考點(diǎn)十一等差數(shù)列與等比數(shù)列一、選擇題1已知數(shù)列an為等比數(shù)列，且a34，a716，則a5()A8 B8 C±8 D±4答案A解析由q4得q44，則q22，所以a5a3·q24×28，故選A.2已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a11，a22,2aaa，則a6()A16 B8 C4 D2答案C解析由2aaa知，數(shù)列a是等差數(shù)列，前兩項(xiàng)為1,4，所以公差d3，故a15×316，所以a64，故選C.3在數(shù)列an中，“an2an1，n2,3,4，”是“an是公比為2的等比數(shù)列”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析若an2an1，n2,3,4，則此數(shù)列可以為0,0,0,0,0，此時(shí)an不是等比數(shù)列；若an是公比為2的等比數(shù)列，則由等比數(shù)列的定義可知an2an1，n2,3,4，.故選B.4(2019·全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S40，a55，則()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n答案A解析設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.由S40，a55可得解得所以an32(n1)2n5，Snn×(3)×2n24n.故選A.5(2019·湖南六校聯(lián)考)已知公差d0的等差數(shù)列an滿足a11，且a2，a42，a6成等比數(shù)列，若正整數(shù)m，n滿足mn10，則aman()A10 B20 C30 D5或40答案C解析由題知(a42)2a2a6，因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以(3d1)2(1d)(15d)，因?yàn)閐0，解得d3，從而aman(mn)d30，故選C.6(2019·河南百校聯(lián)盟仿真試卷)已知等差數(shù)列an滿足a132，a2a340，則|an|的前12項(xiàng)和為()A144 B80 C144 D304答案D解析a2a32a13d643d40d8，所以an408n.所以|an|408n|所以前12項(xiàng)和為80224304.7已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan2bn(a，bR)且a23，a611，則S7等于()A13 B49 C35 D63答案B解析由Snan2bn(a，bR)可知數(shù)列an是等差數(shù)列，所以S749.選B.8已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a111，a4a66，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于()A6 B7 C8 D9答案A解析由a4a62a56得a53，則公差為2，所以由an11(n1)×22n130得n，所以前6項(xiàng)和最小，選A.二、填空題9設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若2，則_.答案解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，2，即a33d2a3，a33d，.10等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3，S3，則公比q_.答案1或解析因?yàn)樗约醇?，所以2q2q10，解得q1或q.11(2019·廣東廣州天河區(qū)綜合測(cè)試一)在等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a10，公差d0，若ama1a2a3a20，則m_.答案191解析等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a10，公差d0，ama1a2a3a20，則amd2d19dd190da191，m191.12(2019·河南新鄉(xiāng)第一次模擬)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，(n1)an1(n1)Sn，則Sn_.答案解析(n1)an1(n1)Sn，nan1Sn1nSn，n(Sn1Sn)Sn1nSn，2，nSn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則nSn2n1，Sn.三、解答題13(2019·全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S9a5.(1)若a34，求an的通項(xiàng)公式；(2)若a1>0，求使得Snan的n的取值范圍解(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，根據(jù)題意有解得所以an8(n1)×(2)2n10.(2)由(1)知a50，即a5a14d0，即a14d，又a1>0，所以d<0，由Snan得na1da1(n1)d，整理得(n29n)d(2n10)d，因?yàn)閐<0，所以n29n2n10，即n211n100，解得1n10，所以n的取值范圍是1n10(nN*)14已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a26，前n項(xiàng)和為Sn，bn是等比數(shù)列，b22，a1b312，S3b119.(1)求an，bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列bncos(an)的前n項(xiàng)和Tn.解(1)數(shù)列an是等差數(shù)列，a26，S3b13a2b118b119，b11，b22，數(shù)列bn是等比數(shù)列，bn2n1.b34，a1b312，a13，a26，數(shù)列an是等差數(shù)列，an3n.(2)由(1)得，令Cnbncos(an)(1)n2n1，Cn1(1)n12n，2，又C11，數(shù)列bncos(an)是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，Tn1(2)n.一、選擇題1設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2n1，則()A2 B1 C1 D2答案A解析解法一：a2S2S123224，a3S3S224238，所以a12，所以S1222，故2.解法二：Sn2n12·2n，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)知2.2張丘建算經(jīng)卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾初日織五尺，今一月日織九匹三丈”其意思為今有女子善織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì))共織390尺布則該女最后一天織多少尺布？()A18 B20 C21 D25答案C解析依題意得，織女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)為an，其中a15，前30項(xiàng)和為390，于是有390，解得a3021，即該織女最后一天織21尺布，選C.3若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，前2n項(xiàng)和，前3n項(xiàng)和分別為A，B，C，則()AABC BB2ACCABCB3 DA2B2A(BC)答案D解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，當(dāng)公比q1時(shí)，A，BA，CB成等比數(shù)列，所以(BA)2A(CB)，所以A2B2ACABA(BC)，當(dāng)q1時(shí)，易驗(yàn)證此等式成立，故選D.4設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a14，S5S4S6，則公差d的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析因?yàn)镾5S4S6，所以S4a5S4S4a5a6，所以a50a5a6，又a14，所以解得1d.5數(shù)列an中，已知對(duì)任意自然數(shù)n，a1a2an2n1，則aaa等于()A(2n1)2 B.(2n1)C4n1 D.(4n1)答案D解析當(dāng)n1時(shí)，a1211；當(dāng)n2，nN*時(shí)，an(2n1)(2n11)2n1，n1時(shí)也符合，所以an2n1(nN*)所以a4n1(nN*)也是等比數(shù)列，所以aaa14424n1，故選D.6已知數(shù)列an是等差數(shù)列，r，s，t為正整數(shù)，則“rt2s”是“arat2as”的()A充要條件 B必要不充分條件C充分不必要條件 D既不充分也不必要條件答案C解析設(shè)an的公差為d，由arat2as得(rt2)d(2s2)d，即rt2s或d0，則“rt2s”是“rt2s或d0”的充分不必要條件故選C.7已知在公比不為1的等比數(shù)列an中，a2a49，且2a3為3a2和a4的等差中項(xiàng)，設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn，則T8()A.×37 B310C318 D320答案D解析由題意，得a9，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由2a3為3a2和a4的等差中項(xiàng)，得3·a3q4·a3，由公比不為1，解得q3，所以T8a1·a2··a8aq28aq16·q12(a1q2)8·q12(a)4q1294×312320.8已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a2aan1an0，設(shè)bnlog2，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為()An B.C. D.答案C解析因?yàn)閍2aan1an0，所以(an1an)·(2anan1)0，又因?yàn)閍n>0，所以2anan10，即2，所以數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列，2n，所以bnlog2log22nn，所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn123n.二、填空題9(2019·江西撫州七校聯(lián)考)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S1010，S3030，則S20_.答案20解析因?yàn)榈缺葦?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，所以S10，S20S10，S30S20成等比數(shù)列，因?yàn)镾1010，S3030，所以(S2010)210×(30S20)，解得S2020或S2010，因?yàn)镾20S10q10S10>0，所以S20>0，則S2020.10(2019·廣東深圳適應(yīng)性考試)等差數(shù)列an中，a410且a3，a6，a10成等比數(shù)列，數(shù)列an的前20項(xiàng)和S20_.答案200或330解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，則a3a4d10d，a6a42d102d，a10a46d106d，又a3a10a，即(10d)(106d)(102d)2，整理得10d210d0，解得d0或d1.當(dāng)d0時(shí)，S2020a4200；當(dāng)d1時(shí)，a1a43d103×17，于是，S2020a1d20×7190330.11(2019·河北唐山質(zhì)檢)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.答案解析由已知得an1Sn1SnSn1Sn，兩邊同時(shí)除以Sn1Sn，得1，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則1(n1)n，所以Sn.12(2019·山東德州第一次考試)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，an0,3Snanan11，則a2019_.答案3028解析數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11,3Snanan11，當(dāng)n1時(shí)，整理得3S13a1a1·a21，解得a22，當(dāng)n2時(shí)，3Sn1an1·an1，得，3anan(an1an1)，由于an0，故an1an13(常數(shù))，故數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，則an13.數(shù)列an的偶數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，an23，所以a2019133028.三、解答題13(2018·全國(guó)卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和，若Sm63，求m.解(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.14(2019·全國(guó)卷)已知數(shù)列an和bn滿足a11，b10，4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)證明：anbn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項(xiàng)公式解(1)證明：由題設(shè)得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因?yàn)閍1b11，所以anbn是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列由題設(shè)得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因?yàn)閍1b11，所以anbn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1，所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.