專題二第三講 不等式、線性規(guī)劃A組1如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)log2(x1)的解集是 (C)Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1 Dx|1x2解析如圖所示，把函數(shù)ylog2x的圖象向左平移一個單位得到y(tǒng)log2(x1)的圖象，x1時兩圖象相交，不等式的解為1<x1，故選C2(文)設(shè)xR，則“|x2|1”是“x2x20”的 (A)A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析|x2|<11<x2<11<x<3，x2x2>0x<2或x>1，所以“|x2|<1”是“x2x2>0”的充分不必要條件，故選A(理)已知a、bR，下列四個條件中，使a>b成立的必要而不充分的條件是 (A)Aa>b1 Ba>b1C|a|>|b| D2a>2b解析a>b，b>b1，a>b1，但當a>b1時，a>b未必成立，故選A點評a>b1是a>b的充分不必要條件，2a>2b是a>b的充要條件；|a|>|b|是a>b的既不充分也不必要條件3(文)已知a>0，b>0，且2ab4，則的最小值為 (C)AB4CD2解析a>0，b>0，42ab2，ab2，等號在a1，b2時成立(理)若直線2axby20(a、bR)平分圓x2y22x4y60，則的最小值是 (D)A1 B5 C4 D32解析直線平分圓，則必過圓心圓的標準方程為(x1)2(y2)211圓心C(1,2)在直線上2a2b20ab1()(ab)21332，故選D4(2017·長春一模)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為x|x<1或x>，則f(ex)>0的解集為 (D)Ax|x<1或x>ln3 Bx|1<x或x>ln3Cx|x>ln3 Dx|x<ln3解析f(x)>0的解集為x|1<x<，則由f(ex)>0得1<ex<，解得x<ln3，即f(ex)>0的解集為x|x<ln35(2016·山東卷，4)若變量x，y滿足則x2y2的最大值是 (C)A4 B9 C10 D12解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，設(shè)P(x，y)為平面區(qū)域內(nèi)任意一點，則x2y2表示|OP|2.顯然，當點P與點A重合時，|OP|2取得最大值由，解得，故A(3，1)所以x2y2的最大值為32(1)210.故選C6(文)若實數(shù)x、y滿足不等式組則w的取值范圍是 (D)A1， B，C，) D，1)解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示據(jù)題意，即求點M(x，y)與點P(1,1)連線斜率的取值范圍由圖可知wmin，wmax<1，w，1)(理)(2017·貴陽市高三質(zhì)量監(jiān)測)已知O是坐標原點，點A(1,2)，若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則·的取值范圍是 (D)A1,0 B0,1 C1,3 D1,4解析本題主要考查簡單的線性規(guī)劃、平面向量數(shù)量積的坐標運算作出點M(x，y)滿足的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，易知當點M為點C(0,2)時，·取得最大值，即為(1)×02×24，當點M為點B(1,1)時，·取得最小值，即為(1)×12×11，所以·的取值范圍為1,4，故選D7(2017·石家莊質(zhì)檢)函數(shù)f(x)若f(x0)，則x0的取值范圍是 (C)A(log2，) B(0，log2，)C0，log2，2 D(log2，1)，2解析當0x0<1時，2x0，x0log2，0x0log2當1x02時，42x0，x0，x02，故選C8(2015·陜西高考)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種新產(chǎn)品均需用A，B兩種原料已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為 (D)甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128A12萬元 B16萬元 C17萬元 D18萬元解析設(shè)企業(yè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，每天獲得的利潤為z萬元，則有z3x4y，由題意得x，y滿足：不等式組表示的可行域是以O(shè)(0,0)， A(4,0)，B(2,3)，C(0,4)為頂點的四邊形及其內(nèi)部根據(jù)線性規(guī)劃的有關(guān)知識，知當直線3x4yz0過點B(2,3)時，z取最大值18，故該企業(yè)每天可獲得最大利潤為18萬元9已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足f(log2a)f(loga)2f(1)，則a的取值范圍是 (C)A1,2 B(0，C，2 D(0,2解析因為logalog2a，所以f(log2a)f(loga)f(log2a)f(log2a)2f(log2a)，原不等式變?yōu)?f(log2a)2f(1)，即f(log2a)f(1)，又因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在0，)上遞增，所以|log2a|1，即1log2a1，解得a2，故選C10已知a>0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a (B)A B C1 D2解析畫出可行域，如圖所示，由得A(1，2a)，則直線yz2x過點A(1，2a)時，z2xy取最小值1，故2×12a1，解得a11(2017·蘭州雙基過關(guān))已知AC，BD為圓O：x2y24的兩條互相垂直的弦，且垂足為M(1，)，則四邊形ABCD面積的最大值為 (A)A5 B10 C15 D20解析如圖，作OPAC于P，OQBD于Q，則OP2OQ2OM23，AC2BD24(4OP2)4(4OQ2)20.又AC2BD22AC·BD，則AC·BD10，S四邊形ABCDAC·BD×105，當且僅當ACBD時等號成立12(2017·山東菏澤一模)已知直線axbyc10(b，c>0)經(jīng)過圓x2y22y50的圓心，則的最小值是 (A)A9 B8 C4 D2解析圓x2y22y50化成標準方程，得x2(y1)26，所以圓心為C(0,1)因為直線axbyc10經(jīng)過圓心C，所以a×0b×1c10，即bc1因此(bc)()5因為b，c>0，所以24當且僅當時等號成立由此可得b2c，且bc1，即b，c時，取得最小值913已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當x0時，f(x)x24x.那么，不等式f(x2)<5的解集是_(7,3)_.解析f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(|x|)又x0時，f(x)x24x，不等式f(x2)<5f(|x2|)<5|x2|24|x2|<5(|x2|5)·(|x2|1)<0|x2|5<0|x2|<55<x2<57<x<3故解集為(7,3)14(2017·遼寧五校聯(lián)考)設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件若目標函數(shù)zaxby(a>0，b>0)的最大值為10，則a2b2的最小值為_.解析因為a>0，b>0，所以由可行域得，當目標函數(shù)zaxby過點(4,6)時取最大值，則4a6b10.a2b2的幾何意義是直線4a6b10上任意一點到點(0,0)的距離的平方，那么最小值是點(0,0)到直線4a6b10距離的平方，即a2b2的最小值是15(2017·遼寧沈陽質(zhì)檢)若直線l：1(a>0，b>0)經(jīng)過點(1,2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是_32_.解析直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，求直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值即求ab的最小值由直線l經(jīng)過點(1,2)得1.于是ab(ab)×1(ab)×()3，因為22(當且僅當時取等號)，所以ab3216(2017·廣東實驗中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)若對任意的xR，不等式f(x)m2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_(，)1，)_.解析對于函數(shù)f(x)當x1時，f(x)(x)2；當x>1時，f(x)logx<0則函數(shù)f(x)的最大值為則要使不等式f(x)m2m恒成立，則m2m恒成立，即m或m1B組1不等式ax2bx2>0的解集是(，)，則ab的值是 (D)A10 B10 C14 D14解析由題意知ax2bx20的兩個根為，所以，×，所以a12，b2，所以ab142(2017·北京卷，4)若x，y滿足則x2y的最大值為 (D)A1 B3 C5 D9解析作出可行域如圖中陰影部分所示設(shè)zx2y，則yxz作出直線l0：yx，并平移該直線，可知當直線yxz過點C時，z取得最大值由得故C(3,3)zmax32×39故選D3(2015·山東卷)已知x，y滿足約束條件 若zaxy的最大值為4，則a (B)A 3 B 2 C 2 D 3解析由約束條件可畫可行域如圖，解得A(2,0)，B(1,1)若過點A(2,0)時取最大值4，則a2，驗證符合條件；若過點B(1,1)時取最大值4，則a3，而若a3，則z3xy最大值為6(此時A(2,0)是最大值點)，不符合題意. (也可直接代入排除)4(2017·浙江卷，4)若x，y滿足約束條件則zx2y的取值范圍是 (D)A0,6 B0,4 C6，) D4，)解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示由題意可知，當直線yx過點A(2,1)時，z取得最小值，即zmin22×14，所以zx2y的取值范圍是4，)故選D5(文)若a>b>0，c<d<0，則一定有 (D)A> B<C> D<解析因為c<d<0，所以c<d>0，即得>>0，又a>b>0，得>，從而有<(理)(2017·德州模擬)若a，b，c，則 (C)Aa<b<c Bc<b<aCc<a<b Db<a<c解析易知a，b，c均為正數(shù)，log89>1，所以b>a，log2532>1，所以a>c，故b>a>c6已知正項等比數(shù)列an滿足：a7a62a5，若存在兩項am，an使得4a1，則的最小值為 (A)A B C D不存在解析由an>0，a7a62a5，設(shè)an的公比為q，則a6qa6，所以q2q20因為q>0，所以q2，因為4a1，所以a·qmn216a，所以mn24，所以mn6，所以(mn)()(5)(52)，等號在，即n2m4時成立7若變量x，y滿足則點P(2xy，xy)表示區(qū)域的面積為 (D)A B C D1解析令2xya，xyb，解得代入x，y的關(guān)系式得畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖易得陰影區(qū)域面積S×2×118(2017·天津二模)已知函數(shù)f(x)則不等式f(1x2)>f(2x)的解集是 (D)Ax|1<x<1Bx|x<1或x>1Cx|1<x<1Dx|x<1或x>1解析由f(x)可得當x1時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，則由f(1x2)>f(2x)可得或解得x<1或1<x或x>，所以不等式f(1x2)>f(2x)解集是x|x<1或x>19已知一元二次不等式f(x)<0的解集為x|x<1或x>，則f(10x)>0的解集為_x|x<lg_2_.解析由題意知，一元二次不等式f(x)<0的解集為x|x<1或x>，因為f(10x)>0，所以1<10x<，即x<lg lg 210設(shè)f(x)若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為_(，2_.解題提示根據(jù)分段函數(shù)的定義找出f(0)的表達形式，再利用f(0)是f(x)的最小值，求出a的取值范圍解析當x>0時，f(x)x2，若f(0)是f(x)的最小值，則f(0)a211已知f(x)是定義在1,1上的奇函數(shù)且f(1)2，當x1、x21,1，且x1x20時，有>0，若f(x)m22am5對所有x1,1、a1,1恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_1,1_.解析f(x)是定義在1,1上的奇函數(shù)，當x1、x21,1且x1x20時，>0等價于>0，f(x)在1,1上單調(diào)遞增f(1)2，f(x)minf(1)f(1)2要使f(x)m22am5對所有x1,1，a1，1恒成立，即2m22am5對所有a1,1恒成立，m22am30，設(shè)g(a)m22am3，則即1m1實數(shù)m的取值范圍是1,112(2017·天津卷，16)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時長(分鐘)廣告播放時長(分鐘)收視人次(萬)甲70560乙60525已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？解析(1)由已知x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為即該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分中的整數(shù)點(2)設(shè)總收視人次為z萬，則目標函數(shù)為z60x25y考慮z60x25y，將它變形為yx，這是斜率為，隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距，當取得最大值時，z的值就最大又因為x，y滿足約束條件，所以由圖可知，當直線z60x25y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大解方程組得則點M的坐標為(6,3)所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時，才能使總收視人次最多12