專題五三角函數(shù)與解三角形命題觀察·高考定位(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第15頁(yè))1(2017·江蘇高考)若tan，則tan _.法一tan，6tan 61tan (tan 1)，tan .法二tan tan.2(2016·江蘇高考)定義在區(qū)間0,3上的函數(shù)ysin 2x的圖象與ycos x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是_7法一函數(shù)ysin 2x的最小正周期為，ycos x的最小正周期為2，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)在0,3上的圖象，如圖所示通過(guò)觀察圖象可知，在區(qū)間0,3上兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是7.法二聯(lián)立兩曲線方程，得兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程組解的個(gè)數(shù)，也就是方程sin 2xcos x解的個(gè)數(shù)方程可化為2sin xcos xcos x，即cos x(2sin x1)0，cos x0或sin x.當(dāng)cos x0時(shí)，xk，kZ，x0,3，x，共3個(gè)；當(dāng)sin x時(shí)，x0,3，x，共4個(gè)綜上，方程組在0,3上有7個(gè)解，故兩曲線在0,3上有7個(gè)交點(diǎn)3(2016·江蘇高考)在銳角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是_8在銳角三角形ABC中，sin A2sin Bsin C，sin(BC)2sin Bsin C，sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，等號(hào)兩邊同除以cos Bcos C，得tan Btan C2tan Btan C.tan Atan(BC)tan(BC).A，B，C均為銳角，tan Btan C1>0，tan Btan C>1.由得tan Btan C.又由tan Btan C>1得>1，tan A>2.tan Atan Btan C(tan A2)4248，當(dāng)且僅當(dāng)tan A2，即tan A4時(shí)取得等號(hào)故tan Atan Btan C的最小值為8.4(2015·江蘇高考)已知tan 2，tan()，則tan 的值為_(kāi)3tan tan()3.5(2016·江蘇高考)在ABC中，AC6，cos B，C.(1)求AB的長(zhǎng)；(2)求cos的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394028】解(1)因?yàn)閏os B，0<B<，所以sin B.由正弦定理知，所以AB5.(2)在ABC中，ABC，所以A(BC)，于是cos Acos(BC)coscos Bcos sin Bsin .又cos B，sin B，故cos A××.因?yàn)?<A<，所以sin A.因此，coscos Acos sin Asin ××.6(2017·江蘇高考)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)記f (x)a·b，求f (x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值解(1)因?yàn)閍(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，則sin x0，與sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f (x)a·b(cos x，sin x)·(3，)3cos xsin x2cos.因?yàn)閤0，所以x，從而1cos.于是，當(dāng)x，即x0時(shí)，f (x)取到最大值3；當(dāng)x，即x時(shí)，f (x)取到最小值2.命題規(guī)律(1)高考對(duì)三角函數(shù)圖象的考查主要包括三個(gè)方面：一是用五點(diǎn)法作圖，二是圖象變換，三是已知圖象求解析式或求解析式中的參數(shù)的值，常以填空題的形式考查(2)高考對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的考查是重點(diǎn)，以解答題為主，考查yAsin(x)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性以及最值等，常與平面向量、三角形結(jié)合進(jìn)行綜合考查，試題難度屬中低檔(3)三角恒等變換包括三角函數(shù)的概念，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的關(guān)系，和、差角公式和二倍角公式，要抓住這些公式間的內(nèi)在聯(lián)系，做到熟練應(yīng)用，解三角形既是對(duì)三角函數(shù)的延伸又是三角函數(shù)的主要應(yīng)用，因此，在一套高考試卷中，既有填空題，還有解答題，總分占20分左右預(yù)測(cè)2018年高考中，熱點(diǎn)是解答題，可能是三角函數(shù)恒等變換與解三角形綜合，平面向量、三角函數(shù)與解三角形綜合主干整合·歸納拓展(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第16頁(yè))第1步 核心知識(shí)再整合1三角函數(shù)的定義設(shè)是一個(gè)任意大小的角，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sin y，cos x，tan (x0)2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)sin2 cos21.(2)tan .3巧記六組誘導(dǎo)公式對(duì)于“±，kZ的三角函數(shù)值”與“角的三角函數(shù)值”的關(guān)系可按下面口訣記憶：奇變偶不變，符號(hào)看象限4辨明常用三種函數(shù)的易誤性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象單調(diào)性在(kZ)上單調(diào)遞增；在(kZ)上單調(diào)遞減在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減在(kZ)上單調(diào)遞增對(duì)稱性對(duì)稱中心：(k，0)(kZ)；對(duì)稱軸：xk(kZ) 對(duì)稱中心：(kZ)；對(duì)稱軸：xk(kZ)對(duì)稱中心：(kZ)5.識(shí)破三角函數(shù)的兩種常見(jiàn)變換6“死記”兩組三角公式(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：sin(±)sin cos ±cos sin .cos(±)cos cos sin sin .tan(±).(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin 22sin cos .cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.7“熟記”兩個(gè)定理(1)正弦定理：2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C.(2)余弦定理：a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推論：cos A，cos B，cos C.變形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.第2步 高頻考點(diǎn)細(xì)突破三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例1】(泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x,6)，且cos ，則x的值為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394029】解析因?yàn)閞，所以，解之得x8.答案8【例2】(江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次月考)已知3sin 4cos 5，則tan _.解析3sin 4cos 5，5sin()5，sin()1，2k(kZ)，tan tan.答案規(guī)律方法(1)利用三角函數(shù)定義將角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)和三角函數(shù)值建立了聯(lián)系，但是注意角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸(2)將齊次式用tan 表示注意角的變換舉一反三(江蘇省揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期末)已知cos，則sin()_.0，又cos，sin，sin()sin sinsincos cossin ××.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例3】(泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)已知函數(shù)f (x)Asin的部分圖象如圖51所示，P，Q 分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，A)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,0)若PRQ，則yf (x)的最大值是_圖51解析由題設(shè)可知T12，則P(2，A)，R(2,0)，Q(8，A)，所以PRA，PQ，RQ，由余弦定理可得4A236A2A2362Acos 120°，解之得A2.答案2【例4】(泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)函數(shù)f (x)sin xcos x (x0)的單調(diào)增區(qū)間是_解析因?yàn)閒 (x)sin xcos x2sin，所以增區(qū)間為2kx2k(kZ)，即2kx2k，取k0可得x，又x0，故x0.答案【例5】(江蘇省蘇州市2017屆高三上學(xué)期期中)已知函數(shù)f (x)sin(0)，將函數(shù)yf (x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象與原函數(shù)圖象重合，則的最小值等于_解析函數(shù)ysin的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，n×，nZ，3n，nZ，又0，故其最小值是3.答案3規(guī)律方法(1)求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三角函數(shù)的奇偶性，往往是在其定義域內(nèi)，先化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，盡量化為yAsin(x)B的形式，然后再求解(2)對(duì)于形為yasin xbcos x型的三角函數(shù)，要通過(guò)引入輔助角化為ysin(x)(cos ，sin )的形式來(lái)求(3)對(duì)于yAsin(x)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一般將化為大于0的值舉一反三1(江蘇省如東高級(jí)中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研)如圖52所示為函數(shù)f (x)Asin(x)的部分圖象，現(xiàn)將函數(shù)yf (x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)yg(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的解析式為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394030】圖52sin因?yàn)門(mén)，所以T，故2，又A1，sin1，即，也即，所以f (x)sin，向右平移個(gè)單位后得g(x)sinsin.2(江蘇省南京市、鹽城市2017屆高三第一次模擬)將函數(shù)y3sin的圖象向右平移個(gè)單位后，所得函數(shù)為偶函數(shù)，則_.由題意得y3sin為偶函數(shù)，所以2k(kZ)，又0，所以.三角恒等變換和解三角形【例6】(江蘇省南通中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)在ABC中，BC1，B，ABC的面積S，則邊AC等于_解析由三角形面積公式得BC·BA·sin B·1·BA·sin BA4，由余弦定理得AC2AB2BC22AB·BC·cos B1612×1×4×13，AC.答案【例7】(20162017學(xué)年度江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試)已知函數(shù) f (x)2sin·cos x.(1)若0x，求函數(shù)f (x)的值域；(2)設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A為銳角且f (A)，b2，c3，求cos(AB)的值解(1)f (x)cos xsin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin，由0x得，2x，sin1，0sin1，即函數(shù)f (x)的值域?yàn)?(2)由f (A)sin得sin0，又由0A，2A，2A，A，在ABC中，由余弦定理a2b2c22bccos A7，得a，由正弦定理，得sin B，ba，BA，cos B，cos(AB)cos Acos Bsin Asin B××.規(guī)律方法(1)在三角形中考查三角函數(shù)式的變換， 是近幾年高考的熱點(diǎn)這種題是在新的載體上進(jìn)行的三角變換，因此要時(shí)刻注意它的兩重性：其一，作為三角形問(wèn)題，它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，應(yīng)及時(shí)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路；其二，注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，是使問(wèn)題獲得解決的突破口(2)在解三角形時(shí)，三角形內(nèi)角的余弦值為正，該角一定為銳角，且有唯一解，因此，在解三角形中，若有求角問(wèn)題，應(yīng)盡量求余弦值舉一反三(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測(cè)試)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bcos Cccos B2acos A.(1)求A的大?。?2)若·，求ABC的面積解法一在ABC中，由正弦定理，及bcos Cccos B2acos A，得sin Bcos Csin Ccos B2sin Acos A，即sin A2sin Acos A，因?yàn)锳(0，)，所以sin A0，所以cos A，所以A.法二在ABC中，由余弦定理，及bcos Cccos B2acos A，得b·c·2a·，所以a2b2c2bc，所以cos A，因?yàn)锳(0，)，所以A.(2)由·cbcos A，得bc2，所以ABC的面積為Sbcsin A×2sin 60°.解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用【例8】(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學(xué)期期中)某城市有一直角梯形綠地ABCD，其中ABCBAD90°，ADDC2 km，BC1 km.現(xiàn)過(guò)邊界CD上的點(diǎn)E處鋪設(shè)一條直的灌溉水管EF，將綠地分成面積相等的兩部分圖53圖54(1)如圖53，若E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)在邊界AB上，求灌溉水管EF的長(zhǎng)度；(2)如圖54，若F在邊界AD上，求灌溉水管EF的最短長(zhǎng)度. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394031】解(1)因?yàn)锳DDC2，BC1，ABCBAD90°，所以AB，取AB中點(diǎn)G，則四邊形BCEF的面積為S梯形ABCDS梯形BCEGSEFG，即××(12)×GF×，解得GF，所以EF(km)故灌溉水管EF的長(zhǎng)度為km.(2)設(shè)DEa，DFb，在ABC中，CA2，所以在ADC中，ADDCCA2，所以ADC60°，所以DEF的面積為SDEFabsin 60°ab，又S梯形ABCD，所以ab，即ab3.在DEF中，由余弦定理，得EF，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取“”故灌溉水管EF的最短長(zhǎng)度為 km.規(guī)律方法將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型，利用正弦定理、余弦定理、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)求解舉一反三 (江蘇省揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期末)如圖55，矩形ABCD是一個(gè)歷史文物展覽廳的俯視圖，點(diǎn)E在AB上，在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物，DE是玻璃幕墻，游客只能在ADE區(qū)域內(nèi)參觀，在AE上點(diǎn)P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控?cái)z像頭，MPN為監(jiān)控角，其中M、N在線段DE(含端點(diǎn))上，且點(diǎn)M在點(diǎn)N的右下方，經(jīng)測(cè)量得知：AD6米，AE6米，AP2米，MPN，記EPM(弧度)，監(jiān)控?cái)z像頭的可視區(qū)域PMN的面積為S平方米圖55(1)求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出的取值范圍；(參考數(shù)據(jù)：tan 3)(2)求S的最小值解(1)在PME中，EPM，PE4米，PEM，PME，由正弦定理可得PM，同理，在PNE中，PN，SPMNPM·PN·sinMPN，M與E重合時(shí)，0，N與D重合時(shí)，tanAPD3，即，0，綜上所述，SPMN，0；(2)當(dāng)2即時(shí)，S取得最小值8(1)平方米第3步 高考易錯(cuò)明辨析1忽視函數(shù)的定義域出錯(cuò)已知函數(shù)f (x)sin6sin xcos x2cos2x1，xR.(1)求f (x)的最小正周期；(2)求f (x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 錯(cuò)解(1)f (x)sin 2x·cos cos 2x·sin 3sin 2xcos 2x f (x)2sin 2x2cos 2x2sin，所以f (x)的最小正周期為T(mén).(2)因?yàn)檎液瘮?shù)ysin x(xR)的值域?yàn)?,1，所以f (x)2sin的值域?yàn)?，故函?shù)f (x)的最大值為2，最小值為2.正解(1)f (x)sin 2x·cos cos 2x·sin 3sin 2xcos 2xf (x)2sin 2x2cos 2x2sin，所以f (x)的最小正周期為T(mén).(2)因?yàn)閒 (x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，又f (0)2，f 2，f 2，故函數(shù)f (x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為2.2忽視邊長(zhǎng)的固有范圍在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cos C(cos Asin A)cos B0.(1)求角B的大??；(2)若ac1，求b的取值范圍錯(cuò)解(1)cos(AB)(cos Asin A)cos B0，sin Asin Bsin Acos B0，sin A(sin Bcos B)0，sin Bcos B0，即2sin0，B .(2)在三角形ABC中，由余弦定理得b2a2c22accos (ac)23ac(ac)232.b.正解(1)cos(AB)(cos Asin A)cos B0，sin Asin Bsin Acos B0，sin A(sin Bcos B)0，sin Bcos B0，即2sin0，B.(2)在三角形ABC中，由余弦定理得b2a2c22accos (ac)23ac(ac)232.b.bac1，b1.專家預(yù)測(cè)·鞏固提升(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第20頁(yè))1若函數(shù)f (x)3|cos x|cos xm, x(0, 2)有兩個(gè)互異零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_(4，20令g(x)3|cos x|cos x在坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)g(x)圖象，如圖所示：由其圖象可知當(dāng)直線ym，m(4，20，g(x)3|cos x|cos x，x(0,2)的圖象與直線ym有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)2已知函數(shù)f (x)2sin xcos x2sin2x，將yf (x)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象，若函數(shù)yg(x)在a，b上至少含有1 012個(gè)零點(diǎn)，則ba的最小值為_(kāi) 由已知得，f (x)2sin xcos x2sin2xsin 2xcos 2x2sin，則g(x)2sin12sin 2x1，若函數(shù)yg(x)在a，b上至少含有1 012個(gè)零點(diǎn)，則ba的最小值為506.3已知三個(gè)向量m，n，p共線，其中a，b，c，A，B，C分別是ABC的三條邊及相對(duì)的三個(gè)角，則ABC的形狀是_等邊三角形在三角形中，cos ，cos ，cos 均不為0，故由題意可得：.由正弦定理得：sin sin sin ，即ABC，所以ABC為等邊三角形4如圖56，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，延長(zhǎng)BA至E，使AE1，連接EC，ED則sinCED_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394032】圖56連接AC，四邊形ABCD是正方形，BAC45°，DAEDAB90°，ADAE1，AEDADE45°，即DEACAB45°，ACED，CEDECA，作EFCA，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AE1，由勾股定理得：EFAF，在RtEBC中，由勾股定理得：CE21222 5，CE，sin CEDsinECF.17