考點二十坐標系與參數方程 解答題1在直角坐標系xOy中，直線l：yx，圓C：(為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求直線l與圓C的極坐標方程；(2)設直線l與圓C的交點為M，N，求CMN的面積解(1)將C的參數方程化為普通方程，得(x1)2(y2)21，xcos，ysin，直線l的極坐標方程為(R)，圓C的極坐標方程為22cos4sin40.(2)將代入22cos4sin40，得2340，解得12，2，|MN|12|，圓C的半徑為1，CMN的面積為××1×sin.2已知在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t是參數)以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為 4cos.(1)求曲線C1的普通方程及曲線C2的直角坐標方程并說明各曲線名稱；(2)判斷曲線C1與曲線C2的位置關系？若相交，求出弦長解(1)由消去t得x2y30，所以曲線C1的普通方程為x2y30，是斜率為的直線由4cos兩邊同乘以得24cos，所以x2y24x，配方得(x2)2y24，即曲線C2的普通方程為(x2)2y24，是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓(2)由(1)知，曲線C2：(x2)2y24的圓心為(2,0)，半徑為2，由點到直線的距離公式得，圓心(2,0)到直線x2y30的距離為d<2，所以曲線C1與曲線C2相交，弦長為2 .3在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程是(為參數)，以射線Ox為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為cossin0.(1)求曲線C的普通方程，及直線l的參數方程；(2)求直線l與曲線C相交所得的弦AB的長解(1)曲線C的參數方程化成普通方程為1，因為xcos，ysin，所以l的直角坐標方程為xy0，其傾斜角為，過點(，0)，所以直線方程化成參數方程為(t為參數，且tR)(2)將代入1，得7t26t60，(6)24×7×(6)384>0，設方程的兩根是t1，t2，則t1t2，t1t2，所以AB|t1t2| .故直線l與曲線C相交所得的弦AB的長為.4(2019·全國卷)如圖，在極坐標系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圓的圓心分別是(1,0)，(1，)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧.(1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標方程；(2)曲線M由M1，M2，M3構成，若點P在M上，且|OP|，求P的極坐標解(1)由題設可得，弧，所在圓的極坐標方程分別為2cos，2sin，2cos，所以M1的極坐標方程為2cos，M2的極坐標方程為2sin，M3的極坐標方程為2cos.(2)設P(，)，由題設及(1)知若0，則2cos，解得；若，則2sin，解得或；若，則2cos，解得.綜上，P的極坐標為或或或.5(2019·河南洛陽第三次統(tǒng)考)已知極點與坐標原點O重合，極軸與x軸非負半軸重合，M是曲線C：2sin上任一點，點P滿足3.設點P的軌跡為曲線Q.(1)求曲線Q的平面直角坐標方程；(2)已知曲線Q向上平移1個單位后得到曲線N，設曲線N與直線l：(t為參數)相交于A，B兩點，求|OA|OB|的值解(1)設P(，)，3，點M的極坐標為，代入曲線C，得2sin，即曲線Q的極坐標方程為6sin，26sin，x2y26y，x2(y3)29，曲線Q的平面直角坐標方程為x2(y3)29.(2)曲線Q向上平移1個單位后得到曲線N的方程為x2(y4)29.l的參數方程化為兩方程聯立得t24t70，t1t24，t1t27，|OA|OB|t1|t2|t1t24.6(2019·全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(t為參數)以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2cossin110.(1)求C和l的直角坐標方程；(2)求C上的點到l距離的最小值解(1)因為1<1，且x2221，所以C的直角坐標方程為x21(x1)，l的直角坐標方程為2xy110.(2)由(1)可設C的參數方程為(為參數，<<)C上的點到l的距離為.當時，4cos11取得最小值7，故C上的點到l距離的最小值為.解答題1(2019·全國卷)在極坐標系中，O為極點，點M(0，0)(0>0)在曲線C：4sin上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當0時，求0及l(fā)的極坐標方程；(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程解(1)因為M(0，0)在曲線C上，當0時，04sin2.由已知得|OP|OA|cos2.設Q(，)為l上除P外的任意一點連接OQ，在RtOPQ中，cos|OP|2.經檢驗，點P在曲線cos2上，所以，l的極坐標方程為cos2.(2)設P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos4cos，即4cos.因為P在線段OM上，且APOM，所以的取值范圍是.所以，P點軌跡的極坐標方程為4cos，.2在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)，圓C的方程為(x2)2(y1)25.以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系(1)求直線l及圓C的極坐標方程；(2)若直線l與圓C交于A，B兩點，求cosAOB的值解(1)由直線l的參數方程得，其普通方程為yx2，直線l的極坐標方程為sincos2.又圓C的方程為(x2)2(y1)25，將代入并化簡得4cos2sin，圓C的極坐標方程為4cos2sin.(2)將直線l：sincos2，與圓C：4cos2sin聯立，得(4cos2sin)(sincos)2，整理得sincos3cos2，或tan3.不妨記點A對應的極角為，點B對應的極角為，且tan3.于是，cosAOBcossin.3(2019·湖北4月調研)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(是參數)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為4sin.(1)求曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程；(2)若射線與曲線C1交于O，A兩點，與曲線C2交于O，B兩點，求|OA|OB|取最大值時tan的值解(1)由得x22xy20，將代入得2cos，故曲線C1的極坐標方程為2cos.由4sin得24sin，將代入得x2y24y，故曲線C2的直角坐標方程為x2y24y0.(2)設點A，B的極坐標分別為(1，)，(2，)，將分別代入曲線C1，C2的極坐標方程得12cos，24sin，則|OA|OB|2cos4sin22sin()，其中為銳角，且滿足sin，cos，當時，|OA|OB|取最大值，此時，tantan.4已知直線l的參數方程為(t為參數，0<)，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為1，l與C交于不同的兩點P1，P2.(1)求的取值范圍；(2)以為參數，求線段P1P2中點M的軌跡的參數方程解(1)曲線C的極坐標方程為1，根據2x2y2可得曲線C的直角坐標方程為x2y21，將代入x2y21，得t24tsin30.(*)由16sin212>0得|sin|>.又0<，所以的取值范圍是.(2)由(1)中的(*)可知2sin，代入得整理得P1P2中點M的軌跡的參數方程為.5在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數，0<)，在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為2.(1)求曲線C的直角坐標方程；(2)設點M的坐標為(1,0)，直線l與曲線C相交于A，B兩點，求的值解(1)曲線2，即22sin22，2x2y2，siny，曲線C的直角坐標方程為x22y22，即y21.(2)將代入x22y22并整理得(1sin2)t22tcos10，t1t2，t1·t2，|t1t2| ，2.6(2019·江西省名校5月聯考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點P(a,1)，其參數方程為(t為參數，aR)，以O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為cos24cos0.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；(2)已知曲線C1和曲線C2交于A，B兩點，且|PA|2|PB|，求實數a的值解(1)C1的參數方程為消參得普通方程為xya10，C2的極坐標方程為cos24cos0，兩邊同乘得2cos24cos20，得y24x，所以曲線C2的直角坐標方程為y24x.(2)曲線C1的參數方程可轉化為(t為參數，aR)，代入曲線C2：y24x，得t2t14a0，由()24××(14a)>0，得a>0，設A，B對應的參數分別為t1，t2，由|PA|2|PB|得|t1|2|t2|，即t12t2或t12t2，當t12t2時，解得a；當t12t2時，解得a，綜上，a或.