考點十三角恒等變換與解三角形一、選擇題1(2019·全國卷)已知，2sin2cos21，則sin()A. B. C. D.答案B解析由2sin2cos21，得4sincos2cos2.又，tan，sin.故選B.2(2019·遼寧丹東質(zhì)量測試二)若tan3，則sin2cos2()A. B C1 D3答案A解析因為tan33tan2，所以sin2cos2，故選A.3(2019·湖北4月調(diào)研)已知sinxcosx，則cos()A. B. C. D.答案B解析由sinxcosx，得2sin，所以cossin，故選B.4(2019·山西呂梁階段性測試一)已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若2cosB，則該三角形一定是()A等腰三角形 B直角三角形C等邊三角形 D等腰直角三角形答案A解析由2cosB得2×，即c2b2，bc，ABC為等腰三角形，故選A.5(2019·湖南湘東五校聯(lián)考)已知sin()，sin()，則log 2等于()A2 B3 C4 D5答案C解析因為sin()，sin()，所以sincoscossin，sincoscossin，所以sincos，cossin，所以5，所以log 2log 524.故選C.6如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為()A. B. C. D.答案D解析根據(jù)題意可設(shè)此三角形的三邊長分別為2t,2t，t，由余弦定理得它的頂角的余弦值為.7在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且a2c2acbc，則()A. B. C. D.答案B解析由a，b，c成等比數(shù)列得b2ac，則有a2c2b2bc，由余弦定理得cosA，故A，對于b2ac，由正弦定理得，sin2BsinAsinC·sinC，由正弦定理得，.8(2019·山東棲霞模擬)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2，B2A，則b的取值范圍為()A(0,4) B(2,2)C(2，2) D(2，4)答案C解析a2，B2A，0<2A<，AB3A，<3A<，<A<，又0<A<，<cosA<，由正弦定理得b2cosA，即b4cosA，2<4cosA<2，則b的取值范圍為(2，2)，故選C.二、填空題9(2019·吉林聯(lián)合模擬一)已知sin10°mcos10°2cos40°，則m_.答案解析由sin10°mcos10°2cos40°得sin10°mcos10°2cos(10°30°)2，所以m.10(2019·江西景德鎮(zhèn)第二次質(zhì)檢)公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為m2sin18°.若m2n4，則_.答案2解析因為m2sin18°，m2n4，所以n4m244sin218°4cos218°，所以2.11(2019·河南八市重點高中模擬)已知點(3，a)和(2a,4)分別在角和角45°的終邊上，則實數(shù)a的值是_答案6解析由題得tan，tan(45°)，所以a25a60，解得a6或1，當(dāng)a1時，兩個點分別在第四象限和第二象限，不符合題意，舍去，所以a6.12(2019·華南師大附中一模)在ABC中，a，b，c為角A，B，C的對邊，a，b，c成等比數(shù)列，ac3，cosB，則·_.答案解析因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b2ac.又因為ac3，cosB.根據(jù)余弦定理得b2a2c22accosB(ac)22ac2accosB，所以ac322acac，解得ac2，所以·c·acos(B)accosB2×.三、解答題 13(2019·河北保定二模)已知ABC中，A，cosB，AC8.(1)求ABC的面積；(2)求AB邊上的中線CD的長解(1)cosB，且B(0，)，sinB，sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB××，在ABC中，由正弦定理得，即，解得AB7.所以ABC的面積為SAB·AC·sinA×7×8×28.(2)解法一：在ACD中，AD，所以由余弦定理得CD28222×8××，所以CD.解法二：因為cosB<，B>，A，C為銳角，故cosC.2，4|2()2|22·|2642×8×5×50130，所以CD.14(2019·河南鄭州第三次質(zhì)量檢測)在ABC中，AB2，AC，AD為ABC的內(nèi)角平分線，AD2.(1)求的值；(2)求角A的大小解(1)在ABD中，由正弦定理得，在ACD中，由正弦定理得，sinADBsinADC，AC，AB2，2.(2)在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22AB·ADcos168×cos，在ACD中，由余弦定理得CD2AC2AD22AC·ADcos74cos，所以4，解得cos，又，即A.一、選擇題1在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，A60°，a4，b4，則B()AB30°或B150° BB150°CB30° DB60°或B150°答案C解析A60°，a4，b4，sinB，a>b，B<60°，B30°，故選C.2(2019·江西新八校第二次聯(lián)考)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積”公式為S，若a2sinC2sinA，(ac)26b2，則用“三斜求積”公式求得ABC的面積為()A. B.C. D1答案A解析a2sinC2sinA，a2c2a，即ac2，又(ac)26b2，a2c22ac6b2，即a2c2b262ac642，則ABC的面積為 ，故選A.3(2019·湖北黃岡元月調(diào)研)已知a，b，c分別為ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，已知C45°，c，ax，若滿足條件的三角形有兩個，則x的取值范圍是()A.<x<1 B.<x<2C1<x<2 D1<x<答案B解析在ABC中，由正弦定理得，即，可得sinAx，由題意得當(dāng)A時，滿足條件的ABC有兩個，所以<x<1，解得<x<2，則a的取值范圍是(，2)，故選B.4若sin2，sin()，且，則的值是()A. B.C.或 D.或答案A解析因為，所以2，又sin2，所以2，所以cos2.又，所以，故cos()，所以cos()cos2()cos2cos()sin2sin()××，又，故，選A.5(2019·河北邯鄲一模)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知absinC20sinB，a2c241，且8cosB1，則b()A6 B4C3 D7答案A解析因為absinC20sinB，所以由正弦定理得abc20b，所以ac20，又因為a2c241，cosB，所以由余弦定理，得b2a2c22accosB412×20×36，所以b6.6在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足abc643，則()A B.C D答案A解析由已知得b，c，所以cosA.因為cosA，所以.故選A.7(2019·閩粵贛三省十校聯(lián)考)已知ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，點M在邊AC上，且cosAMB，BM，則AB()A4 B2 C. D.答案A解析由正弦定理可知即sinAcosC2sinBcosAcosAsinCsin(AC)2sinBcosA，即sinB2sinBcosAcosAsinA，cosAMBsinAMB，在AMB中，即，解得AB4，故選A.8(2019·福建寧德第二次質(zhì)量檢查)如圖，為了測量某濕地A，B兩點間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點C，D，E.從D點測得ADC67.5°，從C點測得ACD45°，BCE75°，從E點測得BEC60°.若測得DC2，CE(單位：百米)，則A，B兩點的距離為()A. B2 C3 D2答案C解析根據(jù)題意，在ADC中，ACD45°，ADC67.5°，DC2，則DAC180°45°67.5°67.5°，則ACDC2，在BCE中，BCE75°，BEC60°，CE，則EBC180°75°60°45°，則，變形得BC，在ABC中，AC2，BC，ACB180°ACDBCE60°，則AB2AC2BC22AC·BC·cosACB9，則AB3，故選C.二、填空題9已知cossin()，<<0，則cos_.答案解析依題意得cossin()cossinsincossinsin，sin，coscos12sin212×2.10.的值是_答案解析原式.11如圖，在ABC中，B45°，D是BC邊上一點，AD5，AC7，DC3，則AB的長為_答案解析在ACD中，cosADC，所以ADC120°，所以ADB60°.在ABD中，由正弦定理，得，所以AB.12(2019·安徽合肥模擬)在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b，且滿足(2ca)cosBbcosA0，則ABC周長的取值范圍是_答案(3，3解析由(2ca)cosBbcosA0及正弦定理知(2sinCsinA)cosBsinBcosA0，sinC(2cosB1)0，sinC0，cosB，又B(0，)，B，b，根據(jù)正弦定理得，2，ac2sinA2sinC2sin2sinCcosC3sinC2sin，又ABC是銳角三角形，<C<，C，sin，ac的取值范圍是(3，2，ABC周長的取值范圍是(3，3三、解答題13(2019·河北示范性高中聯(lián)合體3月聯(lián)考)在ABC中，3sinA2sinB，tanC2.(1)證明：ABC為等腰三角形；(2)若ABC的面積為2，D為AC邊上一點，且BD3CD，求線段CD的長解(1)證明：3sinA2sinB，3a2b，tanC2，cosC，設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，由余弦定理可得c2a2b22abcosCa2b22a×cosCb2，即bc，則ABC為等腰三角形(2)tanC2，sinC，則ABC的面積SabsinC×a2×2，解得a2.設(shè)CDx，則BD3x，由余弦定理可得(3x)2x2224x×，解得x(負(fù)根舍去)，從而線段CD的長為.14(2019·山西晉城第三次模擬)如圖所示，銳角ABC中，AC5，點D在線段BC上，且CD3，ACD的面積為6，延長BA至E，使得ECBC.(1)求AD的值；(2)若sinBEC，求AE的值解(1)在ACD中，SACDAC·CDsinACD×5×3×sinACD6，所以sinACD，因為0°<ACD<90°，所以cosACD.由余弦定理得，AD2CD2CA22·CD·CA·cosACD56，得AD2.(2)因為ECBC，所以sinACEsin(90°ACD)cosACD.在AEC中，由正弦定理得，即，所以AE.