《高等數(shù)學(xué)：第7章 第四節(jié)、一階線性方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)：第7章 第四節(jié)、一階線性方程（36頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四節(jié)第四節(jié) 一階線性微分方程一階線性微分方程形如形如)()(xqyxpy （1）的微分方程稱為一階線性微分方程的微分方程稱為一階線性微分方程如果如果 q ( x ) 0 , 則則0)( yxpy（2）稱為一階線性齊次方程。稱為一階線性齊次方程。如果如果0)( xq（1）一階線性齊次微分方程的通解）一階線性齊次微分方程的通解yxpxdyd)( xdxpyyd)( 則稱則稱 ( 1) 為一階線性非齊次方程為一階線性非齊次方程認(rèn)識線性微分方程認(rèn)識線性微分方程P320（1）一階線性齊次微分方程的通解）一階線性齊次微分方程的通解yxpxdyd)( xdxpyyd)( ,)(1cxdxpyyd 1)(|

2、lncxdxpy xdxpecy)()(1cec 又又 y = 0 是方程的解，故所求通解為：是方程的解，故所求通解為： xdxpecy)(其中其中 c 為包括零在內(nèi)的任意常數(shù)為包括零在內(nèi)的任意常數(shù)2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyxPdxdy 討論討論,)()(dxxPyxQydy 兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ 設(shè)設(shè),)()(ln dxxPxvy dxxPxveey)()(即即與齊次方程通解相比與齊次方程通解相比:)(xuC （1）一階線性齊次微分方程）一階線性齊次微分方程yxpxdyd)( xdxpecy)(通解通解.)()(

3、)()( dxxPexuexuxv xdxpexuy)()(令令 xdxpexuy)()( )()()( xdxpexu xdxpexu)()( )()()(xpexuxdxp )( )(xpxdxp 常數(shù)變易法：常數(shù)變易法： xdxpexu)()( )()()()( xdxpexuxdxp（2）一階線性非齊次微分方程）一階線性非齊次微分方程（1）一階線性齊次微分方程）一階線性齊次微分方程yxpxdyd)( xdxpecy)(通解通解).()(xQyxPdxdy （2）一階線性非齊次微分方程的通解）一階線性非齊次微分方程的通解 xdxpexuy)()(令令 xdxpexuy)()( )()()

4、( xdxpexu xdxpexu)()( )()()(xpexuxdxp xdxpexuyxpy)()( )(所以所以)()(xqyxpy ,)()( )(xqexuxdxp xdxpexqxu)()()( cxdexqxuxdxp )()()()()()(cxdexqeyxdxpxdxp （3）y 用公式求一階線性非齊次微分方程用公式求一階線性非齊次微分方程（I）計算因式）計算因式 xdxp)(（II）計算因式）計算因式xdexqxdxp )()()()()(cxdexqeyxdxpxdxp （3）（III）代入公式（）代入公式（3），并化簡。），并化簡。)()(xqyxpy 通解的一般步

5、驟通解的一般步驟 xdxpecy)(（I）求對應(yīng)的齊次方程）求對應(yīng)的齊次方程 求一階線性非齊次微分方程求一階線性非齊次微分方程（II）令）令 xdxpexuy)()(并計算并計算 y 。（III）將（）將（II）中的）中的 y 和和 y 代入方程（代入方程（1），）， 并解出并解出cxdexqxuxdxp )()()(（IV）將（）將（III）中求出的）中求出的 u (x) 代入（代入（II）中的）中的 y 的表達(dá)式，即得所求通解。的表達(dá)式，即得所求通解。通解的常數(shù)變易法通解的常數(shù)變易法).()(xQyxPdxdy 0)( yxpy的通解的通解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1

6、)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexx|ln|lnsin Cdxxxxx|sin|1 .cos1Cxx 解解例例1 1 Cdxxxsin1 Cdxexxexxlnlnsin .cos1Cxx .sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin解解例例1 1 Cdxxxsin1在用公式求解時，在用公式求解時，xdxxeeln1 x 不必加絕對值不必加絕對值解法二：解法二： 對應(yīng)的齊次微分方程為：對應(yīng)的齊次微分方程為：01 yxdxdy分離變量得分離變量得xdxydy 故其

7、通解為故其通解為xcy xxuy)( 令令2)()(xxuxxudxdy ，則，則代入所給的非齊次方程，得代入所給的非齊次方程，得.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy 例例1 1xxxxuxxxuxxusin)(1)()(2 xxusin)( 即即兩邊積分得兩邊積分得cxxu cos)(故所求非齊次微分方程的通解為故所求非齊次微分方程的通解為 .cos1cxxy 對應(yīng)的齊次方程的通解對應(yīng)的齊次方程的通解 非齊次方程的一個特解（與非齊次方程的一個特解（與 c = 0 對應(yīng)的特解）對應(yīng)的特解）一般地，一階線性非齊次微分方程的通解等于一般地，一階線性非齊次微分方程的通解等于對應(yīng)的齊次方程的通

8、解與非齊次方程的一個特對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和解之和.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy 例例1 1通解為通解為 cxxy cos1xcxxy1cos 或?qū)懗苫驅(qū)懗梢浑A線性非齊次微分方程一階線性非齊次微分方程).()(xQyxPdxdy )()()(cxdexqeyxdxpxdxp xdxpxdxpxdxpecxdexqey)()()()( 對應(yīng)的齊次方程的通解對應(yīng)的齊次方程的通解 非齊次方程的一個特解（與非齊次方程的一個特解（與 c = 0 對應(yīng)的特解）對應(yīng)的特解）例例2. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解先解,012ddxyxy即即1d2d

9、xxyy積分得積分得,ln1ln2lnCxy即即2) 1( xCy用用常數(shù)變易法常數(shù)變易法求特解求特解.,) 1()(2xxuy則則) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得代入非齊次方程得21) 1( xu解得解得Cxu23) 1(32故原方程通解為故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(令令例例3：解微分方程解微分方程)0(0)(3 yydyxxdy解：若將解：若將 y 看作未知函數(shù)，看作未知函數(shù)，x 為自變量，則為自變量，則03 yxyxdyd不是線性微分方程不是線性微分方程如果將如果將 y 看作自變量，看作自變量，x 為未知函數(shù)，則有為未知函數(shù)，則有03 yyxydxd2

10、1yxyydxd 這是一個以這是一個以 x 為未知函數(shù)的一階線性微分方程為未知函數(shù)的一階線性微分方程)()()(cxdexqeyxdxpxdxp )()()(cydeyqexydypydyp （I）計算）計算 ydyp)( ydy1yln )()()(cydeyqexydypydyp )()()(cydeyqexydypydyp （II）計算）計算 ydeyqydyp)()( ydeyyln221yxyydxd ydyy2441y yexln 4114cy ye1ln 4114cy y1 4114cy ycy1341 cyyx 44)4(1cc 例例4 4 已知函數(shù)已知函數(shù) f (x) 滿足滿

11、足:解解,)(1)(02 tsdsfstft求求 f (x) .遇到積分方程，通常將其化為微分方程，求遇到積分方程，通常將其化為微分方程，求出通解，再根據(jù)初始條件，求出特解。出通解，再根據(jù)初始條件，求出特解。原方程兩邊對原方程兩邊對 t 求導(dǎo)：求導(dǎo)： )()(tfttf, )(02tft 0)()1()( tftttf這是一個以這是一個以 f ( t ) 為未知函數(shù)的一階線性齊次微分方程為未知函數(shù)的一階線性齊次微分方程其通解為其通解為,)(22tetCtf 例例4 4 已知函數(shù)已知函數(shù) f (x) 滿足滿足:解解,)(1)(02 tsdsfstft求求 f (x) .其通解為其通解為,)(22

12、tetCtf 0)()1()( tftttf為確定常數(shù)為確定常數(shù) C ，需要一個初始條件。，需要一個初始條件。 考慮考慮 t = 1， 102)(1)1(sdsfsf 102221sdesCss 10221sdesCs)1(121 eC, )1(12121 eCCe, 1 C.1)(22xexxf 例例5 5 如圖所示，平行與如圖所示，平行與 軸的動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQ之之長數(shù)值上等于陰影部分的面積長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線求曲線 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,3

13、2xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx23xyy 課堂練習(xí)：P320：1（5，7）伯努利伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程為方程為線性微分方程線性微分方程. 方程為方程為非線性微分方程非線性微分方程.二、伯努利方程二、伯努利方程時時，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n時時，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n解法解法: : 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.,1

14、nyz 令令，則則dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解為求出通解為nyz 1，得，得兩端除以兩端除以ny代入上式得代入上式得. )1)()()1()()1( CdxenxQezdxxPndxxPn再將再將代入即得原方程的通解代入即得原方程的通解nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得，得兩端除以兩端除以y例例 6這是這是21 n的伯努利的

15、伯努利(Bernoulli)方程方程,21dxdyyxdzd ,21xdzddxdyy 例例7 7 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解微分方程用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 則則,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解為所求通解為).2(222Cxeyx )1( n222Cdxexeexxx ;1. 2yxdxdy 解一解一,uyx 令令, 1 dxdudxdy則則代入原式代入原式,11udxdu 兩邊積分得兩邊積分得,|1|lnCxuu ,代回代回將將yxu 所求通解

16、為所求通解為,|1|lnCyxy 11 yeCxy或或解二解二. yxdydx 方程變形為方程變形為, 11 udxdu,1dxduuu 這是以這是以 y 為自變量，為自變量，x 為未知函數(shù)的一階線性方程為未知函數(shù)的一階線性方程CeC 1第第7章：作業(yè)章：作業(yè)習(xí)題習(xí)題7 4: P320 1(1, 2, 3, 4, 6，10), 2(1,2), 3 思考與練習(xí)思考與練習(xí)判別下列方程類型判別下列方程類型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分離可分

17、離 變量方程變量方程xyxyxylndd齊次方程齊次方程221dd2xyxxy線性方程線性方程221dd2yxyyx線性方程線性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利伯努利方程方程1.1.已知函數(shù)已知函數(shù) f (x) 滿足滿足:,1)(21)(10 xfudxuf求求 f (x) .參考習(xí)題參考習(xí)題答案：答案：).1(2)(xxf ,1)(10 xdxf2.2.設(shè)連接兩點設(shè)連接兩點 A(0 , 1), B( 1 , 0) 的一條凸弧，的一條凸弧，P (x , y )為凸弧為凸弧 AB 上的任意一點，已知凸弧與弦上的任意一點，已知凸弧與弦 AP 之間的之間的面積為面積為,3x求此凸弧的方程。求此凸

18、弧的方程。xy0 ),(yxPAB3x答案：答案：. 1652 xxy2.2.設(shè)連接兩點設(shè)連接兩點 A(0 , 1), B( 1 , 0) 的一條凸弧，的一條凸弧，P (x , y )為凸弧為凸弧 AB 上的任意一點，已知凸弧與弦上的任意一點，已知凸弧與弦 AP 之間的之間的面積為面積為,3x求此凸弧的方程。求此凸弧的方程。xy0 ),(yxPAB3x解：設(shè)凸弧方程為解：設(shè)凸弧方程為( )yf x0( )xSf x dx梯形面積301( )(1)2xf x dxy xx兩邊求導(dǎo)得：兩邊求導(dǎo)得：116yyxxx 116yyxxx 所求方程的解為所求方程的解為111( ( 6)dxdxxxyexe

19、dxCx 261yxCx 將初始條件將初始條件 代入代入10 xy得得C=52651yxx 所求曲線方程為所求曲線方程為備用題備用題1. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xf使其滿足下列方程使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令令txuuufxxfxd)(sin)(0則有則有xxfxfcos)()(0)0(f線性方程線性方程1(cossin )2xxyeexxC利用公式可求出利用公式可求出1cos(cossin )2xxxe dxexxC其中其中備用題備用題1. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xf使其滿足下列方程使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0令令txu)esin(cos21)(xxxxf初始條件代入得特解為初始條件代入得特解為) 1ln2(47.xxxxycossin 答答A第四題圖xyO( )yfxt1tdi