(guò)證明ABD為直角三角形，即可得到結(jié)論；為直角三角形，即可得到結(jié)論； 解解：PA=PB； 【解法提示】【解法提示】ln，ABD是直角三角形，是直角三角形，又又點(diǎn)點(diǎn)P是是AD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，PB= =PA. (2)【思維教練思維教練】要證】要證PA=PB，只需證明點(diǎn)只需證明點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線上即可；的垂直平分線上即可； 解解：成立：成立 證明：如解圖證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C作作CEn于點(diǎn)于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作作PFCE于點(diǎn)于點(diǎn)F， PFn，點(diǎn)點(diǎn)P是是CD的中點(diǎn)的中點(diǎn)， 點(diǎn)點(diǎn)F是是CE的中點(diǎn)的中點(diǎn)，PF垂直平分垂直平分CE， mn，ABm， AB= =CE，且且ABCE， PF垂直且平分垂直且平分AB，PA= =PB； 【一題多解】如解圖【一題多解】如解圖，過(guò)過(guò)P作作EFAB，交交m于點(diǎn)于點(diǎn)E，交交n于點(diǎn)于點(diǎn)F， ABm，ABn，EFm，EFn，四邊形四邊形EFBA是矩形是矩形，AE=BF.P是是CD的中點(diǎn)的中點(diǎn)，PC=PD，mn，PCE=PDF，又又EPC=FPD，PCE PDF(ASA)，PE=PF，RtPEA RtPFB(SAS)，PA=PB.(3)【思維教練】延長(zhǎng)【思維教練】延長(zhǎng)AP交直線交直線n于點(diǎn)于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A作作AEn于點(diǎn)于點(diǎn)E，易證易證AEFBPF，即可得到即可得到AFBP= =AEBF，從而證得從而證得PAPB=kAB. 證明證明：如解圖：如解圖，延長(zhǎng)延長(zhǎng)AP交直線交直線n于點(diǎn)于點(diǎn)F，過(guò)過(guò)A作作AEn 于點(diǎn)于點(diǎn)E. mn，點(diǎn)點(diǎn)P為線段為線段CD的中點(diǎn)的中點(diǎn)， ， AP=PF， APB=90，BPAF， BF=AB，APPCPFPDAEn，AEF=90，又又AFE=BFP，RtAEFRtBPF， ，AFBP=AEBF，又又AF=2AP，AE=2k，BF=AB，2PAPB=2kAB，即即PAPB=kAB.AFAEBFBP 與線段有關(guān)的動(dòng)態(tài)探究題與線段有關(guān)的動(dòng)態(tài)探究題，通常有以下幾類：通常有以下幾類： 1. 探究或者證明兩線段的數(shù)量關(guān)系：探究或者證明兩線段的數(shù)量關(guān)系： (1)要證明的線段在某一四邊形中要證明的線段在某一四邊形中，考慮利用特殊四考慮利用特殊四邊形的性質(zhì)邊形的性質(zhì)，通過(guò)量的轉(zhuǎn)換、等量代換進(jìn)行求證；通過(guò)量的轉(zhuǎn)換、等量代換進(jìn)行求證； (2)如果所要證明的線段在某個(gè)三角形中如果所要證明的線段在某個(gè)三角形中，考慮利用考慮利用等腰、直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求證；等腰、直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求證； (3)如果所要證明的線段在兩個(gè)三角形中如果所要證明的線段在兩個(gè)三角形中，考慮通過(guò)考慮通過(guò)三角形全等的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明；三角形全等的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明； (4)三條線段的數(shù)量關(guān)系三條線段的數(shù)量關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為兩條線段進(jìn)行探可轉(zhuǎn)化為兩條線段進(jìn)行探究究導(dǎo)方 法 指 2. 探究或者證明兩線段的位置關(guān)系：兩線段的位置關(guān)探究或者證明兩線段的位置關(guān)系：兩線段的位置關(guān)系通常為平行或垂直觀察圖形系通常為平行或垂直觀察圖形，根據(jù)圖形先推斷兩線根據(jù)圖形先推斷兩線段的位置關(guān)系是平行或垂直段的位置關(guān)系是平行或垂直 若平行若平行，則常通過(guò)以下方法進(jìn)行證解則常通過(guò)以下方法進(jìn)行證解： (1)平行線判定的定理；平行線判定的定理；(2)平行四邊形對(duì)邊平行；平行四邊形對(duì)邊平行；(3)三三角形的中位線性質(zhì)等角形的中位線性質(zhì)等 若垂直若垂直，則常通過(guò)以下方法進(jìn)行證解則常通過(guò)以下方法進(jìn)行證解： (1)證明兩線段所在直線的夾角為證明兩線段所在直線的夾角為90；(2)兩線段是矩兩線段是矩形的鄰邊；形的鄰邊；(3)兩線段是菱形的對(duì)角線；兩線段是菱形的對(duì)角線；(4)勾股定理的逆勾股定理的逆定理；定理；(5)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)等方式證明利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)等方式證明導(dǎo)方 法 指 3. 求線段的長(zhǎng)度、比值時(shí)一般多涉及三角形全等和求線段的長(zhǎng)度、比值時(shí)一般多涉及三角形全等和相似的相關(guān)證明和性質(zhì)的運(yùn)用相似的相關(guān)證明和性質(zhì)的運(yùn)用，具體方法如下：要計(jì)具體方法如下：要計(jì)算線段比、面積比時(shí)算線段比、面積比時(shí)，可考慮從以下兩方面思考：可考慮從以下兩方面思考：(1)直接利用特殊圖形的性質(zhì)先求出對(duì)應(yīng)線段、面積的值直接利用特殊圖形的性質(zhì)先求出對(duì)應(yīng)線段、面積的值，再求比值；再求比值；(2)通過(guò)尋找相似三角形通過(guò)尋找相似三角形，利用相似三角形利用相似三角形的性質(zhì)求相應(yīng)的比值的性質(zhì)求相應(yīng)的比值導(dǎo)方 法 指類型二類型二 圖形形狀問(wèn)題圖形形狀問(wèn)題 例例(2016郴州郴州)如圖如圖，矩形矩形ABCD中中，AB=7cm，AD=4 cm，點(diǎn)點(diǎn)E為為AD上一定點(diǎn)上一定點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)F為為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且且DF=a cm.點(diǎn)點(diǎn)P從從A點(diǎn)出發(fā)點(diǎn)出發(fā)，沿沿AB邊向點(diǎn)邊向點(diǎn)B以以2cm/s的速度運(yùn)的速度運(yùn)動(dòng)連接動(dòng)連接PE，設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s，PAE的面積為的面積為y cm2.當(dāng)當(dāng)0t1時(shí)時(shí)，PAE的面積的面積y (cm2)關(guān)于時(shí)間關(guān)于時(shí)間t(s)的函數(shù)圖象的函數(shù)圖象如圖所示連接如圖所示連接PF，交交CD于點(diǎn)于點(diǎn)H.(1)t的取值范圍為的取值范圍為_，AE=_cm；(2)如圖如圖，將將HDF沿線段沿線段DF進(jìn)行翻折進(jìn)行翻折，與與CD的延長(zhǎng)線的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)交于點(diǎn)M，連接連接AM，當(dāng)當(dāng)a為何值時(shí)為何值時(shí)，四邊形四邊形PAMH為菱形？為菱形？并求出此時(shí)點(diǎn)并求出此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t； (3)如圖如圖，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)出發(fā)1s后后，AD邊上另一動(dòng)點(diǎn)邊上另一動(dòng)點(diǎn)Q從從E點(diǎn)點(diǎn)出發(fā)出發(fā)，沿沿ED邊向點(diǎn)邊向點(diǎn)D以以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)如果的速度運(yùn)動(dòng)如果P，Q兩點(diǎn)兩點(diǎn)中的任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后中的任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接連接PQ，QH.若若a= cm，請(qǐng)問(wèn)請(qǐng)問(wèn)PQH能否構(gòu)成直角三角形？若能能否構(gòu)成直角三角形？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)請(qǐng)求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不能；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)說(shuō)明理由43 (1)【思維教練思維教練】t 的最小值為的最小值為0，t 的最大值與的最大值與AB的長(zhǎng)有的長(zhǎng)有關(guān)；要求關(guān)；要求AE的長(zhǎng)的長(zhǎng)，將將y與與t的關(guān)系式表示出來(lái)的關(guān)系式表示出來(lái)，結(jié)合圖結(jié)合圖即即可求解；可求解；解：解： ，1；【解法提示】由【解法提示】由2t7，得，得 ， . ，從圖象可知，當(dāng)從圖象可知，當(dāng)t=0.5時(shí)，時(shí)，y=0.5，即即0.5=0.5AE，解得解得AE=1.t702 t72t702 yPA AEt AEt AE 11222 (2)【思維教練】根據(jù)【思維教練】根據(jù)PFAM和翻折的性質(zhì)得到和翻折的性質(zhì)得到 AM=MF，可得可得DF=AD=a；要求；要求 t 的值只能放在直角三角形的值只能放在直角三角形中中，用勾股定理解決用勾股定理解決，而各邊長(zhǎng)可通過(guò)菱形的性質(zhì)和翻而各邊長(zhǎng)可通過(guò)菱形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)用折的性質(zhì)用 t 表示即可求解；表示即可求解；解解：由翻折的性質(zhì)可知：由翻折的性質(zhì)可知：PFA=MFA，而當(dāng)四邊形而當(dāng)四邊形PAMH為菱形時(shí)為菱形時(shí)，PFAM，PFA=MAF=MFA, MA=MF，MDAF，DF=AD=4cm，a=4.MH=PA=2t，DM=t，在在RtADM中中，AM2=AD2DM2=16t2， 若四邊形若四邊形PAMH為菱形為菱形，則則AP2=AM2， 4t 2=16t 2，解得：，解得：t = （負(fù)值舍去）（負(fù)值舍去）當(dāng)當(dāng)a=4時(shí)，四邊形時(shí)，四邊形PAMH為菱形，此時(shí)點(diǎn)為菱形，此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí)間 t 為為 s4 334 33(3)【思維教練】將相關(guān)線段用含【思維教練】將相關(guān)線段用含t的式子表示出來(lái)的式子表示出來(lái)，通過(guò)分類討論：通過(guò)分類討論：PQH= =90；PHQ= =90；QPH= =90，分別運(yùn)用相似三角形的比例關(guān)系式分別運(yùn)用相似三角形的比例關(guān)系式求求出出t 值即可值即可解解：由題意得：由題意得，AP=2t，AQ=11(t1)=t，DQ=4t， , ,DHPA，DF 434164,33AFt43,16223DHDFDHtDHPAAF即即當(dāng)當(dāng)PQH=90時(shí)，時(shí)，PQAHQD=HQDQHD=90，PQA=QHD，又又A=HDQ=90，PQAQHD， 解得解得 t =2；當(dāng)當(dāng)PHQ=90 時(shí)，時(shí)，DHFQ，QDHHDF，242PAAQtttQDDHt，即即DHQDDFHD，DH2=DFDQ， 當(dāng)當(dāng)QPH=90時(shí)時(shí)，這種情況不存在這種情況不存在綜上綜上，當(dāng)當(dāng)t =2或或 t = 時(shí)時(shí)，PQH為直角三角形為直角三角形2tttt1244238= 83（ ）（），-；- -解解得得（舍舍去去）83 與圖形形狀有關(guān)的動(dòng)態(tài)探究題與圖形形狀有關(guān)的動(dòng)態(tài)探究題, 通常見有以下幾種類型：通常見有以下幾種類型： 一、探究一、探究等腰三角形等腰三角形的問(wèn)題具體方法如下：的問(wèn)題具體方法如下： 1分情況討論分情況討論.當(dāng)所給條件中沒有說(shuō)明哪條邊是等腰三當(dāng)所給條件中沒有說(shuō)明哪條邊是等腰三角形的底角形的底,哪條邊是等腰三角形的腰時(shí)哪條邊是等腰三角形的腰時(shí),這時(shí)要對(duì)其進(jìn)行分這時(shí)要對(duì)其進(jìn)行分類討論類討論,假設(shè)某兩條邊相等假設(shè)某兩條邊相等,得到三種情況；得到三種情況； 2求邊長(zhǎng)求邊長(zhǎng).在每種情況下在每種情況下,用題設(shè)中已設(shè)出自變量用題設(shè)中已設(shè)出自變量(時(shí)間時(shí)間t或線段長(zhǎng)或線段長(zhǎng)x)表示出假設(shè)相等的兩條邊的長(zhǎng)或第三邊的長(zhǎng)；表示出假設(shè)相等的兩條邊的長(zhǎng)或第三邊的長(zhǎng)； 3建立關(guān)系式并計(jì)算根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定建立關(guān)系式并計(jì)算根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理或相似三角形的性質(zhì)列等量關(guān)系式理或相似三角形的性質(zhì)列等量關(guān)系式,根據(jù)等量關(guān)系求出根據(jù)等量關(guān)系求出t值或值或x值即可值即可導(dǎo)方 法 指二、探究二、探究直角三角形直角三角形的問(wèn)題具體方法如下：的問(wèn)題具體方法如下： 1分情況討論當(dāng)所給的條件不能確定直角頂點(diǎn)分情況討論當(dāng)所給的條件不能確定直角頂點(diǎn)時(shí)時(shí)，分情況討論分情況討論，分別令三角形的某個(gè)角為分別令三角形的某個(gè)角為90； 2求邊長(zhǎng)在每種情況下求邊長(zhǎng)在每種情況下，用題設(shè)中已設(shè)出自變用題設(shè)中已設(shè)出自變量量(時(shí)間時(shí)間t或線段長(zhǎng)或線段長(zhǎng)x)表示出三邊的長(zhǎng)；表示出三邊的長(zhǎng)； 3驗(yàn)證求解：用相似三角形的性質(zhì)或勾股定理進(jìn)驗(yàn)證求解：用相似三角形的性質(zhì)或勾股定理進(jìn)行驗(yàn)證并求解出結(jié)論成立時(shí)的行驗(yàn)證并求解出結(jié)論成立時(shí)的t值或值或x值即可值即可導(dǎo)方 法 指類型三類型三 圖形面積問(wèn)題圖形面積問(wèn)題 例例(2016益陽(yáng)益陽(yáng))如圖如圖，在在ABC中中，ACB=90，B=30，AC=1，D為為AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)，EF為為ACD的中位的中位線線，四邊形四邊形EFGH為為ACD的內(nèi)接矩形的內(nèi)接矩形(矩形的四個(gè)頂點(diǎn)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)均在均在ACD的邊上的邊上) (1)計(jì)算矩形計(jì)算矩形EFGH的面積；的面積； (2)將矩形將矩形EFGH沿沿AB向右平移向右平移，F(xiàn)落在落在BC上時(shí)停止上時(shí)停止移動(dòng)在平移過(guò)程中移動(dòng)在平移過(guò)程中，當(dāng)矩形與當(dāng)矩形與CBD重疊部分的面積重疊部分的面積為為 時(shí)時(shí)，求矩形平移的距離；求矩形平移的距離；316 (3)如圖如圖，將將(2)中矩形平移停止時(shí)所得的矩形記為中矩形平移停止時(shí)所得的矩形記為矩形矩形E1F1G1H1，將矩形將矩形E1F1G1H1繞繞G1點(diǎn)按順時(shí)針方向旋點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，當(dāng)當(dāng)H1落在落在CD上時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)上時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形E2F2G1H2，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，求求cos的值的值例題圖例題圖 (1)【思維教練】要求矩形【思維教練】要求矩形EFGH的面積的面積，需求需求EF、GF的長(zhǎng)的長(zhǎng)，利用中位線的性質(zhì)可得利用中位線的性質(zhì)可得EF、DF，從而在從而在FGD中中可求得可求得GF，即可得解；即可得解； 解解：在：在ABC中中，ACB=90，B=30，AC=1， AB=2，A=60 又又D是是AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)，AD=1，CD=AD= AB=1 又又EF是是ACD的中位線，的中位線，EF= AD= CD= DF 在在ACD中，中，AD=CD, A=60，ADC=60. 在在FGD中，中，GF=DFsin60= S矩形矩形EFGH= =EFGF= = = ；1234343812121212 (2)【思維教練】分情況討論【思維教練】分情況討論，當(dāng)矩形與當(dāng)矩形與CBD重疊部重疊部分為三角形和四邊形時(shí)分為三角形和四邊形時(shí)，分別令重疊部分面積為分別令重疊部分面積為 即可即可求解；求解；316 解解：由第：由第(1)問(wèn)問(wèn)，易得易得GD= DF= ，設(shè)矩形平移的距設(shè)矩形平移的距離為離為x，則則0 x ，如解圖如解圖，當(dāng)矩形與當(dāng)矩形與CBD重疊部分為重疊部分為三角形時(shí)三角形時(shí)，則則0 x ，1214=().Sxx1332162144，重重疊疊解解得得舍舍去去1214 如解圖如解圖，當(dāng)矩形與當(dāng)矩形與CBD重疊部分為四邊形時(shí)重疊部分為四邊形時(shí)，則則 x ， 即當(dāng)矩形平移的距離為即當(dāng)矩形平移的距離為 ， 矩形與矩形與CBD重疊部重疊部分分的面積是的面積是 .1214=.Sxx3113342441638，重重疊疊解解得得38316 (3)【思維教練】【思維教練】作作H2QAB于于Q，設(shè)設(shè)DQ=m，則則H2Q= m，又又DG1= ，H2G1= ，利用勾股定理可得利用勾股定理可得m，在在RtQH2G1中中，利用三角函數(shù)解得利用三角函數(shù)解得cos.3121414 解解：如解圖：如解圖，過(guò)過(guò)H2作作H2QAB于于Q. .設(shè)設(shè)DQ= =m，則則H2Q= = m，又又DG1= = ，H2G1= .= .在在RtH2QG1中，中，()()( )=().mmm 2221111334216，舍舍去去負(fù)負(fù)值值解解得得+=QGDQH G1211131113313164cos.11682，312