專題1.6 解析幾何【高考改編回顧基礎(chǔ)】1.【直線垂直的位置關(guān)系及直線的點(diǎn)斜式方程】【2016·天津卷改編】過原點(diǎn)且與直線2xy0垂直的直線方程為_ 【答案】yx【解析】因?yàn)橹本€2xy0的斜率為2，所以所求直線的斜率為，所以所求直線方程為yx.2.【弦長問題】【2016·全國卷改編】設(shè)直線yx2與圓C：x2y22y20相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|_ 【答案】2【解析】解析 x2y22y20，即x2(y)24，則圓心為C(0，)，半徑為2，圓心C到直線yx2的距離d1，所以|AB|22. 3.【直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系】【2016·山東卷改編】已知圓M：x2y22ay0(a>0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是_ 【答案】相交4.【橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系】【2017課標(biāo)3，改編】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為 .【答案】【解析】故填.【命題預(yù)測(cè)看準(zhǔn)方向】從近五年的高考試題來看,高考的重點(diǎn)是求圓的方程、求與圓有關(guān)的軌跡方程、直線與圓的位置關(guān)系、弦長問題、切線問題、圓與圓的位置關(guān)系,圓與圓錐曲線的交匯問題是高考的熱點(diǎn),經(jīng)常以選擇題、解答題的形式出現(xiàn).另外，從高考試題看，涉及直線、圓的問題有與圓錐曲線等綜合命題趨勢(shì).復(fù)習(xí)中應(yīng)注意圍繞圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等,其中經(jīng)?？疾榈氖菆A與圓位置關(guān)系中的動(dòng)點(diǎn)軌跡,直線與圓的位置關(guān)系中的弦長問題、切線問題、參數(shù)的取值范圍等.【典例分析提升能力】【例1】【2018屆北京豐臺(tái)二中高三上學(xué)期期中】已知點(diǎn)及圓（）設(shè)過的直線與圓交于， 兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求以為直徑的圓的方程（）設(shè)直線與圓交于， 兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線，垂直平分弦？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】(1) (2) 不存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦【解析】試題分析：（1）由利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據(jù)弦長|MN|的一半及半徑，利用勾股定理求出弦心距d，發(fā)現(xiàn)|CP|與d相等，所以得到P為MN的中點(diǎn)，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)即為P的坐標(biāo)，半徑為|MN|的一半，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可；（2）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以得到0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，利用反證法證明證明即可【趁熱打鐵】【2018屆江蘇省興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校、黃橋中學(xué)、口岸中學(xué)三校高三12月聯(lián)考】經(jīng)過點(diǎn)且圓心是直線與直線的交點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【答案】【解析】直線與直線的交點(diǎn)為 即圓心為，因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)所以半徑為2，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為【例2】已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(0，2)，B(2，0)，圓C的圓心在圓x2y22的內(nèi)部，且直線3x4y50被圓C所截得的弦長為2.點(diǎn)P為圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA與x軸交于點(diǎn)M，直線PB與y軸交于點(diǎn)N.(1)求圓C的方程；(2)若直線yx1與圓C交于A1，A2兩點(diǎn)，求·； (3)求證：|AN|·|BM|為定值【答案】(1)x2y24.(2)3.(3)證明：見解析.【趁熱打鐵】(1)已知圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的取值范圍為_(2)已知圓C：x2y2ax2ya40關(guān)于直線l1：ax3y50對(duì)稱，過點(diǎn)P(3，2)的直線l2與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則弦長|AB|的最小值為_【答案】(1)k0(2)2.【方法總結(jié)全面提升】1.要注意幾種直線方程的局限性,點(diǎn)斜式、斜截式方程要求直線不能與x軸垂直,兩點(diǎn)式方程要求直線不能與坐標(biāo)軸垂直,而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線,也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線.2.求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí),主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件,即若斜率存在時(shí),“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”;若出現(xiàn)斜率不存在的情況,可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究.3.求圓的方程一般有兩類方法:(1)幾何法,通過圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,求得圓的基本量和方程;(2)代數(shù)法,即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù).4.直線與圓的位置關(guān)系: (1)代數(shù)法將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式來討論位置關(guān)系：>0相交；0相切；<0相離；(2)幾何法把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：d<r相交；dr相切；d>r相離優(yōu)先選用幾何法.5.處理有關(guān)圓的弦長問題求解方法：(1)根據(jù)平面幾何知識(shí)構(gòu)建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，l2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)(2)根據(jù)公式：l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)(3)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解【規(guī)范示例避免陷阱】【典例】已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B.求圓的圓心坐標(biāo).求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程.是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.【反思提高】處理有關(guān)圓的問題,要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用,如經(jīng)常用到弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形,利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題,往往使問題簡(jiǎn)化.【誤區(qū)警示】1.求軌跡方程常用的方法有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法(坐標(biāo)代入法)等,解決此類問題時(shí)要讀懂題目給出的條件,進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化,準(zhǔn)確得出結(jié)論.本題確定軌跡方程，易于忽視橫坐標(biāo)的限制范圍.2.涉及直線與圓的位置關(guān)系時(shí),應(yīng)多考慮圓的幾何性質(zhì),利用幾何法進(jìn)行運(yùn)算求解往往會(huì)減少運(yùn)算量.考向二 橢圓、雙曲線、拋物線【高考改編回顧基礎(chǔ)】1.【橢圓的方程及其幾何性質(zhì)】【2017·江蘇卷改編】橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，橢圓的半焦距為c且a24c，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為_ 【答案】1【解析】因?yàn)闄E圓E的離心率為，所以e，又a24c, 所以a2，c1，于是b， 因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.2【雙曲線的方程及其幾何性質(zhì)】【2017·全國卷】雙曲線1(a0)的一條漸近線方程為yx，則a_. 【答案】【解析】令0，得雙曲線的漸近線方程為y±x，雙曲線1(a>0)的一條漸近線方程為yx，a5.3. 【拋物線方程及其幾何性質(zhì)】【2017課標(biāo)1，改編】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為 .【答案】16【命題預(yù)測(cè)看準(zhǔn)方向】從近五年的高考試題來看,圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等是高考考查的重點(diǎn),也是高考命題的基本元素.考查的角度有:對(duì)圓錐曲線的定義的理解及定義的應(yīng)用,求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求圓錐曲線的離心率以及向量、直線、圓錐曲線的小綜合. 考查的重點(diǎn)是依據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)求離心率;根據(jù)圓錐曲線的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程；圓錐曲線與向量的小綜合;兩種圓錐曲線間的小綜合;直線與圓錐曲線的小綜合;圓錐曲線的綜合應(yīng)用等.【典例分析提升能力】【例1】【2017課標(biāo)II，理9】若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（ ）A2 B C D【答案】A【解析】【趁熱打鐵】【2018屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上第五次月考（一模）】F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為A. B. C. D. 【答案】D【解析】設(shè)，則，由余弦定理得 選D.【例2】【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。(1) 求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。 【答案】(1) 。(2)證明略?！窘馕觥浚?）由題意知.設(shè),則，。由得，又由（1）知，故.所以，即.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F.【趁熱打鐵】如圖,拋物線.點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線C2上,過點(diǎn)M作C1的切線,切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O).當(dāng)時(shí),切線MA的斜率為.(1)求p的值;(2)當(dāng)點(diǎn)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB的中點(diǎn)N的軌跡方程(當(dāng)A,B重合于點(diǎn)O時(shí),中點(diǎn)為O).【答案】(1)p=2.(2)x2=y.切線MB的方程為y=(x-x2)+.由得MA,MB的交點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)為x0=,y0=.因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,所以x1x2=-.【例3】【2017課標(biāo)3，理20】已知拋物線C：y2=2x，過點(diǎn)（2,0）的直線l交C與A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； （2）設(shè)圓M過點(diǎn)，求直線l與圓M的方程.【答案】(1)證明略；(2)直線 的方程為 ，圓 的方程為 .或直線 的方程為 ，圓 的方程為 .【解析】所以 ，解得 或 .當(dāng) 時(shí)，直線 的方程為 ，圓心 的坐標(biāo)為 ，圓 的半徑為 ，圓 的方程為 .當(dāng) 時(shí)，直線 的方程為 ，圓心 的坐標(biāo)為 ，圓 的半徑為 ，圓 的方程為 .【趁熱打鐵】【2018屆廣東省仲元中學(xué)、中山一中等七校高三第二次聯(lián)考】已知橢圓的上、下、左、右四個(gè)頂點(diǎn)分別為x軸正半軸上的某點(diǎn)滿足.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在圓上,且在第一象限,過作圓的切線交橢圓于,求證:的周長是定值【答案】(1) (2)見解析 【解析】試題分析：與圓相切,即,同理可得,因此的周長是定值【方法總結(jié)全面提升】1.涉及橢圓(或雙曲線)兩焦點(diǎn)距離的問題或焦點(diǎn)弦問題以及到拋物線焦點(diǎn)(或準(zhǔn)線)距離的問題,可優(yōu)先考慮圓錐曲線的定義.求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)“先定型,后計(jì)算”,即首先確定是何種曲線,焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上,然后利用條件求a,b,p的值.2.求橢圓、雙曲線的離心率問題,關(guān)鍵是首先根據(jù)已知條件確定a,b,c的關(guān)系,然后將b用a,c代換,求e= 的值;另外要注意雙曲線的漸近線與離心率的關(guān)系.圓錐曲線的性質(zhì)常與等差數(shù)列、等比數(shù)列、三角函數(shù)、不等式等問題聯(lián)系在一起,一般先利用條件轉(zhuǎn)化為單一知識(shí)點(diǎn)的問題再求解.3.求曲線的軌跡方程時(shí),先看軌跡的形狀是否預(yù)知,若能依據(jù)條件確定其形狀,可用定義法或待定系數(shù)法求解;若動(dòng)點(diǎn)P與另一動(dòng)點(diǎn)Q有關(guān),點(diǎn)Q在已知曲線上運(yùn)動(dòng),可用代入法求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;否則用直接法求解.4.涉及圓錐曲線的焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)三角形問題,常結(jié)合定義、正弦定理、余弦定理等知識(shí)解決.5.涉及垂直問題可結(jié)合向量的數(shù)量積解決.6.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，主要有方程組法，和“點(diǎn)差法”對(duì)于弦中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用條件0，在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交【規(guī)范示例避免陷阱】【典例】【2016·乙卷】設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.()證明|EA|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；()設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍【規(guī)范解答】()圓A整理為(x1)2y216，圓心A(1,0)，1分如圖，因?yàn)锽EAC，則ACBEBD，由|AC|AD|，則ADCACD，所以EBDEDB，則|EB|ED|，1分則|MN|yMyN|；2分圓心A到PQ距離d，所以|PQ|22【反思提升】處理有關(guān)圓錐曲線與圓相結(jié)合的問題,要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用,如直徑對(duì)的圓心角為直角,構(gòu)成了垂直關(guān)系;弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形.利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題,往往使問題簡(jiǎn)化.【誤區(qū)警示】第()問得分點(diǎn)及說明得分點(diǎn)1寫出圓心坐標(biāo)得1分2得出EBED，得1分3根據(jù)橢圓定義判斷點(diǎn)E的軌跡是橢圓，得1分4得出橢圓方程，得1分踩點(diǎn)說明1只要得出橢圓方程正確，得4分，忽略y0扣1分2只要正確判斷出點(diǎn)E的軌跡是橢圓，得3分3若只有橢圓方程，而沒有解答過程，得2分第()問得分點(diǎn)及說明5根據(jù)弦長公式整理得出弦長|MN|得2分6得出弦長|PQ|得2分7.列出面積表達(dá)式，得2分8求出面積的范圍，得2分踩點(diǎn)說明1結(jié)果正確，有過程得滿分2兩個(gè)弦長|MN|，|PQ|只要結(jié)果正確，每個(gè)得2分3直線方程和橢圓方程聯(lián)立，給1分4寫對(duì)弦長公式，給1分5寫出點(diǎn)到直線距離公式正確，給1分考向三 圓錐曲線的熱點(diǎn)問題【高考改編回顧基礎(chǔ)】1【直線、圓、橢圓的位置關(guān)系及過定點(diǎn)問題】【2017·全國卷改編】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：y21上，P在圓x2y22上，設(shè)點(diǎn)Q在直線x3上，且·1，則過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l _(填“經(jīng)過”或“不經(jīng)過”)C的左焦點(diǎn)F. 【答案】經(jīng)過2. 【直線與橢圓的位置關(guān)系及定值問題】【2016·山東卷改編】如圖13­1，已知橢圓C：1(a>b>0)，過動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(0<m<b)的直線交x軸于點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn)過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長QM交C于點(diǎn)B.設(shè)直線PM，QM的斜率分別為k，k，則為定值_ 【答案】3【解析】設(shè)P(x0，y0)(x0>0，y0>0)由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，2m)，所以直線PM的斜率k，直線QM的斜率k.此時(shí)3，所以為定值3. 3.【直線與拋物線的位置關(guān)系及范圍問題】【2017·浙江卷改編】已知拋物線x2y，點(diǎn)A，拋物線上的點(diǎn)P(x，y)，則直線AP斜率的取值范圍為_ .【答案】 (1，1)【解析】設(shè)直線AP的斜率為k，則kx.因?yàn)?lt;x<，所以直線AP斜率的取值范圍是(1，1)【命題預(yù)測(cè)看準(zhǔn)方向】直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系是高考的重點(diǎn),常常與平面向量、三角函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)、不等式等知識(shí)交匯命題. 直線與圓錐曲線相交,求其弦長、中點(diǎn)、定點(diǎn)、定值、最值、面積、對(duì)稱、參數(shù)范圍、存在性問題等是高考的熱點(diǎn),常用到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.預(yù)測(cè)2018年應(yīng)側(cè)重直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、定點(diǎn)問題、 定值問題、最值問題、范圍問題、探索性問題等.【典例分析提升能力】【例1】【2017浙江，21】（本題滿分15分）如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，拋物線上的點(diǎn)過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q（）求直線AP斜率的取值范圍；（）求的最大值【答案】（）；（）【解析】試題解析：【趁熱打鐵】【2018屆河南省鄭州市高三第一次質(zhì)量檢測(cè)（模擬）】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的離心率；（2）如圖，過作直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，若的周長為，求的最大值.【答案】(1) ；(2) .（2）因?yàn)槿切蔚闹荛L為，所以，橢圓方程為，且焦點(diǎn)，若直線斜率不存在，則可得軸，方程為解方程組可得或， ，故. 【例2】【2018屆廣西柳州市高三上摸底】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.（1）求該拋物線的方程；（2）已知拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條弦和，且，判斷直線是否過定點(diǎn)？并說明理由.【答案】（1）.（2），.拋物線的方程為.（2）由（1）可得點(diǎn)，可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為： ，聯(lián)立，得，則. 設(shè)，則. 即，得： ，即或，代人式檢驗(yàn)均滿足，直線的方程為： 或.直線過定點(diǎn)（定點(diǎn)不滿足題意，故舍去）.【趁熱打鐵】【2018屆云南省昆明一中高三第一次摸底】已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足： .（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），證明：直線恒過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn) ，證明見解析.程為： 由得，【例3】【2018屆廣東省仲元中學(xué)、中山一中等七校高三第二次聯(lián)考】已知橢圓的上、下、左、右四個(gè)頂點(diǎn)分別為x軸正半軸上的某點(diǎn)滿足.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在圓上,且在第一象限,過作圓的切線交橢圓于,求證:的周長是定值【答案】(1) (2)見解析 【解析】試題分析： (1) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為可知，可得橢圓方程;(2)法一:設(shè)，結(jié)合橢圓方程可得，在圓中, 是切點(diǎn), ，同理可得,則易得結(jié)論;法二:設(shè) 的方程為，聯(lián)立橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系式,結(jié)合弦長公式求出，再求出在圓中, 是切點(diǎn),=,同理,因此的周長是定值方法2:設(shè)的方程為,由,得,設(shè),則,=【趁熱打鐵】【2018屆福建省泉州市高三1月檢查】已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為. 點(diǎn)在上，點(diǎn)， 的最大面積等于.（）求的方程；（）若直線與交于另一點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，試判斷是否為定值.【答案】（1）（2） 【解析】試題分析： 運(yùn)用題設(shè)條件建立方程求解；直線的方程為，聯(lián)立方程組，解，求得直線， 的方程，解得， 的坐標(biāo)，計(jì)算出結(jié)果。解析：（）由題意，可得的最大面積為，即.【例4】已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過點(diǎn)F2垂直于長軸的直線l交橢圓C于B，D兩點(diǎn)，且|BD|3.(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在過點(diǎn)P(2,1)的直線l1與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，且滿足·？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】(1)1.(2)存在直線l1滿足條件，其方程為yx.【趁熱打鐵】如圖，圓： （1）若圓與軸相切，求圓的方程；（2）求圓心的軌跡方程；（3）已知，圓與軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）過點(diǎn)任作一條直線與圓： 相交于兩點(diǎn)問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）；（2）（3）存在，使得（2）求圓心點(diǎn)坐標(biāo)為，則 圓心點(diǎn)的軌跡方程為（3）令，得，即所以假設(shè)存在實(shí)數(shù)，當(dāng)直線AB與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為， 代入得， ，設(shè)從而因?yàn)槎?因?yàn)?，所以，即，得?dāng)直線AB與軸垂直時(shí)，也成立故存在，使得【方法總結(jié)全面提升】1.圓錐曲線中求最值或范圍問題的方法若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值常從以下幾個(gè)方面考慮：利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍2.定點(diǎn)問題的求法解題的關(guān)鍵在于尋找題中用來聯(lián)系已知量和未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量和未知量代入上述關(guān)系，通過整理、變形轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線系、曲線系來解決3. 定值問題的求法解這類問題常通過取參數(shù)和特殊值先確定“定值”是多少，再進(jìn)行證明，或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)特別提醒：解決定值問題一定要分清哪些量為變量，哪些量為常量4. 求解存在性問題時(shí)，通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算，若不出現(xiàn)矛看，并且得到了相應(yīng)的幾何元素或參數(shù)值，就說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在；若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在，同時(shí)推理與計(jì)算的過程就是說明理由的過程【規(guī)范示例避免陷阱】【典例】【2017·全國卷】已知橢圓C：1(a>b>0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(0,1)，P3（1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上(1)求C的方程(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(diǎn)【規(guī)范解答】(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點(diǎn)又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.1分因此解得設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.2分而k1k2.由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)·(m1)·0.解得k.3分當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過定點(diǎn)(2，1).1分【反思提升】1.求解定點(diǎn)和定值問題的基本思想是一致的,定值是證明求解的一個(gè)量與參數(shù)無關(guān),定點(diǎn)問題是求解的一個(gè)點(diǎn)(或幾個(gè)點(diǎn))的坐標(biāo),使得方程的成立與參數(shù)值無關(guān).解這類試題時(shí)要會(huì)合理選擇參數(shù)(參數(shù)可能是直線的斜率、截距,也可能是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等),使用參數(shù)表達(dá)其中變化的量,再使用這些變化的量表達(dá)需要求解的解題目標(biāo).當(dāng)使用直線的斜率和截距表達(dá)直線方程時(shí),在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系,把雙參數(shù)問題化為單參數(shù)問題解決.2.證明直線過定點(diǎn)的基本思想是使用一個(gè)參數(shù)表示直線方程,根據(jù)方程的成立與參數(shù)值無關(guān)得出x,y的方程組,以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過的定點(diǎn).【誤區(qū)警示】1正確使用圓錐曲線的定義：牢記圓錐曲線的定義及性質(zhì)，用解方程的方法求出a2、b2，如本題第(1)問就涉及橢圓的性質(zhì)來判斷點(diǎn)在不在橢圓上2注意分類討論：當(dāng)用點(diǎn)斜式表示直線方程時(shí)，應(yīng)分直線的斜率存在和不存在兩種情況求解，易出現(xiàn)忽略斜率不存在的情況，導(dǎo)致扣分，如本題第(2)問中首先要求出斜率不存在時(shí)的情況3寫全得分關(guān)鍵：在解析幾何類解答題中，直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后得到的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程得到的兩根之和與兩根之積，弦長，目標(biāo)函數(shù)，等一些關(guān)鍵式子和結(jié)果都是得分點(diǎn)，在解答時(shí)一定要寫清楚37