4.2 用數(shù)學歸納法證明不等式課前導引情景導入 觀察下列式子：1+,1+,則可以猜想的結(jié)論為：_考注意到所給出的不等式的左右兩邊分子、分母與項數(shù)n的關(guān)系，則容易得出結(jié)論：1+.這個不等式成立嗎？如何證明呢？知識網(wǎng)絡(luò) 證明不等式是數(shù)學歸納法的重要應(yīng)用之一，在利用數(shù)學歸納法證明不等式時，要注意利用不等式的傳遞性.證明不等式的其他常用方法,如比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法等也是證明P(k+1)成立的基本方法.這里的P(k+1)是n=k+1時不等式成立 使用數(shù)學歸納法證明不等式時除了以上方法外，還要注意發(fā)現(xiàn)或設(shè)法創(chuàng)設(shè)歸納假設(shè)與n=k+1時命題之間的聯(lián)系，充分利用這樣的聯(lián)系來證明n=k+1時命題成立.課堂導學三點剖析一、利用數(shù)學歸納法證明不等式的技巧（一）【例1】 對于nN,證明>1.證明：當n=1時，左邊=>1=右邊；設(shè)n=k時，有>1;當n=k+1時，左邊>1=右邊.所以對一切自然數(shù)n不等式均成立.溫馨提示解此題的關(guān)鍵是湊出歸納假設(shè)的形式，這里要把握不等式左邊式子的結(jié)構(gòu)特征，明確從n=k到n=k+1增減的項.各個擊破類題演練1對于nN，試比較2n與n2的大小.解析：先驗算n=1時，2n>n2，n=2和n=4時，2n=n2,n=3時,2n<n2.而當n=5時，有2n>n2,猜測對n5有2n>n2.用數(shù)學歸納法證明如下：（1）當n=5時，已證.（2）設(shè)當n=k(k5)時，2k>k2且k2>2k+1.當n=k+1時，2k+1=2·2k>2k2>k2+2k+1=(k+1)2,即n=k+1時成立.由（1）、（2），知猜測正確.變式提升1求證：1+.證明：用數(shù)學歸納法.當n=1時，顯然不等式成立.根據(jù)歸納假設(shè)，當n=k時，命題成立，即1+.要證明n=k+1時，命題也成立，即1+.要用來證明,事實上，對不等式兩邊加上（）,就湊好了不等式的左邊.接下來，只需證.式左邊共有2k項，且最小，故,這就證明了式成立.綜上，知不等式成立.二、利用數(shù)學歸納法證明不等式的技巧（二）【例2】 已知n是大于1的自然數(shù)，求證：(1+)(1+)(1+)(1+)>.證明：假設(shè)n=k(k2)時，原不等式成立，即（1+）(1+)(1+)(1+)>.則當n=k+1時，左邊=（1+）（1+）（1+）（1+）·()> ·(1+)=().現(xiàn)在關(guān)鍵證()>,直接證較繁,下面用分析法證之.欲證（）>,即證,只需證2k+1+2>2k+3,即>0.這顯然是成立的，故當n=k+1時，原不等式成立.綜上，當n為大于1的自然數(shù)時，原不等式成立.溫馨提示用數(shù)學歸納法證明不等式時，從P(k)到P(k+1)的過渡往往用到不等式的傳遞性，即要證n=k+1時不等式成立不妨用A(k+1)B(k+1)表示，需n=k時，A（k）B(k)成立,然后有A（k+1）=A(k)+C(k)B(k)+C(k),類題演練2在數(shù)列an中，|an|<2,且an+1an-2an+1+2an<0,求證：an>(nN).證明：|an|<2,-2<an<2.2-an>0.由題設(shè)an+1(2-an)>2an,則an+1>.1°當n=1時，由|an|<2,得a1>-2=成立.2°假設(shè)當n=k時，有ak>成立.（下證ak+1>成立）設(shè)f(x)=,易知f(x)在(-2,2)內(nèi)是單調(diào)遞增的，又ak+1>f(ak),由歸納假設(shè),可知ak>,ak+1>f(ak)>f()=,即當n=k+1時，ak+1>成立.故對任意nN，an>成立.變式提升2設(shè)a,bR*,nN*,求證：()n.證明：n=1時，左邊=右邊=,原不等式成立.設(shè)n=k時,原不等式成立，即()k成立.a,bR+,·成立.要證明n=k+1時原不等式成立，即證明k+1成立.只需證明:成立.只需證明:ak+1+bk+1abk+akb成立.下面證明:ak+1+bk+1abk+akb成立.不妨設(shè)ab>0,則ak+1+bk+1-abk-akb=(ak-bk)(a-b)0.ak+1+bk+1abk+akb成立.故n=k+1時原不等式成立.由,可知對于任何nN*，原不等式成立.三、數(shù)學歸納法證明不等式的點問題【例3】 證明n為一切自然數(shù)時，（1+2+n）·（1+）n2.證明：先看下面的證明（1）n=1時，左邊=右邊=1,命題正確.（2）假設(shè)n=k(kN且k1)命題正確，即(1+2+k)·(1+)k2，則n=k+1時，左邊=1+2+k+(k+1)1+=(1+2+k)·(1+)+(k+1)·（1+）+1k2+k+(k+1)(1+)+1，1+1+,左邊k2+k+(k+1)(1+)+1=k2+2k+1+k2+2k+1=(k+1)2.n=k+1時命題正確.綜合（1）、（2）,知n為一切自然數(shù)時命題正確.初看“證明”天衣無縫，仔細推敲便會發(fā)現(xiàn)“證明”中的“奠基”只是不中用的拉郎配.歸納步的證明用了結(jié)論“1+1+”,此結(jié)論成立的前提條件是k2,即歸納步建立的自動遞推機制只能在n2(nN)的范圍內(nèi)行使遞推職能，其得以起動的初始條件是n=2時命題正確.因此數(shù)學歸納法的奠基應(yīng)是n=2時命題正確的驗證，n=1時的驗證只是對命題的補充證明，并非為奠基.該命題嚴格的證明過程應(yīng)該是：（1）n=1,2時命題正確，（2）n2時，用數(shù)學歸納法證明假設(shè)n=k(kN且k2)時命題正確，證明n=k+1時命題也正確.綜合（1）、（2）,知n為一切自然數(shù)時命題正確.溫馨提示對于一個nn0(nN)的真命題，如果用數(shù)學歸納法證明，第一步總是n=n0時命題正確的驗證.這種想法是不對的，到底“奠基”步中從哪個數(shù)字開始，要看問題的條件.類題演練3若ai>0(i=1,2,n),且a1+a2+an=1,求證：a12+a22+an2(nN且n2).證明：(1)n=2時，a1+a2=1,a12+a22=a12+(1-a1)2=2(a1-)2+.n=2時命題正確.（2）假設(shè)n=k(k2)時命題正確，即如果a1+a2+ak=1且ai>0(i=1,2,k),那么a12+a22+ak2,則n=k+1時，a1+a2+ak+ak+1=1,a1+a2+ak=1-ak+1.0<ak+1<1,0<1-ak+1<1.k個正數(shù)的和=1,從而由歸納假設(shè)得,即a12+a22+ak2(1-ak+1)2,從而有a12+a22+ak2+ak+12(1-ak+1)2+ak+12.下面只要證明(1-ak+1)2+ak+12,即證(k+1)2ak+12-2(k+1)ak+1+10，即證(k+1)ak+1-120,上式成立.故n=k+1時命題正確.變式提升3設(shè)x>0，x1,求證：（1+xn）(1+x)n>2n+1xn(nN).證明：（1）n=1時，左邊=(1+x)2,右邊=4x,(1+x)2-4x=(1-x)2>0,(1+x)2>4x.n=1時命題正確.（2）假設(shè)n=k(kN且k1)時命題正確，即(1+xk)(1+x)k>2k+1xk,則n=k+1時，（1+xk+1）(1+x)k+1-2k+2xk+1=(1+xk+1)(1+x)k+1-2x·2k+1xk>(1+xk+1)(1+x)k+1-2x(1+xk)(1+x)k=(1+x)k(1+x)(1+xk+1)-2x(1+xk)=(1+x)k(1+x+xk+1+xk+2-2x-2xk+1)=(1+x)k(1-x)(1-xk+1),x>0且x1,1-x與1-xk+1同號.（1+x）k·(1-x)(1-xk+1)>0.（1+xk+1）(1+x)k+1>2(k+1)+1xk+1.n=k+1時命題正確.精品資料，你值得擁有！