3 1問(wèn)題的提出函數(shù)解析式未知 通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)得到的一組數(shù)據(jù) 即在某個(gè)區(qū)間 a b 上給出一系列點(diǎn)的函數(shù)值yi f xi 第三章曲線擬合的最小二乘法 3 2 曲線擬合的最小二乘法數(shù)據(jù)含有誤差 節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值是由實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到的數(shù)據(jù) 不可避免地帶有測(cè)量誤差 如果要求所得的近似函數(shù)曲線精確無(wú)誤地通過(guò)所有的點(diǎn) xi yi 就會(huì)使曲線保留著一切測(cè)試誤差 當(dāng)個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差較大時(shí) 插值效果顯然是不理想的 數(shù)據(jù)量很大 由實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)提供的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)往往很多 如果用插值法 勢(shì)必得到次數(shù)較高的插值多項(xiàng)式 這樣是不可行的 為此 我們希望從給定的數(shù)據(jù) xi yi 出發(fā) 構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù) 不要求函數(shù)完全通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn) 只要求所得的近似曲線能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢(shì) 如圖3 1所示 圖3 1曲線擬合示意圖 曲線擬合 求一條曲線 使數(shù)據(jù)點(diǎn)均在離此曲線的上方或下方不遠(yuǎn)處 所求的曲線稱為擬合曲線 它既能反映數(shù)據(jù)的總體分布 又不至于出現(xiàn)局部較大的波動(dòng) 更能反映被逼近函數(shù)的特性 使求得的逼近函數(shù)與已知函數(shù)從總體上來(lái)說(shuō)其偏差按某種方法度量達(dá)到最小 與函數(shù)插值問(wèn)題不同 曲線擬合不要求曲線通過(guò)所有已知點(diǎn) 而是要求得到的近似函數(shù)能反映數(shù)據(jù)的基本關(guān)系 在某種意義上 曲線擬合更有實(shí)用價(jià)值 函數(shù)插值是插值函數(shù)P x 與被插函數(shù)f x 在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值相同 即而曲線擬合函數(shù)不要求嚴(yán)格地通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn) 也就是說(shuō)擬合函數(shù)在xi處的偏差 亦稱殘差 不都嚴(yán)格地等于零 但是 為了使近似曲線能盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì) 要求按某種度量標(biāo)準(zhǔn)最小 若記向量 即要求向量的某種范數(shù)最小 如的1 范數(shù)或 范數(shù)即 或 最小 為了便于計(jì)算 分析與應(yīng)用 通常要求的2 范數(shù) 即 為最小 這種要求誤差 偏差 平方和最小的擬合稱為曲線擬合的最小二乘法 一般曲線擬合的最小二乘法的求法 例1設(shè)有某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下 12341 361 371 952 2814 09416 84418 47520 963 用最小二乘法求以上數(shù)據(jù)的擬合函數(shù) 解 把表中所給數(shù)據(jù)畫在坐標(biāo)紙上 將會(huì)看到數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布可以用一條直線來(lái)近似地描述 故設(shè)擬合直線為記x1 1 36 x2 1 37 x3 1 95x4 2 28 y1 14 094 y2 16 844 y3 18 475 y4 20 963則正規(guī)方程組為 其中 將以上數(shù)據(jù)代入上式正規(guī)方程組 得 解得 即得擬合直線 例2設(shè)某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下 123456012345521123 用最小二乘法求一個(gè)多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù) 解 將已給數(shù)據(jù)點(diǎn)描在坐標(biāo)系中 可以看出這些點(diǎn)接近一條拋物線 因此設(shè)所求的多項(xiàng)式為 由法方程組 經(jīng)計(jì)算得 m 6 其法方程組為 解之得 所求的多項(xiàng)式為 4 可化為線性擬合的非線性擬合對(duì)于一個(gè)實(shí)際的曲線擬合問(wèn)題 一般先按觀測(cè)值在直角坐標(biāo)平面上描出散點(diǎn)圖 看一看散點(diǎn)的分布同哪類曲線圖形接近 然后選用合適的擬合函數(shù) 非線性擬合函數(shù)可以通過(guò)變量替換轉(zhuǎn)化為線性擬合問(wèn)題 按線性擬合解出后再還原為原變量所表示的曲線擬合方程 表3 4列舉了幾類經(jīng)適當(dāng)變換后化為線性擬合求解的曲線擬合方程及變換關(guān)系 表3 4 曲線擬合方程變換關(guān)系變換后線性擬合方程 幾種常見(jiàn)的數(shù)據(jù)擬合情況 圖 a 數(shù)據(jù)接近于直線 故宜采用線性函數(shù)擬合 圖 b 數(shù)據(jù)分布接近于拋物線可采擬合二次多項(xiàng)式擬合 a b 圖 c 開始曲線上升較快隨后逐漸變慢 宜采用雙曲線型函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)圖 d 開始曲線下降快 隨后逐漸變慢 宜采用或或等數(shù)據(jù)擬合 c d 例3設(shè)某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下 12345600 511 522 52 01 00 90 60 40 3 用最小二乘法求擬合曲線 解 將已給數(shù)據(jù)點(diǎn)描在坐標(biāo)系中下圖所示 可以看出這些點(diǎn)接近指數(shù)曲線 因而可取指數(shù)函數(shù)作為擬合函數(shù) 對(duì)函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)得 令就得到線性模型 則正規(guī)方程組為 其中 將以上數(shù)據(jù)代入上式正規(guī)方程組 得 解得 由得 由得 于是得到擬合指數(shù)函數(shù)為 小結(jié) 插值法和曲線擬合的最小二乘法都是實(shí)用性很強(qiáng)的方法 它們解決的實(shí)際問(wèn)題雖然各式各樣 但抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題卻有它的共性 即利用已知的數(shù)據(jù)去尋求某個(gè)較為簡(jiǎn)單的函數(shù)P x 來(lái)逼近f x 插值法和曲線擬合的最小二乘法分別給出了尋求這種近似函數(shù)的兩類不同的原則 以及構(gòu)造近似函數(shù)的幾種具體方法 其中插值法要求近似函數(shù)在已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)必須與f x 完全一致 曲線擬合法不要求點(diǎn)點(diǎn)一致而只須滿足一定的整體逼近條件 插值法中的拉格朗日插值多項(xiàng)式是研究數(shù)值微積分與微分方程數(shù)值解的重要工具 牛頓插值多項(xiàng)式是拉格朗日插值多項(xiàng)式的變形 具有承襲性 比拉格朗日插值多項(xiàng)式節(jié)省計(jì)算量 分段低次多項(xiàng)式插值由于具有良好的穩(wěn)定性與收斂性 且算法簡(jiǎn)單 便于應(yīng)用 特別是應(yīng)用廣泛的三次樣條插值 不但有較好的穩(wěn)定性和收斂性 而且具有較好的光滑性 從而滿足了許多實(shí)際問(wèn)題的要求 需對(duì)樣條函數(shù)作進(jìn)一步了解的讀者可參閱有關(guān)文獻(xiàn) 曲線擬合的最小二乘法是處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的常用方法 本章主要介紹了最小二乘法的基本原理和線性最小二乘問(wèn)題的求解方法 多項(xiàng)式擬合是線性最小二乘擬合問(wèn)題的一種特殊情況 其特點(diǎn)是擬合多項(xiàng)式形式簡(jiǎn)單 但當(dāng)n較大時(shí) 法方程組往往是病態(tài)的 用正交多項(xiàng)式進(jìn)行曲線擬合 避免了法方程組病態(tài)所造成的麻煩 關(guān)于非線性最小二乘曲線擬合問(wèn)題 一般求解比較困難 但對(duì)一些特殊情形 可以轉(zhuǎn)換為線性最小二乘擬合問(wèn)題 作業(yè)P89習(xí)題三 1 Thankyouverymuch