第4講轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而得到解決的一種方法一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數(shù)學問題的解決，總離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化等各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學教學內(nèi)容和解題過程中1轉(zhuǎn)化與化歸的指導思想(1)把什么問題進行轉(zhuǎn)化，即化歸對象(2)化歸到何處去，即化歸目標(3)如何進行化歸，即化歸方法化歸與轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學思想方法的核心2常見的轉(zhuǎn)化與化歸的方法轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學問題時，思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時也是獲取成功的思維方式常見的轉(zhuǎn)化方法有：(1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題(2)換元法：運用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題(3)數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑(4)等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的(5)特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題、結(jié)論適合原問題(6)構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題(7)坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑(8)類比法：運用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定(9)參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式進行解決(10)補集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題的結(jié)果看做集合A，而把包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補集UA獲得原問題的解決，體現(xiàn)了正難則反的原則.熱點一特殊與一般的轉(zhuǎn)化例1(1)AB是過拋物線x24y的焦點的動弦，直線l1，l2是拋物線兩條分別切于A，B的切線，則l1，l2的交點的縱坐標為()A1 B4 C D(2)已知函數(shù)f(x)(a>0且a1)，則fff的值為_答案(1)A(2)解析(1)找特殊情況，當ABy軸時，AB的方程為y1，則A(2，1)，B(2,1)，過點A的切線方程為y1(x2)，即xy10.同理，過點B的切線方程為xy10，則l1，l2的交點為(0，1)(2)由于直接求解較困難，可探求一般規(guī)律，f(x)f(1x)1，ffff1×49.思維升華一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達到成批處理問題的效果(1)在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a、b、c成等差數(shù)列，則_.(2)已知函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有xf(x1)(1x)f(x)，則f_.答案(1)(2)0解析(1)根據(jù)題意，所求數(shù)值是一個定值，故可利用滿足條件的直角三角形進行計算令a3，b4，c5，則ABC為直角三角形，且cos A，cos C0，代入所求式子，得.(2)因為xf(x1)(1x)f(x)，所以，使f(x)特殊化，可設(shè)f(x)xg(x)，其中g(shù)(x)是周期為1的奇函數(shù)，再將g(x)特殊化，可設(shè)g(x)sin 2x，則f(x)xsin 2x，經(jīng)驗證f(x)xsin 2x滿足題意，則f0.熱點二函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化例2(1)定義運算：(ab)xax2bx2，若關(guān)于x的不等式(ab)x<0的解集為x|1<x<2，則關(guān)于x的不等式(ba)x<0的解集為()A(1,2)B(，1)(2，)C.D.(1，)(2)已知函數(shù)f(x)3e|x|.若存在實數(shù)t1，)，使得對任意的x1，m，mZ且m>1，都有f(xt)3ex，則m的最大值為_答案(1)D(2)3解析(1)1,2是方程ax2bx20的兩實根，12，1×2，解得由(31)x3x2x2<0，得3x2x2>0，解得x<或x>1.(2)因為當t1，)且x1，m時，xt0，所以f(xt)3exextext1ln xx.所以原命題等價轉(zhuǎn)化為：存在實數(shù)t1，)，使得不等式t1ln xx對任意x1，m恒成立令h(x)1ln xx(x1)因為h(x)10，所以函數(shù)h(x)在1，)上為減函數(shù)，又x1，m，所以h(x)minh(m)1ln mm.所以要使得對x1，m，t值恒存在，只須1ln mm1.因為h(3)ln 32ln(·)>ln 1，h(4)ln 43ln(·)<ln 1，且函數(shù)h(x)在1，)上為減函數(shù)，所以滿足條件的最大整數(shù)m的值為3.思維升華函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)的幫助，解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍(1)若關(guān)于x的方程9x(4a)·3x40有解，則實數(shù)a的取值范圍是_(2)設(shè)f(x)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)，若f(1axx2)f(2a)對任意a1,1恒成立，則x的取值范圍為_答案(1)(，8(2)(，10，)解析(1)設(shè)t3x，則原命題等價于關(guān)于t的方程t2(4a)t40有正解，分離變量a得a4，t>0，4，a8，即實數(shù)a的取值范圍是(，8(2)f(x)在R上是增函數(shù)，由f(1axx2)f(2a)，可得1axx22a，a1,1，a(x1)x210，對a1,1恒成立令g(a)(x1)ax21，則當且僅當g(1)x2x20，g(1)x2x0恒成立，解之，得x0或x1.故實數(shù)x的取值范圍為x1或x0.熱點三正難則反的轉(zhuǎn)化例3若對于任意t1,2，函數(shù)g(x)x3x22x在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是_答案<m<5解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)，則g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t,3)上恒成立，所以m43t恒成立，則m41，即m5；由得m43x在x(t,3)上恒成立，則m49，即m.所以，函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為<m<5.思維升華否定性命題，常要利用正反的相互轉(zhuǎn)化，先從正面求解，再取正面答案的補集即可一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單因此，間接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命題情形的問題中若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個值c，使得f(c)>0，求實數(shù)p的取值范圍解如果在1,1內(nèi)沒有值滿足f(c)>0，則p3或p，取補集為3<p<，即為滿足條件的p的取值范圍故實數(shù)p的取值范圍為(3，)將問題進行化歸與轉(zhuǎn)化時，一般應(yīng)遵循以下幾種原則(1)熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題(2)簡單化原則：將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題(3)直觀化原則：將較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題(如數(shù)形結(jié)合思想，立體幾何問題向平面幾何問題轉(zhuǎn)化)(4)正難則反原則：若問題直接求解困難時，可考慮運用反證法或補集法或用逆否命題間接地解決問題.真題感悟1(2014·山東)設(shè)集合Ax|x1|<2，By|y2x，x0,2，則AB等于()A0,2 B(1,3)C1,3) D(1,4)答案C解析由|x1|<2，解得1<x<3，由y2x，x0,2，解得1y4，所以AB(1,3)1,41,3)2(2014·安徽)設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(x)sin x當0x<時，f(x)0，則f等于()A. B.C0 D答案A解析f(x)f(x)sin x，f(x2)f(x)sin x.f(x2)f(x)sin xsin xf(x)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)又f()f(4)f()，ffsin，ff.當0x<時，f(x)0，f0，ff.故選A.3(2014·陜西)若圓C的半徑為1，其圓心與點(1,0)關(guān)于直線yx對稱，則圓C的標準方程為_答案x2(y1)21解析圓C的圓心為(0,1)，半徑為1，標準方程為x2(y1)21.4(2014·山東)已知實數(shù)x，y滿足ax<ay(0<a<1)，則下列關(guān)系式恒成立的是()A.>Bln(x21)>ln(y21)Csin x>sin yDx3>y3答案D解析因為0<a<1，ax<ay，所以x>y.采用賦值法判斷，A中，當x1，y0時，<1，A不成立B中，當x0，y1時，ln 1<ln 2，B不成立C中，當x0，y時，sin xsin y0，C不成立D中，因為函數(shù)yx3在R上是增函數(shù)，故選D.押題精練1已知函數(shù)f(x)|ex|(aR，e是自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A0,1 B1,0C1,1 D(，e2e2，)答案C解析因為函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，取a1，則函數(shù)f(x)ex，當0x1時，f(x)ex>0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，排除A，D；取a1，則函數(shù)f(x)ex，當0x1時，f(x)ex0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，排除B，故選C.2過雙曲線1上任意一點P，引與實軸平行的直線，交兩漸近線于R、Q兩點，則·的值為()Aa2 Bb2 C2ab Da2b2答案A解析當直線RQ與x軸重合時，|a，故選A.3已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且anSn·Sn1 (n2)，a1，則a10等于()A. B. C. D.答案C解析由anSn·Sn1 (n2)，得1，(n1)×(1)，Sn，a10S10S9.4設(shè)函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(f(x)1的零點個數(shù)為_答案2解析令tf(x)，則該函數(shù)的零點即f(t)10的解先解方程f(t)1.當t0時，方程為2t1，解得t0；當t>0時，方程為log2t1，解得t2；所以方程f(t)1的解為0或2.再解方程f(x)0和f(x)2.當x0時，因為2x>0，故由2x2，得x1；當x>0時，由log2x0，得x1；由log2x2，得x4；故函數(shù)yf(f(x)1的零點為1,4，共2個5(2014·湖北)若函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(x)g(x)dx0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間1,1上的一組正交函數(shù)給出三組函數(shù)：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中為區(qū)間1,1上的正交函數(shù)的組數(shù)是()A0 B1C2 D3答案C解析f(x)g(x)dxsinxcosxdxsin xdx(cos x)|0，故第組是區(qū)間1,1上的正交函數(shù)；f(x)g(x)dx(x1)(x1)dx(x21)dx(x)|0，故第組不是區(qū)間1,1上的正交函數(shù)；f(x)g(x)dxx·x2dxx3dx|0，故第組是區(qū)間1,1上的正交函數(shù)綜上，滿足條件的共有兩組6已知奇函數(shù)f(x)的定義域為實數(shù)集R，且f(x)在0，)上是增函數(shù)，當0時，是否存在實數(shù)m，使f(cos 23)f(4m2mcos )>f(0)對所有的均成立？若存在，求出所有適合條件的實數(shù)m；若不存在，請說明理由解f(x)在R上為奇函數(shù)，又在0，)上是增函數(shù)，f(x)在R上為增函數(shù)，且f(0)0.由題設(shè)條件可得，f(cos 23)f(4m2mcos )>0.又由f(x)為奇函數(shù)，可得f(cos 23)>f(2mcos 4m)f(x)在R上為增函數(shù)，cos 23>2mcos 4m，即cos2mcos 2m2>0.令cos t，0，0t1.于是問題轉(zhuǎn)化為對一切0t1，不等式t2mt2m2>0恒成立t22>m(t2)，即m>恒成立又(t2)442，m>42，存在實數(shù)m滿足題設(shè)的條件，即m>42.