專題四 概率與統(tǒng)計研高考·明考點年份卷別小題考查大題考查2017卷T2·用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征T19·相關(guān)系數(shù)的計算，均值、標準差公式的應(yīng)用T4·數(shù)學(xué)文化，有關(guān)面積的幾何概型卷T11·古典概型的概率計算T19·頻率分布直方圖，頻率估計概率，獨立性檢驗卷T3·折線圖的識別與應(yīng)用T18·頻數(shù)分布表，用頻率估計概率2016卷T3·古典概型求概率T19·柱狀圖、頻數(shù)、平均值，用樣本估計總體卷T8·與時間有關(guān)的幾何概型求概率T18·頻數(shù)、頻率估計概率，平均值的應(yīng)用卷T4·統(tǒng)計圖表的應(yīng)用T18·變量間的線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程的求解與應(yīng)用T5·古典概型求概率2015卷T4·新定義、古典概型求概率T19·散點圖，求回歸方程及函數(shù)的最值卷T3·條形圖、兩個變量的相關(guān)性T18·頻率分布直方圖，方差，用頻率估計概率析考情·明重點小題考情分析大題考情分析?？键c1.用樣本估計總體(3年3考) 2.古典概型與幾何概型(3年6考)常考點高考對概率、統(tǒng)計這部分在解答題中的考查綜合性較強，將概率、統(tǒng)計的有關(guān)知識(特別是直方圖、樣本數(shù)字特征等)有機地交融在一起，有時僅考查利用統(tǒng)計知識(特別是線性回歸方程)解決實際問題，題型主要有：1.概率與用樣本估計總體交匯問題2.回歸分析與統(tǒng)計的交匯問題偶考點變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例偶考點獨立性檢驗與統(tǒng)計的交匯問題第一講 小題考法概率、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例考點(一)主要考查用統(tǒng)計圖表估計總體以及利用樣本的數(shù)字特征估計總體，且以統(tǒng)計圖表的考查為主.用樣本估計總體典例感悟典例(1)(2016·全國卷)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15 ，B點表示四月的平均最低氣溫約為5 .下面敘述不正確的是() A各月的平均最低氣溫都在0 以上B七月的平均溫差比一月的平均溫差大C三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D平均最高氣溫高于20 的月份有5個(2)為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位：)制成如圖所示的莖葉圖考慮以下結(jié)論：甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差；甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號為()A BC D(3)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖和圖所示為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A100,10 B200,10C100,20 D200,20解析(1)由圖形可得各月的平均最低氣溫都在0 以上，A正確；七月的平均溫差約為10 ，而一月的平均溫差約為5 ，B正確；三月和十一月的平均最高氣溫都在10 左右，基本相同，C正確；平均最高氣溫高于20的月份有2個，故D錯誤(2)甲29，乙30，甲<乙又s，s2，s甲>s乙故可判斷結(jié)論正確(3)易知樣本容量為(3 5004 5002 000)×2%200；抽取的高中生人數(shù)為2 000×2%40，由于其近視率為50%，所以近視的人數(shù)為40×50%20.答案(1)D(2)B(3)D方法技巧1方差的計算與含義(1)計算：計算方差首先要計算平均數(shù)，然后再按照方差的計算公式進行計算(2)含義：方差是描述一個樣本和總體的波動大小的特征數(shù)，方差大說明波動大2與頻率分布直方圖有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)已知頻率分布直方圖中的部分數(shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關(guān)系，利用頻率和等于1就可以求出其他數(shù)據(jù)(2)已知頻率分布直方圖，求某個范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)可利用圖形及某范圍結(jié)合求解演練沖關(guān)1(2017·全國卷)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)解析：選A根據(jù)折線圖可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在減少，所以A錯誤由圖可知，B、C、D正確2(2017·山東高考)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為()A3,5 B5,5 C3,7 D5,7解析：選A由兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等可得6560y，解得y5，又它們的平均值相等，所以×56626574(70x)×(5961676578)，解得x3.3某電子商務(wù)公司對10 000名網(wǎng)絡(luò)購物者2017年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間0.3,0.9內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示 (1)直方圖中的a_；(2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為_解析：(1)由0.1×1.50.1×2.50.1a0.1×2.00.1×0.80.1×0.21，解得a3.(2)區(qū)間0.3,0.5)內(nèi)的頻率為0.1×1.50.1×2.50.4，故0.5,0.9內(nèi)的頻率為10.40.6.因此，消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6×10 0006 000.答案：(1)3(2)6 000考點(二)主要考查線性回歸方程的求解及應(yīng)用，對獨立性檢驗的考查較少.變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例典例感悟典例(1)(2017·蘭州診斷)已知某種商品的廣告費支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y304050m70根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出y與x的線性回歸方程為6.5x17.5，則表中m的值為()A45 B50 C55 D60(2)(2017·南昌模擬)設(shè)某中學(xué)的高中女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2,3，n)，用最小二乘法近似得到回歸直線方程為0.85x85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()Ay與x具有正線性相關(guān)關(guān)系B回歸直線過樣本點的中心(，)C若該中學(xué)某高中女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kgD若該中學(xué)某高中女生身高為160 cm，則可斷定其體重必為50.29 kg解析(1)5，.當(dāng)5時，6.5×517.550，50，解得m60.(2)因為回歸直線方程0.85x85.71中x的系數(shù)為0.85>0，因此y與x具有正線性相關(guān)關(guān)系，所以選項A正確；由最小二乘法及回歸直線方程的求解可知回歸直線過樣本點的中心(，)，所以選項B正確；由于用最小二乘法得到的回歸直線方程是估計值，而不是具體值，所以若該中學(xué)某高中女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg，所以選項C正確，選項D不正確答案(1)D(2)D方法技巧求回歸直線方程的關(guān)鍵及實際應(yīng)用(1)求回歸直線方程的關(guān)鍵是正確理解，的計算公式和準確地求解(2)在分析實際中兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計和預(yù)測變量的值演練沖關(guān)1(2018屆高三·湖北七市(州)聯(lián)考)廣告投入對商品的銷售額有較大影響某電商對連續(xù)5個年度的廣告費x和銷售額y進行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示(單位：萬元)：廣告費x23456銷售額y2941505971由上表可得回歸方程為10.2x，據(jù)此模型，預(yù)測廣告費為10萬元時的銷售額約為()A101.2萬元 B108.8萬元C111.2萬元 D118.2萬元解析：選C根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)表，可得×(23456)4，×(2941505971)50，而回歸直線10.2x經(jīng)過樣本點的中心(4,50)，5010.2×4，解得9.2，回歸方程為10.2x9.2.當(dāng)x10時，y10.2×109.2111.2，故選C.2(2018屆高三·湘中名校聯(lián)考)利用獨立性檢驗來考慮兩個分類變量X和Y是否有關(guān)系時，通過查閱下表來確定“X和Y有關(guān)系”的可信度如果k>3.841，那么有把握認為“X和Y有關(guān)系”的百分比為()P(K2>k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A.5% B75% C99.5% D95%解析：選D由表中數(shù)據(jù)可得，當(dāng)k>3.841時，有0.05的機率說明這兩個變量之間的關(guān)系是不可信的，即有10.050.95的機率，也就是有95%的把握認為變量之間有關(guān)系，故選D.考點(三)主要考查古典概型及幾何概型概率公式的應(yīng)用.古典概型與幾何概型典例感悟典例(1)(2016·全國卷)小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是()A. B. C. D.(2)(2017·全國卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.(3)(2018屆高三·湖北五市十校聯(lián)考)在矩形ABCD中，AD1，AB2AD，在CD上任取一點P，ABP的最大邊是AB的概率為()A. B. C.1 D.1解析(1)(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)，事件總數(shù)有15種正確的開機密碼只有1種，P.(2)不妨設(shè)正方形的邊長為2，則正方形的面積為4，正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，面積為.由題意，得S黑S圓，故此點取自黑色部分的概率P.(3)分別以A，B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交CD于P1，P2，則當(dāng)P在線段P1P2間運動時，能使得ABP的最大邊是AB，在RtP2BC中，BP22，BC1，故CP2，DP22，同理CP12，所以P1P22(2)×222，所以1，即ABP的最大邊是AB的概率為1.答案(1)C(2)B(3)D方法技巧1利用古典概型求概率的關(guān)鍵及注意點(1)正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù)(2)對于較復(fù)雜的題目條件計數(shù)時要正確分類，分類時應(yīng)不重不漏2幾何概型的適用條件及求解關(guān)鍵(1)當(dāng)構(gòu)成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解(2)求解關(guān)鍵是尋找構(gòu)成試驗的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域，有時需要設(shè)出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域演練沖關(guān)1(2018屆高三·湘中名校聯(lián)考)從集合A2，1,2中隨機選取一個數(shù)記為a，從集合B1,1,3中隨機選取一個數(shù)記為b，則直線axyb0不經(jīng)過第四象限的概率為()A. B. C. D.解析：選A從集合A，B中隨機選取一個數(shù)后組合成的數(shù)對有(2，1)，(2,1)，(2,3)，(1，1)，(1,1)，(1,3)，(2，1)，(2,1)，(2,3)，共9對，要使直線axyb0不經(jīng)過第四象限，則需a0，b0，共有2對滿足，所以所求概率P，故選A.2(2017·長春質(zhì)檢)如圖，扇形AOB的圓心角為120°，點P在弦AB上，且APAB，延長OP交弧AB于點C，現(xiàn)向扇形AOB內(nèi)投一點，則該點落在扇形AOC內(nèi)的概率為()A. B. C. D.解析：選A設(shè)OA3，則AB3，AP，由余弦定理可求得OP，則AOP30°，所以扇形AOC的面積為，又扇形AOB的面積為3，從而所求概率為.3(2017·全國卷)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A. B. C. D.解析：選D記兩次取得卡片上的數(shù)字依次為a，b，則一共有25個不同的數(shù)組(a，b)，其中滿足ab的數(shù)組共有10個，分別為(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P.4(2017·天津高考)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A. B.C. D.解析：選C從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：(紅，黃)，(紅，藍)，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍)，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍，綠)，(藍，紫)，(綠，紫)而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅，黃)，(紅，藍)，(紅，綠)，(紅，紫)，共4種，故所求概率P.5(2017·江蘇高考)記函數(shù)f(x)的定義域為D.在區(qū)間4,5上隨機取一個數(shù)x，則xD的概率是_解析：由6xx20，解得2x3，則D2,3，則所求概率P.答案： 必備知能·自主補缺 (一) 主干知識要記牢1概率的計算公式(1)古典概型的概率計算公式P(A)；(2)互斥事件的概率計算公式P(AB)P(A)P(B)；(3)對立事件的概率計算公式P()1P(A)；(4)幾何概型的概率計算公式P(A).2抽樣方法(1)三種抽樣方法的比較類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣是不放回抽樣，抽樣過程中，每個個體被抽到的機會(概率)相等從總體中逐個抽取總體中的個數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則，在各部分抽取在起始部分抽樣時，采用簡單隨機抽樣總體中的個數(shù)比較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣或者系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成(2)分層抽樣中公式的運用抽樣比；層1的數(shù)量層2的數(shù)量層3的數(shù)量樣本1的容量樣本2的容量樣本3的容量3用樣本數(shù)字特征估計總體(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義特點眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，不受極端值的影響，而且不唯一中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)不受極端值的影響，僅利用了排在中間數(shù)據(jù)的信息，只有一個平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，只有一個(2)方差和標準差方差和標準差反映了數(shù)據(jù)波動程度的大小方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2；標準差：s .(二) 二級結(jié)論要用好1頻率分布直方圖的3個結(jié)論(1)小長方形的面積組距×頻率(2)各小長方形的面積之和等于1.(3)小長方形的高，所有小長方形高的和為.2與平均數(shù)和方差有關(guān)的4個結(jié)論(1)若x1，x2，xn的平均數(shù)為，那么mx1a，mx2a，mxna的平均數(shù)為ma；(2)數(shù)據(jù)x1，x2，xn與數(shù)據(jù)xx1a，xx2a，xxna的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變；(3)若x1，x2，xn的方差為s2，那么ax1b，ax2b，axnb的方差為a2s2；(4)s2(xi)22，即各數(shù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方求s2時，可根據(jù)題目的具體情況，結(jié)合題目給出的參考數(shù)據(jù)，靈活選用公式形式3線性回歸方程線性回歸方程x一定過樣本點的中心(，)針對練1(2018屆高三·惠州調(diào)研)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)：零件數(shù)x/個1020304050加工時間y/分鐘6268758189由最小二乘法求得回歸方程0.67x，則的值為_解析：因為30，75，所以回歸直線一定過樣本點的中心(30,75)，將其代入0.67x，可得750.67×30，解得54.9.答案：54.9(三) 易錯易混要明了1應(yīng)用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和2正確區(qū)別互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件3混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯4在求解幾何概型的概率時，要注意分清幾何概型的類別(體積型、面積型、長度型、角度型等)針對練2一種小型電子游戲的主界面是半徑為r的圓，點擊圓周上的點A后，該點在圓周上隨機轉(zhuǎn)動，最后落在點B處，當(dāng)線段AB的長不小于r時自動播放音樂，則一次轉(zhuǎn)動能播放音樂的概率為_解析：如圖，當(dāng)|AB|r，即點B落在劣弧CC上時才能播放音樂又劣弧CC所對應(yīng)的圓心角為，所以一次轉(zhuǎn)動能播放音樂的概率為.答案：課時跟蹤檢測 A組124提速練一、選擇題1(2017·南昌模擬)某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一1 000人、高二1 200人、高三n人中，抽取81人進行問卷調(diào)查已知高二被抽取的人數(shù)為30，那么n()A860 B720C1 020 D1 040解析：選D根據(jù)分層抽樣方法，得×8130，解得n1 040.2(2018屆高三·西安八校聯(lián)考)某班對八校聯(lián)考成績進行分析，利用隨機數(shù)表法抽取樣本時，先將60個同學(xué)按01,02,03，60進行編號，然后從隨機數(shù)表第9行第5列的數(shù)開始向右讀，則選出的第6個個體是()(注：下表為隨機數(shù)表的第8行和第9行)第8行第9行A07 B25C42 D52解析：選D依題意得，依次選出的個體分別為12,34,29,56,07,52，因此選出的第6個個體是52，故選D.3(2017·寶雞質(zhì)檢)對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進行抽樣檢測，樣本容量為200，如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，根據(jù)產(chǎn)品標準，單件產(chǎn)品長度在區(qū)間25,30)的為一等品，在區(qū)間20,25)和30,35)的為二等品，其余均為三等品，則該樣本中三等品的件數(shù)為()A5 B7C10 D50解析：選D根據(jù)題中的頻率分布直方圖可知，三等品的頻率為1(0.050 00.062 50.037 5)×50.25，因此該樣本中三等品的件數(shù)為200×0.2550，故選D.4(2016·全國卷)從區(qū)間0,1隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A. B.C. D.解析：選C因為x1，x2，xn，y1，y2，yn都在區(qū)間0,1內(nèi)隨機抽取，所以構(gòu)成的n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)都在邊長為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示若兩數(shù)的平方和小于1，則對應(yīng)的數(shù)對在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點所對應(yīng)的數(shù)對)，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對有m個用隨機模擬的方法可得，即，所以.5在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i1,2，n)都在直線yx1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A1 B0C. D1解析：選D因為所有樣本點都在直線yx1上，所以這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為1.6甲、乙兩位歌手在“中國新歌聲”選拔賽中，5次得分情況如圖所示記甲、乙兩人的平均得分分別為甲，乙，則下列判斷正確的是()A.甲乙，甲比乙成績穩(wěn)定B.甲乙，乙比甲成績穩(wěn)定C.甲乙，甲比乙成績穩(wěn)定D.甲乙，乙比甲成績穩(wěn)定解析：選B甲85，乙86，s(7685)2(7785)2(8885)2(9085)2(9485)252，s(7586)2(8886)2(8686)2(8886)2(9386)235.6，所以甲乙，ss，故乙比甲成績穩(wěn)定，故選B.7(2017·洛陽統(tǒng)考)若0，則sin>成立的概率為()A. B. C. D1解析：選B依題意，當(dāng)0，時，由sin>得<，即0<.因此，所求的概率為.8將一枚骰子先后拋擲兩次，并記朝上的點數(shù)分別為m，n，m為2或4時，mn>5的概率為()A. B. C. D.解析：選D依題意得，先后拋擲兩次骰子所得的點數(shù)對(m，n)為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(6,5)，(6,6)，共有36組，其中當(dāng)m2或4時，相應(yīng)的點數(shù)對(m，n)共有12組當(dāng)m2時，滿足mn>5，即n>3的點數(shù)對(m，n)共有3組；當(dāng)m4時，滿足mn>5，即n>1的點數(shù)對(m，n)共有5組，因此所求的概率為.9(2017·惠州調(diào)研)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中各隨機選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為()A. B. C. D.解析：選A設(shè)田忌的上、中、下三個等次的馬分別為A，B，C，齊王的上、中、下三個等次的馬分別為a，b，c，從雙方的馬匹中各隨機選一匹進行一場比賽的所有可能結(jié)果有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9種，田忌馬獲勝有Ab，Ac，Bc，共3種，所以田忌的馬獲勝的概率為.10(2018屆高三·西安八校聯(lián)考)在平面區(qū)域(x，y)|0x1，1y2內(nèi)隨機投入一點P，則點P的坐標(x，y)滿足y2x的概率為()A. B. C. D.解析：選D依題意得，不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的正方形ABCD的內(nèi)部(含邊界)，其面積為1×11，不等式組表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分(含邊界)，其面積為××1，因此所求的概率為.11(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)在區(qū)間1,1上隨機取一個數(shù)k，使直線yk(x3)與圓x2y21相交的概率為()A. B. C. D.解析：選C若直線yk(x3)與圓x2y21相交，則圓心到直線的距離d<1，解得<k<，故在區(qū)間1,1上隨機取一個數(shù)k，使直線yk(x3)與圓x2y21相交的概率為P.12已知樣本(x1，x2，xn)的平均數(shù)為，樣本(y1，y2，ym)的平均數(shù)為()，若樣本(x1，x2，xn，y1，y2，ym)的平均數(shù)a(1a)，其中0<a<，則n，m的大小關(guān)系為()An<m Bn>mCnm D不能確定解析：選A由題意可得，則····a(1a)，所以a，1a，又0<a<，所以0<<<，故n<m.二、填空題13(2017·石家莊質(zhì)檢)設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x2 017的方差是4，若yi2xi1(i1,2，2 017)，則y1，y2，y2 017的方差為_解析：設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則yi2xi1的平均數(shù)為21，則y1，y2，y2 017的方差為(2x1121)2(2x2121)2(2x2 017121)24×(x1)2(x2)2(x2 017)24×416.答案：1614(2018屆高三·廣西三市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)logaxlog8(a>0，且a1)，在集合，3,4,5，6,7中任取一個數(shù)a，則f(3a1)>f(2a)>0的概率為_解析：3a1>2a，f(3a1)>f(2a)，f(x)logaxloga8，a>1.又f(2a)>0，2a>8，即a>4，符合條件的a的值為5,6,7，故所求概率為.答案：15(2017·張掖模擬)在區(qū)間0，上隨機取一個數(shù)，則使sin cos 2成立的概率為_解析：由sin cos 2，得sin1，結(jié)合0，得滿足條件的，使sin cos 2成立的概率為.答案：16甲、乙兩人在5次綜合測評中成績的莖葉圖如圖所示，其中一個數(shù)字被污損，記甲、乙的平均成績分別為甲，乙，則甲>乙的概率是_解析：設(shè)污損處的數(shù)字為m，由(84858790m99)(8687919294)，得m5，即當(dāng)m5時，甲、乙兩人的平均成績相等m的取值有0,1,2,3，9，共10種可能，其中，當(dāng)m6,7,8,9時，甲>乙，故所求概率為.答案：B組能力小題保分練1(2017·成都模擬)兩位同學(xué)約定下午5：306：00在圖書館見面，且他們5：306：00之間到達的時刻是等可能的，先到的同學(xué)須等待，若15分鐘后還未見面便離開則這兩位同學(xué)能夠見面的概率是()A. B. C. D.解析：選D如圖所示，以5：30作為原點O，建立平面直角坐標系，設(shè)兩位同學(xué)到達的時刻分別為x，y，設(shè)事件A表示兩位同學(xué)能夠見面，所構(gòu)成的區(qū)域為A(x，y)|xy|15，即圖中陰影部分，根據(jù)幾何概型概率計算公式得P(A).2(2017·廣州模擬)四個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著一枚完全相同的硬幣，所有人同時拋出自己的硬幣若硬幣正面朝上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人繼續(xù)坐著那么沒有相鄰的兩個人站起來的概率為()A. B. C. D.解析：選B四個人按順序圍成一桌，同時拋出自己的硬幣拋出的硬幣正面記為0，反面記為1，則總的基本事件為(0,0,0,0)，(0,0,0,1)，(0,0,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,0,0)，(0,1,0,1)，(0,1,1,0)，(0,1,1,1)，(1,0,0,0)，(1,0,0,1)，(1,0,1,0)，(1,0,1,1)，(1,1,0,0)(1,1,0,1)，(1,1,1,0)，(1,1,1,1)，共有16種情況若四個人同時坐著，有1種情況；若三個人坐著，一個人站著，有4種情況；若兩個人坐著，兩個人站著，此時沒有相鄰的兩個人站起來有2種情況所以沒有相鄰的兩個人站起來的情況共有1427種，故所求概率為.3一個樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個公差不為0的等差數(shù)列an，若a38，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是()A13,12 B13,13C12,13 D13,14解析：選B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0)，a38，a1a7a64，即(82d)(84d)64，又d0，所以d2，故樣本數(shù)據(jù)為：4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均數(shù)為13，中位數(shù)為13.4根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：x34567y4.0a5.40.50.5b0.6得到的回歸方程為bxa.若樣本點的中心為(5,0.9)，則當(dāng)x每增加1個單位時，y就()A增加1.4個單位 B減少1.4個單位C增加7.9個單位 D減少7.9個單位解析：選B依題意得，0.9，故ab6.5；又樣本點的中心為(5,0.9)，故0.95ba，聯(lián)立，解得b1.4，a7.9，則1.4x7.9，所以當(dāng)x每增加1個單位時，y就減少1.4個單位5正六邊形ABCDEF的邊長為1，在正六邊形內(nèi)隨機取點M，則使MAB的面積大于的概率為_解析：如圖所示，作出正六邊形ABCDEF，其中心為O，過點O作OGAB，垂足為G，則OG的長為中心O到AB邊的距離易知AOB60°，且OAOB，所以AOB是等邊三角形，所以O(shè)AOBAB1，OGOA·sin 60°1×，即對角線CF上的點到AB的距離都為.設(shè)MAB中AB邊上的高為h，則由SMAB×1×h>，解得h>.所以要使MAB的面積大于，只需滿足h>，即需使M位于CF的上方故由幾何概型得，MAB的面積大于的概率P.答案：6某班運動隊由足球運動員18人、籃球運動員12人、乒乓球運動員6人組成(每人只參加一項)，現(xiàn)從這些運動員中抽取一個容量為n的樣本，若分別采用系統(tǒng)抽樣法和分層抽樣法，則都不用剔除個體；當(dāng)樣本容量為n1時，若采用系統(tǒng)抽樣法，則需要剔除1個個體，那么樣本容量n為_解析：總體容量為6121836.當(dāng)樣本容量為n時，由題意可知，系統(tǒng)抽樣的抽樣距為，分層抽樣的抽樣比是，則采用分層抽樣法抽取的乒乓球運動員人數(shù)為6×，籃球運動員人數(shù)為12×，足球運動員人數(shù)為18×，可知n應(yīng)是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，故n6,12,18.當(dāng)樣本容量為n1時，剔除1個個體，此時總體容量為35，系統(tǒng)抽樣的抽樣距為，因為必須是整數(shù)，所以n只能取6，即樣本容量n為6.答案：6第二講 大題考法概率與統(tǒng)計題型(一)主要考查隨機事件的概率、古典概型、頻率分布直方圖、莖葉圖等的應(yīng)用.概率與用樣本估計總體的交匯問題典例感悟典例1(2016·全國卷)某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)，n表示購機的同時購買的易損零件數(shù)(1)若n19，求y與x的函數(shù)解析式；(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；(3)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件？解(1)當(dāng)x19時，y3 800；當(dāng)x19時，y3 800500(x19)500x5 700，所以y與x的函數(shù)解析式為y(xN)(2)由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19.(3)若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件，則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3 800(元)，20臺的費用為4 300(元)，10臺的費用為4 800(元)，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為(3 800×704 300×204 800×10)4 000(元)若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件，則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4 000(元)，10臺的費用為4 500(元)，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為(4 000×904 500×10)4 050(元)比較兩個平均數(shù)可知，購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個易損零件備課札記 方法技巧解決概率與用樣本估計總體交匯問題的方法演練沖關(guān)1(2017·全國卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率解：(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y6×4504×450900；若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y6×3002(450300)4×450300；若最高氣溫低于20，則Y6×2002(450200)4×450100.所以Y的所有可能值為900,300，100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.題型(二)主要考查線性回歸方程的求解與應(yīng)用.回歸分析與統(tǒng)計的交匯問題 典例感悟典例2(2016·全國卷)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量參考數(shù)據(jù)：i9.32，iyi40.17, 0.55，2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r，回歸方程t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為， .解(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得4，(ti)228, 0.55，(ti)(yi)iyii40.174×9.322.89，所以r0.99.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系(2)由1.331及(1)得0.103. 1.3310.103×40.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為0.920.10t.將2016年對應(yīng)的t9代入回歸方程得0.920.10×91.82.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸備課札記 方法技巧破解回歸分析問題的關(guān)鍵(1)會依據(jù)表格及公式，求線性回歸方程中的參數(shù)的值，注意不要代錯公式；(2)已知變量的某個值去預(yù)測相應(yīng)預(yù)報變量時，只需把該值代入回歸方程x中演練沖關(guān)2(2017·全國卷)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm)下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得i9.97，s0.212, 18.439，(xi)(i8.5)2.78，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i1,2，16.(1)求(xi，i)(i1,2，16)的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|0.25，則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小)(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3s，3s)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查？在(3s，3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標準差(精確到0.01)附：樣本(xi，yi)(i1,2，n)的相關(guān)系數(shù)r，0.09.解：(1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi，i)(i1,2，16)的相關(guān)系數(shù)為r0.18.由于|r|0.25，因此可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小(2)由于9.97，s0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(3s，3s)以外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查剔除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(16×9.979.22)10.02，所以這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02，16×0.212216×9.9721 591.134，剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為(1 591.1349.22215×10.022)0.008，所以這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標準差的估計值為0.09.題型(三)主要考查抽樣、隨機事件、古典概型、頻率分布直方圖的應(yīng)用以及K2的計算與應(yīng)用.獨立性檢驗與概率、統(tǒng)計的交匯問題典例感悟典例3(2017·全國卷)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較K2.解(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.0120.0140.0240.0340.040)×50.62.因此，事件A的概率估計值為0.62.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466根據(jù)表中數(shù)據(jù)及K2的計算公式得，K215.705.由于15.7056.635，故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法備課札記 方法技巧(1)假設(shè)兩個分類變量X與Y無關(guān)系；(2)找相關(guān)數(shù)據(jù)，列出2×2列聯(lián)表；(3)由公式K2(其中nabcd)計算出K2的觀測值；(4)將K2的觀測值與臨界值進行對比，進而得出統(tǒng)計推斷，這些臨界值，在考題中常會附在題后演練沖關(guān)3(2017·長春質(zhì)檢)為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進行調(diào)研，力爭有效地改良玉米品種，為農(nóng)民提供技術(shù)支援現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計，獲得莖葉圖如圖(單位：厘米)，設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米(1)列出2×2列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)？(2)為了改良玉米品種，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從抗倒伏的玉米中抽出5株，再從這5株玉米中選取2株進行雜交試驗，則選取的植株均為矮莖的概率是多少？附：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得2×2列聯(lián)表如下：抗倒伏易倒伏總計矮莖15419高莖101626總計252045由于K2的觀測值k7.287>6.635，因此可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)(2)按照分層抽樣的方法抽到的高莖玉米有2株，設(shè)為A，B，抽到的矮莖玉米有3株，設(shè)為a，b，c，從這5株玉米中取出2株的取法有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種，其中均為矮莖的選取方法有ab，ac，bc，共3種，因此選取的植株均為矮莖的概率是. 概率問題重在“辨”辨析、辨型 循流程思維入題快概率問題的求解關(guān)鍵是辨別它的概率模型，只要找到模型，問題便迎刃而解而概率模型的提取往往需要經(jīng)過觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的辨析思維過程，常常因題設(shè)條件理解不準，某個概念認識不清而誤入歧途另外，還需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對立事件等事件間的關(guān)系，注意放回和不放回試驗的區(qū)別，合理劃分復(fù)合事件按流程解題快又準典例(2016·全國卷)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)012345頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人