第3講共點(diǎn)力的平衡及其應(yīng)用一、共點(diǎn)力的平衡靜止勻速直線運(yùn)動(dòng)1.平衡狀態(tài)：物體處于_或_的狀態(tài)，即 a0.F合02.共點(diǎn)力的平衡條件：_或 Fx0、Fy 0.3.平衡條件的推論相等相反(1)二力平衡：如果物體在兩個(gè)共點(diǎn)力的作用下處于平衡狀態(tài)，這兩個(gè)力必定大小_，方向_.(2)三力平衡：如果物體在三個(gè)共點(diǎn)力的作用下處于平衡狀態(tài)，其中任何一個(gè)力與其余兩個(gè)力的合力大小_，方向_；并且這三個(gè)力的矢量可以形成一個(gè)封閉的矢量_.相等相反三角形(3)多力平衡：如果物體在多個(gè)共點(diǎn)力的作用下處于平衡狀態(tài)，其中任何一個(gè)力與其余幾個(gè)力的合力大小_，方向_.相等相反【基礎(chǔ)檢測】(2014 年海南卷)如圖 2-3-1 所示，一不可伸長的光滑輕繩，其左端固定于 O 點(diǎn)，右端跨過位于 O點(diǎn)的固定光滑軸懸掛一質(zhì)量為 M 的物體；OO段水平，長度為 L；繩子上套一可沿繩滑動(dòng)的輕環(huán).現(xiàn)在輕環(huán)上懸掛一鉤碼，平衡后，物體上升 L.則鉤碼的質(zhì)量為()圖 2-3-1解析：選物體 M 為研究對(duì)象.由平衡條件得：FTMg0假設(shè)平衡后輕環(huán)位置為P，平衡后，物體上升L，說明此時(shí) POO恰好構(gòu)成一個(gè)邊長為 L 的正三角形，繩中張力處處相等，選鉤碼 m 為研究對(duì)象，由平衡條件得：2FTcos 30mg0，聯(lián)立得：m M 所以選項(xiàng) D 正確.答案：D3考點(diǎn) 1 處理平衡問題的方法和解題步驟 重點(diǎn)歸納受力分析的一般步驟： 典例剖析例 1：如圖 2-3-2 所示，小圓環(huán) A 吊著一個(gè)質(zhì)量為 m2 的物塊并套在另一個(gè)豎直放置的大圓環(huán)上，有一細(xì)線一端拴在小圓環(huán) A 上，另一端跨過固定在大圓環(huán)最高點(diǎn) B 的一個(gè)小滑輪后吊著一個(gè)質(zhì)量為 m1 的物塊.如果小圓環(huán)、滑輪、繩子的大小和質(zhì)量以及相互之間的摩擦都可以忽略不計(jì)，繩子又不可伸長，若平衡時(shí)弦 AB 所對(duì)應(yīng)的圓心角為，則兩物塊的質(zhì)量比 m1 m2應(yīng)為()圖 2-3-2解析：解法一：采取相似三角形法.對(duì)小圓環(huán) A 受力分析，如圖 2-3-3 所示，易知 T1m1g，T2m2g，T2 與 N 的合力與 T1平衡，此三力構(gòu)成的三角形與ABO 相似，可知解法二：采用正交分解法.圖 2-3-3建立如解法一中圖所示的坐標(biāo)系，可知：T2Nm2g答案：C備考策略：共點(diǎn)力平衡問題有多種方法解題，如三角形法、正交分解法、相似三角形法等，解題應(yīng)選擇最簡便的方法，物體受三個(gè)力平衡時(shí)，利用力的分解法或合成法比較簡單.物體受四個(gè)以上的力作用時(shí)一般要采用正交分解法.同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)熟練各種方法，在考試時(shí)就能靈活運(yùn)用.【考點(diǎn)練透】1.如圖 2-3-4 所示，三個(gè)重均為 100 N 的物塊，疊放在水平桌面上，各接觸面水平，水平拉力 F20 N 作用在物塊 2 上，三條輕質(zhì)繩結(jié)于 O 點(diǎn)，與物塊 3 連接的繩水平，與天花板連接的繩與水平方向成 45角，豎直繩懸掛重為 20 N 的小球 P.整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài).則()A.物塊 1 和 2 之間的摩擦力大小為 20 NB.與物塊 3 相連的輕質(zhì)繩的拉力大小為 20 NC.桌面對(duì)物塊 3 的支持力大小為320 ND.物塊 3 受 4 個(gè)力的作用圖 2-3-4解析：以結(jié)點(diǎn) O 為研究對(duì)象，由平衡條件可求出與物塊 3相連的輕質(zhì)繩的拉力大小為 F1GP20 N，再以物塊 1、2、3為研究對(duì)象，由平衡條件可知，物塊 3 與桌面之間的摩擦力為零，所以物塊 3 受 5 個(gè)力的作用，且桌面對(duì)物塊3 的支持力 FN300 N，故選項(xiàng) B 正確，C、D 均錯(cuò)誤；以物塊 1 為研究對(duì)象，由平衡條件可知物塊 1 和 2 之間的摩擦力 Ff0，選項(xiàng) A 錯(cuò)誤.答案：B考點(diǎn) 2 動(dòng)態(tài)平衡、臨界與極值問題 重點(diǎn)歸納1.動(dòng)態(tài)平衡問題：通過控制某些物理量，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢的變化，而在這個(gè)過程中物體又始終處于一系列的平衡狀態(tài).解決動(dòng)態(tài)平衡問題的三種方法(一)解析法對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，先畫出受力示意圖，再根據(jù)物體的平衡條件列式求解，得到因變量與自變量的一般函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化.(二)圖解法對(duì)研究對(duì)象在動(dòng)態(tài)變化過程中的若干狀態(tài)進(jìn)行受力分析，在同一圖中作出物體在若干狀態(tài)下所受的力的平行四邊形，由各邊的長度變化及角度變化來確定力的大小及方向的變化，此即為圖解法，它是求解動(dòng)態(tài)平衡問題的基本方法.此法的優(yōu)點(diǎn)是能將各力的大小、方向等變化趨勢形象、直觀地反映出來，大大降低了解題難度和計(jì)算強(qiáng)度.此法常用于求解三力平衡且有一個(gè)力是恒力、另有一個(gè)力是方向不變的問題.(三)相似三角形法在三力平衡問題中，如果有一個(gè)力是恒力，另外兩個(gè)力方向都變化，且題目給出了空間幾何關(guān)系，多數(shù)情況下力的矢量三角形與空間幾何三角形相似，可利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算.2.臨界問題：當(dāng)某物理量變化時(shí)，會(huì)引起其他幾個(gè)物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言.3.極值問題：平衡物體的極值，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題.求解平衡問題中的臨界問題常用的方法(1)解析法根據(jù)物體的平衡條件列方程，在解方程時(shí)采用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值.通常用到的數(shù)學(xué)知識(shí)有二次函數(shù)求極值、討論分式求極值、三角函數(shù)求極值以及幾何法求極值等.(2)圖解法根據(jù)平衡條件作出力的矢量圖，如只受三個(gè)力，則這三個(gè)力構(gòu)成封閉矢量三角形，然后根據(jù)矢量圖進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定最大值和最小值.(3)極限法極限法是一種處理臨界問題的有效方法，它是指通過恰當(dāng)選取某個(gè)變化的物理量將問題推向極端(“極大”、“極小”、“極右”、“極左”等)，從而把比較隱蔽的臨界現(xiàn)象暴露出來，使問題明朗化，便于分析求解. 典例剖析例 2：如圖 2-3-5 所示，一小球放置在木板與豎直墻面之間.設(shè)墻面對(duì)球的壓力大小為 FN1，球?qū)δ景宓膲毫Υ笮?FN2.以木板與墻連接點(diǎn)所形成的水平直線為軸，將木板從圖示位置開始)緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置.不計(jì)摩擦，在此過程中(圖 2-3-5A.FN1始終減小，F(xiàn)N2始終增大B.FN1始終減小，F(xiàn)N2始終減小C.FN1先增大后減小，F(xiàn)N2始終減小 D.FN1先增大后減小，F(xiàn)N2先減小后增大 甲乙圖 2-3-6圖解法：如圖乙所示，把 mg 按它的兩個(gè)效果進(jìn)行分解如圖所示.在木板緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， FN1的方向不變，mg、FN1、FN2 應(yīng)構(gòu)成一個(gè)閉合的三角形.FN2 始終垂直于木板，隨木板的轉(zhuǎn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)，由圖可知，在木板轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， FN2 變小，F(xiàn)N1 也變小，選項(xiàng)B 正確.答案：B備考策略：動(dòng)態(tài)平衡問題處理的基本思路是，化“動(dòng)”為“靜”，“靜”中求“動(dòng)”.【考點(diǎn)練透】2.如圖 2-3-7 所示，A、B 為同一水平線上的兩個(gè)繞繩裝置，轉(zhuǎn)動(dòng) A、B 改變繩的長度，使光滑掛鉤下的重物 C 緩慢豎直下降.關(guān)于此過程中繩上拉力大小的變化，下列說法中正確的是()A.不變B.逐漸減小C.逐漸增大D.可能不變，也可能增大圖 2-3-7解析：當(dāng)光滑掛鉤下的重物 C 緩慢下降時(shí)，設(shè)繩 AC 和BC與豎直方向的夾角為，繩的拉力為 F，繩 AC 和 BC 在水平方向上的分力均為 FxFsin ，大小相等，方向相反，是一對(duì)平衡力.繩 AC 和 BC 在豎直方向的分力都為 FyFcos ，兩繩的合力與重力是一對(duì)平衡力，所以 2Fy 2Fcos mg ，即 F mg2cos ，重物 C 緩慢下降時(shí)，角逐漸減小，所以兩繩的拉力 F都不斷減小，選項(xiàng) B 正確.答案：B3.(2016 年吉林高三質(zhì)檢)如圖 2-3-8 所示，一條細(xì)繩跨過定滑輪連接物體 A、B，A 懸掛起來，B 穿在一根豎直桿上，兩物體均保持靜止(不計(jì)繩與滑輪、B 與豎直桿間的摩擦).已知繩與豎)直桿間的夾角為，則物體 A、B 的質(zhì)量之比 mAmB等于(圖 2-3-8A.cos 1B.1 cos C.tan 1D.1 sin 解析：設(shè)繩子的拉力為 F，隔離 A 分析有 TmAg，隔離 B分析有 mBgT cos ，聯(lián)立可得 mAmB1 cos ，故 B 正確.答案：B方法 1 受力分析的數(shù)學(xué)方法平衡態(tài)受力分析的數(shù)學(xué)方法大致有以下幾種：(1)正交分解法，適合多個(gè)力的情況，關(guān)鍵是選好坐標(biāo)系.(見第 2 講方法模型)(2)三角形法，只涉及三個(gè)力時(shí)，用它解題非常方便快捷.(3)動(dòng)態(tài)平衡問題的圖解法.(見考點(diǎn) 2)例 3：如圖 2-3-9 所示，AC 是上端帶定滑輪的固定豎直桿，質(zhì)量不計(jì)的輕桿 BC 一端通過鉸鏈固定在 C 點(diǎn)，另一端 B 懸掛一重為 G 的物體，且 B 端系有一根輕繩并繞過定滑輪 A，用力F 拉繩，開始時(shí)BCA90，現(xiàn)使BCA 緩慢變小，直到桿BC 接近豎直桿 AC.此過程中，輕桿 B 端所受的力(A.大小不變B.逐漸增大C.逐漸減小D.先減小后增大 )圖 2-3-9審題突破：本題中 B 點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)，它所受的三個(gè)力構(gòu)成的三角形與ABC 相似.顯而易見ACBC又是定值，由此結(jié)合相似特點(diǎn)能快速判斷結(jié)果.解析：以 B 點(diǎn)為研究對(duì)象，受力分析如圖2-3-10 所示.由幾何知識(shí)得ABC 與矢量三角形FGFBB 相似，則有由共點(diǎn)力的平衡條件知 FA、FB 的合力 FG G 大小不變，又 AC、BC 均不變，故FB 不變，可圖 2-3-10知輕桿 B 端受力大小不變.答案：A題外拓展：(1)本題涉及 BC 桿的受力，由于 BC 桿很輕，而且 C 端可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，則輕桿給 B 點(diǎn)的力一定沿桿的方向，此模型區(qū)別于 C 點(diǎn)不能轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，若 C 點(diǎn)不能轉(zhuǎn)動(dòng)，則輕桿給 B 點(diǎn)的力不一定沿桿的方向.(2)此題用相似三角形法解題，同樣也可以得出繩子 AB 拉力的變化，因繩子不斷縮短，對(duì)應(yīng)三角形的邊長變短，而其他兩條邊長度不變，即繩子的拉力不斷變小.【觸類旁通】1.半徑為 R 的球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，滑輪到球面 B 的距離為 h，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的 A 點(diǎn)，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，如圖 2-3-11 所示，現(xiàn)緩慢地拉繩，在使小球由 A到 B 的過程中，半球?qū)π∏虻闹С至?N 和繩對(duì)小球的拉力 T 的大小變化的情況是()A.N 變大，T 變小B.N 變小，T 變大C.N 變小，T 先變小后變大D.N 不變，T 變小圖 2-3-11解析：如圖 D6 所示，對(duì)小球：受力平衡，由于緩慢地拉繩，所以小球運(yùn)動(dòng)可視為始終處于平衡狀態(tài)，其中重力 mg 不變，支持力 N，繩子的拉力 T 一直在改變，但是總形成封閉的動(dòng)態(tài)三角形(圖中小陰影三角形).由于在這個(gè)三角形中有四個(gè)變量：支持力 N 的大小和方向、繩子的拉力 T 的大小和方向，所以還要利用其他條件.實(shí)物(小球、繩、球面的球心)形成的三角形也是一個(gè)動(dòng)態(tài)的封閉三角形(圖中大陰影三角形)，并且始終mg，運(yùn)動(dòng)過程中L 變小，T 變小.由Nmg，可得：TLhRRhR運(yùn)動(dòng)中各量均為定值，支持力 N 不變.故 D 正確.圖 D6答案：D方法 2 受力分析的物理方法1.受力分析的一般順序：先分析重力，再分析接觸力(彈力、摩擦力)，最后分析其他力(電場力、磁場力、浮力等).2.受力分析的一般步驟(1)選取研究對(duì)象：即確定受力分析的物體.研究對(duì)象可以是單個(gè)的物體，也可以是物體的系統(tǒng)組合.(2)隔離物體分析：將研究對(duì)象從周圍的物體中隔離出來，進(jìn)而分析物體受到的重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力等，檢查周圍有哪些物體對(duì)它施加了力的作用.(3)畫出受力示意圖：按照一定順序進(jìn)行受力分析.一般先分析重力；然后環(huán)繞物體一周，找出跟研究對(duì)象接觸的物體，并逐個(gè)分析彈力和摩擦力；最后再分析其他場力.在受力分析的過程中，要邊分析邊畫受力圖(養(yǎng)成畫受力圖的好習(xí)慣).只畫性質(zhì)力，不畫效果力.(4)檢查受力分析是否有誤：受力分析完后，檢查畫出的每一個(gè)力能否找出它的施力物體，檢查分析結(jié)果能否使研究對(duì)象處于題目所給的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，否則，必然發(fā)生了漏力、多力或錯(cuò)力現(xiàn)象.3.受力分析的注意事項(xiàng)(1)只分析研究對(duì)象所受的力，不分析對(duì)其他物體所施加的力. 切記不要把作用在其他物體上的力錯(cuò)誤地認(rèn)為 “力的傳遞”作用在研究對(duì)象上.(2)只分析按性質(zhì)命名的力，不分析按效果命名的力(下滑力、向心力、回復(fù)力等).(3)每分析一個(gè)力，都應(yīng)找出施力物體，以防多分析出某些不存在的力.(4)合力和分力不能同時(shí)作為物體所受的力.4.受力分析常用的方法(1)假設(shè)法.(2)整體法與隔離法.(3)根據(jù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)判斷受力情況.(4)用牛頓第三定律.例 4：如圖 2-3-12 所示，質(zhì)量為 m 的木塊 A 放在水平面上的質(zhì)量為 M 的斜面體 B 上，現(xiàn)用大小相等方向相反的兩個(gè)水平)推力 F 分別作用在 A、B 上，A、B 均保持靜止不動(dòng).則(圖 2-3-12A.A 與 B 之間一定存在摩擦力B.B 與地面之間一定存在摩擦力C.B 對(duì) A 的支持力一定等于 mgD.地面對(duì) B 的支持力大小一定等于(mM)g解析：A 在斜面上處于靜止?fàn)顟B(tài)，對(duì)A 受力分析如圖2-3-13甲所示，若 FxGx，則f0；若FxGx ，則 f0 且方向斜向下，則A 錯(cuò)誤；由圖甲知NFyGy ，則 N 與G 的大小關(guān)系不確定，C 錯(cuò)誤；對(duì)A、B 整體受力分析如圖乙，水平方向上與地面間無摩擦力，豎直方向上 N地GAGB (mM)g，則 B 錯(cuò)誤，D正確.甲乙圖 2-3-13答案：D題外拓展：整體法和隔離法的使用技巧：當(dāng)分析相互作用的兩個(gè)或兩個(gè)以上物體整體的受力情況及分析外力對(duì)系統(tǒng)的作用時(shí)，宜用整體法；而在分析系統(tǒng)內(nèi)各物體(或一個(gè)物體各部分)間的相互作用時(shí)常用隔離法.整體法和隔離法不是獨(dú)立的，對(duì)一些較復(fù)雜問題，通常需要多次選取研究對(duì)象，交替使用整體法和隔離法.【觸類旁通】2.(多選)如圖 2-3-14 所示，固定的斜面上疊放著 A、B 兩木塊，木塊 A 與 B 的接觸面是水平的，水平力 F 作用于木塊 A，)使木塊 A、B 保持靜止，且 F0.則下列描述正確的是(圖 2-3-14A.B 可能受到 3 個(gè)或 4 個(gè)力作用B.斜面對(duì)木塊 B 的摩擦力方向可能沿斜面向下C.A 對(duì) B 的摩擦力可能為 0D.A、B 整體可能受三個(gè)力作用答案：BD