第六章 三角函數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1 角，一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義2 角度制，把一周角360等分，每一等價(jià)為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度。360度=2弧度。若圓心角的弧長為L，則其弧度數(shù)的絕對(duì)值|=,其中r是圓的半徑。定義3 三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)P，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y），到原點(diǎn)的距離為r,則正弦函數(shù)sin=,余弦函數(shù)cos=,正切函數(shù)tan=，余切函數(shù)cot=，正割函數(shù)sec=,余割函數(shù)csc=定理1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tan=,sin=，cos=；商數(shù)關(guān)系：tan=；乘積關(guān)系：tan×cos=sin,cot×sin=cos；平方關(guān)系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理2 誘導(dǎo)公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, cos=sin, tan=cot（奇變偶不變，符號(hào)看象限）。定理3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=sinx（xR）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周期為2. 奇偶數(shù). 有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2kx+時(shí)，y取最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x=3k-時(shí), y取最小值-1。對(duì)稱性：直線x=k+均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)（k, 0）均為其對(duì)稱中心，值域?yàn)?1，1。這里kZ.定理4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=cosx(xR)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k, 2k+上單調(diào)遞減，在區(qū)間2k-, 2k上單調(diào)遞增。最小正周期為2。奇偶性：偶函數(shù)。對(duì)稱性：直線x=k均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)均為其對(duì)稱中心。有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2k時(shí)，y取最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x=2k-時(shí)，y取最小值-1。值域?yàn)?1，1。這里kZ.定理5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)y=tanx(xk+)在開區(qū)間(k-, k+)上為增函數(shù), 最小正周期為，值域?yàn)椋?，+），點(diǎn)（k，0），（k+，0）均為其對(duì)稱中心。定理6 兩角和與差的基本關(guān)系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=定理7 和差化積與積化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos,cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin,sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).定理8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=定理9 半角公式:sin=,cos=,tan=定理10 萬能公式: , ,定理11 輔助角公式：如果a, b是實(shí)數(shù)且a2+b20，則取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)(a, b)的一個(gè)角為，則sin=,cos=，對(duì)任意的角.asin+bcos=sin(+).定理12 正弦定理：在任意ABC中有，其中a, b, c分別是角A，B，C的對(duì)邊，R為ABC外接圓半徑。定理13 余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分別是角A，B，C的對(duì)邊。定理14 圖象之間的關(guān)系：y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+k的圖象；經(jīng)左右平移得y=sin(x+)的圖象（相位變換）；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模玫統(tǒng)=sin()的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(>0)的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)=Asinx的圖象。定義4 函數(shù)y=sinx的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx(x-1, 1)，函數(shù)y=cosx(x0, ) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作y=arccosx(x-1, 1). 函數(shù)y=tanx的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x-, +).定理15 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果aR，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理16 若，則sinx<x<tanx.二、方法與例題1結(jié)合圖象解題。例1 求方程sinx=lg|x|的解的個(gè)數(shù)?！窘狻吭谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=sinx與y=lg|x|的圖象（見圖），由圖象可知兩者有6個(gè)交點(diǎn)，故方程有6個(gè)解。2三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。例2 設(shè)x(0, ), 試比較cos(sinx)與sin(cosx)的大小?！窘狻?若，則cosx1且cosx>-1，所以cos，所以sin(cosx) 0,又0<sinx1, 所以cos(sinx)>0，所以cos(sinx)>sin(cosx).若，則因?yàn)閟inx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)<，所以0<sinx<-cosx<，所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx).綜上，當(dāng)x(0,)時(shí)，總有cos(sinx)<sin(cosx).例3 已知，為銳角，且x·（+-）>0，求證：【證明】 若+>，則x>0，由>->0得cos<cos(-)=sin,所以0<<1，又sin>sin(-)=cos, 所以0<<1，所以若+<，則x<0，由0<<-<得cos>cos(-)=sin>0,所以>1。又0<sin<sin(-)=cos，所以>1，所以，得證。注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。3最小正周期的確定。例4 求函數(shù)y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】 首先，T=2是函數(shù)的周期（事實(shí)上，因?yàn)閏os(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，當(dāng)且僅當(dāng)x=k+時(shí)，y=0（因?yàn)閨2cosx|2<）,所以若最小正周期為T0，則T0=m, mN+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以T0=2。4三角最值問題。例5 已知函數(shù)y=sinx+，求函數(shù)的最大值與最小值?！窘夥ㄒ弧?令sinx=,則有y=因?yàn)?，所以，所?，所以當(dāng)，即x=2k-(kZ)時(shí)，ymin=0，當(dāng)，即x=2k+(kZ)時(shí)，ymax=2.【解法二】 因?yàn)閥=sinx+,=2（因?yàn)?a+b)22(a2+b2)），且|sinx|1，所以0sinx+2，所以當(dāng)=sinx，即x=2k+(kZ)時(shí), ymax=2，當(dāng)=-sinx，即x=2k-(kZ)時(shí), ymin=0。例6 設(shè)0<<，求sin的最大值?！窘狻恳?yàn)?<<，所以，所以sin>0, cos>0.所以sin（1+cos）=2sin·cos2= =當(dāng)且僅當(dāng)2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan時(shí)，sin(1+cos)取得最大值。例7 若A，B，C為ABC三個(gè)內(nèi)角，試求sinA+sinB+sinC的最大值?！窘狻?因?yàn)閟inA+sinB=2sincos, sinC+sin, 又因?yàn)?，由，得sinA+sinB+sinC+sin4sin,所以sinA+sinB+sinC3sin=,當(dāng)A=B=C=時(shí)，（sinA+sinB+sinC）max=.注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。5換元法的使用。例8 求的值域?！窘狻?設(shè)t=sinx+cosx=因?yàn)樗杂忠驗(yàn)閠2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因?yàn)閠-1，所以，所以y-1.所以函數(shù)值域?yàn)槔? 已知a0=1, an=(nN+)，求證：an>.【證明】 由題設(shè)an>0，令an=tanan, an，則an=因?yàn)?，an，所以an=，所以an=又因?yàn)閍0=tana1=1，所以a0=，所以·。又因?yàn)楫?dāng)0<x<時(shí)，tanx>x，所以注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當(dāng)x時(shí)，有tanx>x>sinx，這是個(gè)熟知的結(jié)論，暫時(shí)不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明是很容易的。6圖象變換：y=sinx(xR)與y=Asin(x+)(A, , >0).由y=sinx的圖象向左平移個(gè)單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，然后再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模玫統(tǒng)=Asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，最后向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象。例10 例10 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。【解】 由f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對(duì)任意xR成立。又0，解得=，因?yàn)閒(x)圖象關(guān)于對(duì)稱，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(kZ)，即=(2k+1) (kZ).又>0，取k=0時(shí)，此時(shí)f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；取k=1時(shí)，=2，此時(shí)f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；取k=2時(shí)，此時(shí)f(x)=sin(x+)在0，上不是單調(diào)函數(shù)，綜上，=或2。7三角公式的應(yīng)用。例11 已知sin(-)=，sin(+)=- ，且-，+，求sin2,cos2的值?！窘狻?因?yàn)?，所以cos(-)=-又因?yàn)?，所以cos(+)=所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例12 已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且，試求的值?！窘狻?因?yàn)锳=1200-C，所以cos=cos(600-C)，又由于=，所以=0。解得或。又>0，所以。例13 求證：tan20+4cos70.【解】 tan20+4cos70=+4sin20三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1已知銳角x的終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2sin3, -2cos3)，則x的弧度數(shù)為_。2適合-2cscx的角的集合為_。3給出下列命題：（1）若，則sinsin；（2）若sinsin,則；（3）若sin>0，則為第一或第二象限角；（4）若為第一或第二象限角，則sin>0. 上述四個(gè)命題中，正確的命題有_個(gè)。4已知sinx+cosx=(x(0, )，則cotx=_。5簡諧振動(dòng)x1=Asin和x2=Bsin疊加后得到的合振動(dòng)是x=_。6已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，則1，2，3，4分別是第_象限角。7滿足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角x共有_個(gè)。8已知，則=_。9=_。10cot15cos25cot35cot85=_。11已知,(0, ), tan, sin(+)=，求cos的值。12已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間上單調(diào)遞減，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題1已知一扇形中心角是a,所在圓半徑為R，若其周長為定值c(c>0)，當(dāng)扇形面積最大時(shí)，a=_.2. 函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.3. 函數(shù)的值域?yàn)開.4. 方程=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為_.5. 若sina+cosa=tana, a，則_a（填大小關(guān)系）.6. (1+tan1)(1+tan2)(1+tan44)(1+tan45)=_.7. 若0<yx<且tanx=3tany，則x-y的最大值為_.8. =_.9. ·cos·cos·cos·cos=_.10. cos271+cos71cos49+cos249=_.11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.12. 求滿足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有銳角x.13. 已知f(x)=(kA0, kZ, 且AR)，（1）試求f(x)的最大值和最小值；（2）若A>0, k=-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）試求最小正整數(shù)k，使得當(dāng)x在任意兩個(gè)整數(shù)（包括整數(shù)本身）間變化時(shí)，函數(shù)f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題（一）1若x, yR，則z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范圍是_.2已知圓x2+y2=k2至少蓋住函數(shù)f(x)=的一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.3f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值為_.4方程sinx+cosx+a=0在（0，2）內(nèi)有相異兩實(shí)根，則+=_.5函數(shù)f(x)=|tanx|+|cotx|的單調(diào)遞增區(qū)間是_.6設(shè)sina>0>cosa, 且sin>cos，則的取值范圍是_.7方程tan5x+tan3x=0在0，中有_個(gè)解.8若x, yR, 則M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為_.9若0<<, mN+, 比較大?。?2m+1)sinm(1-sin)_1-sin2m+1.10cot70+4cos70=_.11. 在方程組中消去x, y，求出關(guān)于a, b, c的關(guān)系式。12已知，且cos2+cos2+cos2=1，求tantantan的最小值。13關(guān)于x, y的方程組有唯一一組解，且sin, sin, sin互不相等，求sin+sin+sin的值。14求滿足等式sinxy=sinx+siny的所有實(shí)數(shù)對(duì)（x, y）, x, y.聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題（二）1在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)=asinax+cosax(a>0)在一個(gè)最小正周期長的區(qū)間上的圖象與函數(shù)g(x)=的圖象所圍成的封閉圖形的面積是_.2若，則y=tan-tan+cos的最大值是_.3在ABC中，記BC=a, CA=b, AB=c, 若9a2+9b2-19c2=0，則=_.4設(shè)f(x)=x2-x, =arcsin, =arctan, =arccos, =arccot, 將f(), f(), f(), f()從小到大排列為_.5logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。將a, b, c, d從小到大排列為_.6在銳角ABC中，cosA=cossin, cosB=cossin, cosC=cossin，則tan·tan·tan=_.7已知矩形的兩邊長分別為tan和1+cos(0<<)，且對(duì)任何xR, f(x)=sin·x2+·x+cos0，則此矩形面積的取值范圍是_.8在銳角ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范圍是_.9已知當(dāng)x0, 1，不等式x2cos-x(1-x)+(1-x)2sin>0恒成立，則的取值范圍是_.10已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，則cos2x+ cos2y+ cos2z=_.11已知a1, a2, ,an是n個(gè)實(shí)常數(shù)，考慮關(guān)于x的函數(shù)：f(x)=cos(a1+x)+cos(a2+x) +cos(an+x)。求證：若實(shí)數(shù)x1, x2滿足f(x1)=f(x2)=0，則存在整數(shù)m，使得x2-x1=m.12在ABC中，已知，求證：此三角形中有一個(gè)內(nèi)角為。13求證：對(duì)任意自然數(shù)n, 均有|sin1|+|sin2|+|sin(3n-1)|+|sin3n|>.六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1已知x>0, y>0, 且x+y<，求證：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0（wR）.2. 已知a為銳角，n2, nN+，求證：2n-2+1.3. 設(shè)x1, x2, xn, y1, y2, yn,滿足x1=y1=, xn+1=xn+, yn+1=，求證：2<xnyn<3(n2).4已知，為銳角，且cos2+cos2+cos2=1，求證；<+<.5求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x和任意，恒有(x+3+2sincos)2+(x+asin+asin)26. 設(shè)n, m都是正整數(shù)，并且n>m，求證：對(duì)一切x都有2|sinnx-cosnx|3|sinnx-cosnx|.7在ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。8求的有的實(shí)數(shù)a, 使cosa, cos2a, cos4a, , cos2na, 中的每一項(xiàng)均為負(fù)數(shù)。9已知i，tan1tan2tann=2, nN+, 若對(duì)任意一組滿足上述條件的1，2，n都有cos1+cos2+cosn，求的最小值。高考資源網(wǎng)()來源：高考資源網(wǎng)版權(quán)所有：高考資源網(wǎng)(www.k s 5 )