目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 轉(zhuǎn)化 可分離變量微分方程 第二節(jié)解分離變量方程解分離變量方程 xxfyygd)(d)(可分離變量方程可分離變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 問題1：考慮一階微分方程),(yxfy ,2xxdyd xdxyd2 ,22yxxdyd xdyxyd22 的解法。例1：再兩邊求不定積分,2 xdxydcxy 2例2：,22 xdyxyd含有未知函數(shù) y, 積不出。xdyxyd22 ,22xdxyyd ,22 xdxyyd,12Cxy ,12Cxy 分離變量方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一般地，形如xdxfydyg)()( （3）的一階微分方程，稱為變量已分離的微分方程將（3）式兩端求不定積分得 xdxfydyg)()(（4）記 G ( y ) 和 F ( x ) 分別為 g ( y ) 和 f ( x ) 的一個原函數(shù)，則cxFyG )()(（5 ）（5）式即為方程（3）的通解表達式。注意： （5）式確定了一個 y 關(guān)于 x 的隱函數(shù)，稱（5）式為（3）的隱式通解。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有些一階微分方程，雖然不是變量已分離的形式，但只需經(jīng)過簡單的代數(shù)運算，就可化為變量已分離的方程形式，如：)()(ygxfxdyd xdxfygyd)()( xdyNxNydyMxM)()()()(2121 （6 ）（變量已分離）（7 ）xdxMxNydyNyM)()()()(1122 （變量已分離）方程（6）和（7）稱為可分離變量的微分方程。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1：解微分方程xyxdyd 解：分離變量得：xxdyyd , xxdyyd,|ln|ln1cxy ,|ln1cyx ,2cyx )(12cec 由于 y = 0 也是方程的解，對應(yīng)常數(shù)所以方程的通解為cyx 其中，c 為任意常數(shù)注意， 為不等于零的任意常數(shù)。2c,|1ceyx ,2xcy ,02 c目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 為任意常數(shù) )或或說明說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形, 因此可能增、減解.( 此式含分離變量時丟失的解 y = 0 )目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1,112xy( C 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y2lnln1lnyxC 2lnln1lnyxC2ln1lnyxC21yxC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu則yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 為任意常數(shù) )所求通解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí)1:.edd的通解求方程yxxy解：解： 分離變量xyxydedeCxyee即01e)e(yxC( C 0 )積分eexyC或目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)2：求解初值問題 20412xyydydxxdy解：先將方程寫成可分離變量形式xdyydx )4(2再分離變量24xxdyyd 兩邊積分,42 xxdyyd |ln yxx 22ln41,1C |ln yxx 22ln412lnC 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)2：求解初值問題 20412xyydydxxdy |ln yxx 22ln412lnC |ln y4222lnxxC 再將初始條件代入 241212 C422xxCy 432 C442232xxy 所求解為：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 子的含量 M 成正比,0M求在衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時間 t 的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意, 有)0(ddMtM00MMt(初始條件)對方程分離變量, MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始條件, 得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為.e0tMM然后積分:td)(已知 t = 0 時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原M0MtO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.成正比,求解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為對方程分離變量,mtvkmgvdd然后積分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件, 得)(ln1gmkC代入上式后化簡, 得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為0,)e1 (tmkkgmvmgvk設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. kgmv t 足夠大時目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 m1例例6. 有高 1 m 的半球形容器, 水從它的底部小孔流出,.cm12S開始時容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中, 容器里水面的高度 h 隨時間 t 的變r解解: 由水力學(xué)知, 水從孔口流出的流量為tVQddhgSk2即thgSkVd2d求水小孔橫截面積化規(guī)律.流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設(shè)在d,ttt內(nèi)水面高度由 h 降到 ),0d(dhhhhhdhhO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對應(yīng)下降體積hrVdd222)1 (1hr22hh hhhVd)2(d2因此得微分方程定解問題:hhhthgSkd)2(d2210th將方程分離變量:hhhgSktd)2(2d2321m1rhhdhhOthgSkVd2d目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩端積分, 得gSkt22334( h)5225Ch 利用初始條件, 得,1514C則得容10th器內(nèi)水面高度 h 與時間 t 的關(guān)系:(s)737101(10068. 125234hht可見水流完所需時間為(s)10068. 14tm1rhhdhhO 因此)737101(215142523hhgSkt代入上式，以224sm8 . 9,m10,62. 0gSkhhhgSktd)2(2d2321目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的概念微分方程;定解條件;2. 可分離變量方程的求解方法:說明說明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一個解 .例如, 方程分離變量后積分; 根據(jù)定解條件定常數(shù) .解; 階;通解; 特解 y = x 及 y = C 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程 ( 如: P301 題5(2) ) 2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(2) 利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3) 求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解. 3. 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟例4例5例6目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122(1) 分離變量目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)第三節(jié) 7 2:1(1，4, 5，7，10) , 2(3, 4) , 6