差分方程對連續(xù)型變量而言，我們常常導(dǎo)致到微分方程的問題. 對離散型變量將導(dǎo)致另一類的問題.一、差分的定義 定義 設(shè)是一個(gè)函數(shù), 自變量從x變化到x+1, 這時(shí)函數(shù)的增量記為, 我們趁這個(gè)量為在點(diǎn)x步長為1的一階差分,簡稱為的一階差分. 為了方便我們也記,即 .稱為二階差分,簡記為.同樣記為,并稱為三階差分.一般記,稱為n階差分.且有.性質(zhì): 當(dāng)a,b,C是常數(shù), yx和zx 是函數(shù)時(shí),(1) (C)=0;(2) (Cyx)= C(yx);(3) (ayx+ b zx)= ayx+ b zx ;(4) (yx zx)= zx+1yx+yx zx = yx+1zx+zx yx;(5) .例已知求(yx). 解 (yx)= .特別, 當(dāng)n為正整數(shù)時(shí), (yx)= , 階數(shù)降了一階.推論 若m, ,n為正整數(shù)時(shí), m,> n P(x)為n次多項(xiàng)式,則.例已知求(yx).解 (yx)= .二、差分方程定義 設(shè)是含有未知函數(shù)差分的等式，稱為差分方程。 它的一般形式為或，其中F, G是表達(dá)式，x是自變量. 使等式成立自變量的取值范圍稱為該方程的定義域. 的方程，也稱為n階差分方程. n為方程的階. 形如 （14-7-1）稱為n階線性差分方程. 時(shí)為齊次的. 為非齊次的.差分方程是含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程, 滿足該方程的函數(shù)稱為差分方程的解對于一階差分方程來說，它的含有一個(gè)任意常數(shù)的解，稱為此微分方程的通解一般來說，對于n階差分方程，其含有n個(gè)互相獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為差分方程的通解不含有任意常數(shù)的解稱為差分方程的特解同微分方程一樣椰油初值問題. 初值條件也有如下情形: 一階的如: .二階的如: ,等等.對于線性差分方程的解的結(jié)構(gòu)有如下結(jié)論.定理 如果和都是方程（14-7-1）的解，則對任意常數(shù)C1, C2, 也是方程（14-7-1）的解定理 設(shè) ，是的n個(gè)線性無關(guān)的特解，則是它的通解.定理 設(shè) ，是齊次方程的n個(gè)線性無關(guān)的特解，是非齊次方程的一個(gè)特解,則是非齊次方程的通解.定理 設(shè)，是方程 的解，是方程 的解,則是方程的解. 本書著重研究一階和二階常系數(shù)的差分方程. 三、一階常系數(shù)的差分方程 一階常系數(shù)的差分方程是 (常數(shù)p0).（a）當(dāng)，設(shè)是其齊次方程的解, 即 ,所以 r=p . 那么有通解(C為任意常數(shù))例 求差分方程的通解.解 事實(shí)上原方程是所以其通解為 (C為任意常數(shù)).（b）當(dāng)，用待定系數(shù)法求其特解. (i) 如果(n次多項(xiàng)式),則非齊次方程為 .若 p=1, 即 , 那么可以是n+1次多項(xiàng)式.,相減時(shí)常數(shù)項(xiàng)和最高次數(shù)相被消去, 所以可以設(shè), 代入方程后,比較系數(shù)確定便得到一個(gè)特解.若 p1, 最高次數(shù)相不可能被消去, 所以可以設(shè)有特解, 同樣代入方程后,比較系數(shù)確定便得到一個(gè)特解.(ii) 如果(是n次多項(xiàng)式,是常數(shù)),則非齊次方程為 .為了求之一個(gè)特解,分兩步: 第一步, 令 ,代入方程得 ,它等價(jià)于. 第二步, 用(i)的方法.總之,對這種情況,可以直接設(shè)其特解為,其中當(dāng)p時(shí), s=0 , 當(dāng)p=時(shí), s=1 . 例 求差分方程 的通解.解 顯然其齊次方程的通解為(C為任意常數(shù)). 設(shè)其特解為, 所以有, 從而得b=-7.因此,原方程的通解為.四、二階常系數(shù)的差分方程 這里討論的是這樣的方程: (p ,q是常數(shù)). 先給結(jié)論 .定理 是方程 (16-7-2)的解的充分必要條件r為方程 (16-7-3)的根 (讀者自己證明). (16-7-3)稱為原方程的特征方程. 下面分步討論.（a）當(dāng)，如果 , 即其特征方程有兩個(gè)不同實(shí)根,記為. 注意到是線性無關(guān)的, 所以(16-7-2)有通解, (是任意常數(shù)). 如果, 即其特征方程有兩個(gè)相同實(shí)根,記為.,可以驗(yàn)證是(16-7-2)的線性無關(guān)的特解. 所以(是任意常數(shù))是(16-7-2)的通解. 如果 ,因 p, q是實(shí)數(shù), 即其特征方程有兩互為共軛的復(fù)根, 記為,記為 . 可以驗(yàn)證是(16-7-2)的線性無關(guān)的特解. 所以(是任意常數(shù))是(16-7-2)的通解 .例 求的通解.解 其特征方程, 有根 -1, -3 . 原方程有通解 (是任意常數(shù)) 例 求的通解. 解 其特征方程, 有根 -2i, 2i . 原方程有通解, (是任意常數(shù)). （a）當(dāng)，同一階相似,只要求其一個(gè)特解即可. (i) 如果(n次多項(xiàng)式),注意到可以寫成 .若, 令特解為.若,令特解為.若,令特解為.將特解代入原方程,再比較系數(shù)確定便得到一個(gè)特解. 例 求的通解.解 前例已知其齊次的通解,故只需求一個(gè)特解.令,代入的,所以它的通解為, (是任意常數(shù)).(ii) 如果(是n次多項(xiàng)式,是常數(shù)),則非齊次方程為 .可以直接設(shè)其特解為,其中當(dāng)不是其特征方程的根時(shí), s=0 , 當(dāng)是其特征方程的單根時(shí), s=1 ; 當(dāng)是其特征方程的重根時(shí), s=2. 例 求的通解.解 令, , 所以, 所以其通解, (是任意常數(shù)).習(xí)題 14-71求下列函數(shù)的一階和二階差分 1）； 2）； 3）； 4）； 5）。2求下列差分方程的特解 1）； 2）； 3）； 4）；3求下列差分方程的通解 1）； 2）； 3）； 4）； 4求下列差分方程的通解和特解 1）； ；2）；3）； 4）；.