2014年秋季數(shù)學(xué)分析選論在線作業(yè)1. 計(jì)算, 其中是圓周, ，若從軸正向看出，L是沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)行.解： 平面的法線方向單位向量為，圍成方程為 依斯托克斯公式得，=.2. 試論下列函數(shù)在指定點(diǎn)的重極限，累次極限（1） , ；（2） .解： (1) 注意到 , ， 故兩個(gè)累次極限均為0，但是, 所以重極限不存在.(2) 注意到 , , 故兩個(gè)累次極限不存在. 此外，因?yàn)?， 所以.3. 設(shè)是由方程，求.解： 方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，有, 因而 . 方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，有 ,因而 . 故 .4. 計(jì)算, 其中為由平面, , , , 與所圍成.解： 在平面上的投影區(qū)域?yàn)? 于是5. 設(shè) 是某可微函數(shù)的全微分，求的值.解： 不妨設(shè)該可微函數(shù)為，則按定義可得 ，由此知. 從而又得 .聯(lián)系到上面第一式，有 或 ,從而 .6. 求曲面被柱面與平面所割下部分的面積.解： 曲面方程表示為 , , , 于是所求面積S=7. 計(jì)算，其中為以，為頂點(diǎn)的正方形封閉圍線.解： 段：直線方程 ，.段：直線方程 ，.段：直線方程 ，段：直線方程 ，于是有， =0 .8. 求曲面被平面截下部分之曲面面積S.解： 由得 ，從而 。注意到該曲面上的點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱，且其上半部分在平面上的投影為區(qū)域，從而有 .9. 求, 其中是點(diǎn)A(2,0)到點(diǎn)O(0,0)的上半圓周.解： 用軸上直線段, 使上半圓周和直線段構(gòu)成封閉曲線. 設(shè), .有.于是,由格林公式知=.其中在直線段上, 有, , 則.因此 10. 試討論函數(shù) 在處的可微性.解： 因?yàn)? 所以, ,其中 , ， 由此知在處可微.11. 求, 其中S是邊長(zhǎng)為的正方體的外側(cè).解： 利用高斯公式, 得12. 計(jì)算，其中為四分之一的邊界，依逆時(shí)針?lè)较?解： 設(shè)，則 原式 13. 設(shè)由方程 所確定，試求.解： 對(duì)原方程取對(duì)數(shù)，得，并該式兩端對(duì)求導(dǎo)，有，即 ，再對(duì)上式兩端對(duì)求導(dǎo)，得 .14求表面積為, 而體積最大的長(zhǎng)方體的體積.解： 設(shè)長(zhǎng)，寬，高分別為，則問(wèn)題變?yōu)榍蠛瘮?shù) 的最大值，聯(lián)系方程為 . 設(shè)輔助函數(shù)為，則有解方程組得到，因而最大體積為.15求橢圓面在處的切平面方程與法線方程.解： 設(shè). 由于在全空間上處處連續(xù), 在處 于是, 得切平面方程為,即 .法線方程為 16. 設(shè), 求.解： 方程組兩邊對(duì)求偏導(dǎo)得到 , 因此有，。方程組兩邊對(duì)求偏導(dǎo)得到, 因此 17. 設(shè) , 而 , . 求, . 和解： 由于 , , , , 于是, .18. 設(shè) . 求 , .解： 這里是以和 為自變量的復(fù)合函數(shù), 它可寫成如下形式, , . 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知.于是 , 19. 變換為球面坐標(biāo)計(jì)算積分 .解：積分區(qū)域變換為球面坐標(biāo)為 .于是, =20. 設(shè)函數(shù)連續(xù)，,其中，求和 .解： 因?yàn)閰^(qū)域?yàn)橹鶢顓^(qū)域，被積函數(shù)中第二項(xiàng)為，所以用柱坐標(biāo)法比較方便 .于是, . 利用洛必達(dá)法則, 有.21. 解答下列問(wèn)題（1）設(shè) 是光滑弧上的連續(xù)函數(shù)，長(zhǎng)度記為，則， ， (2) 設(shè)， ， 則，（3）設(shè)是曲線 上從到之線段，證明: .解： (1) 注意到柯西不等式， 。（2）由于 ， ，可知 . 采用極坐標(biāo)，可得.由此知 , 利用題（1），有 ， （3）因?yàn)?，所以 ， 。 .將曲線用參數(shù)式表示，即令 ， ，且取順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，可?2. 計(jì)算 ， 其中 S是由曲面與平面所圍成立體表面的外側(cè).解： 曲面S1取負(fù)側(cè)，而投影區(qū)域?yàn)镈1：，于是應(yīng)用極坐標(biāo)可得，曲面S2取正側(cè)，而投影區(qū)域?yàn)镈2：2，于是應(yīng)用極坐標(biāo)可得，于是, .23. 討論下列函數(shù)的連續(xù)性（1）（2）解： （1）注意到 ， 有因此,，即 在（0，0）處連續(xù).（2）注意到 , 故在（0，0）處不連續(xù).24. 計(jì)算曲面積分, 其中為圓錐面被曲面所割下的部分.解： 對(duì)于圓錐面，則 ，在平面上投影區(qū)域?yàn)椋?，于?25. 設(shè)是由直線 和 圍成, 試求 的值.解： 先對(duì)積分后對(duì)積分 .由分部積分法, 知 26. 設(shè)是上的正值連續(xù)函數(shù)，試證，其中是 ，.證明： 由于對(duì)上面區(qū)域變換積分變量記號(hào)時(shí)，積分區(qū)域不變，因此27. 設(shè)在上可微函數(shù)滿足+，試證：在極坐標(biāo)系里只是的函數(shù).證： 對(duì)于復(fù)合函數(shù) ，, 由于 ， =+，因此當(dāng)時(shí)，與無(wú)關(guān)，即在極坐標(biāo)系里只是的函數(shù).28. 證明： 方程所確定的隱函數(shù) 滿足.證明： 對(duì)方程兩邊分別對(duì)和求偏導(dǎo)數(shù)，有，分別解得 ，于是，得到 29. 設(shè) 證明：不存在.證明： 注意到,它隨而異，因此不存在.30. 設(shè) 證明:.證明： 對(duì) 由于 可知當(dāng)時(shí),便有 . 故