（十六）數(shù)學(xué)分析2考試題一、 單項(xiàng)選擇題（從給出的四個(gè)答案中，選出一個(gè)最恰當(dāng)?shù)拇鸢柑钊肜ㄌ?hào)內(nèi)，每小題2分，共20分）1、 函數(shù)在a,b上可積的必要條件是（ ）A連續(xù) B有界 C 無間斷點(diǎn) D有原函數(shù)2、函數(shù)是奇函數(shù)，且在-a,a上可積，則（ ）A BC D3、 下列廣義積分中，收斂的積分是（ ）A B C D 4、級(jí)數(shù)收斂是部分和有界且的（ ）A 充分條件 B必要條件 C充分必要條件 D 無關(guān)條件5、下列說法正確的是（ ）A 和收斂，也收斂 B 和發(fā)散，發(fā)散 C 收斂和發(fā)散，發(fā)散 D收斂和發(fā)散，發(fā)散6、在a，b收斂于a（x），且an（x）可導(dǎo)，則（ ） A B a（x）可導(dǎo)C D 一致收斂，則a（x）必連續(xù)7、下列命題正確的是（ ）A在a，b絕對(duì)收斂必一致收斂B在a，b 一致收斂必絕對(duì)收斂C 若，則在a，b必絕對(duì)收斂D在a，b 條件收斂必收斂8、的和函數(shù)為A B C D9、函數(shù)的定義域是（ ）A BC D 10、函數(shù)f(x,y)在（x0,y0）偏可導(dǎo)與可微的關(guān)系（ ）A可導(dǎo)必可微 B可導(dǎo)必不可微C可微必可導(dǎo) D 可微不一定可導(dǎo)二、計(jì)算題：（每小題6分，共30分）1、，求2、計(jì)算 3、計(jì)算的和函數(shù)并求4、設(shè)，求5、求三、討論與驗(yàn)證題：（每小題10分，共20分）1、 討論在（0，0）點(diǎn)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)2、 討論的斂散性四、證明題：（每小題10分，共30分）1、設(shè)在a，b上Riemann可積，證明函數(shù)列在a，b上一致收斂于02、設(shè)，證明它滿足方程3、 設(shè)在a，b連續(xù)，證明，并求參考答案一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C二、1、（3分）令，（3分）2、=（6分）3、解：令=，由于級(jí)數(shù)的收斂域（2分），=，=（2分），令，得4、解：兩邊對(duì)x求導(dǎo)（3分）（2分）（1分）5、解：（5分）（1分）由于x=-2，x=2時(shí)，級(jí)數(shù)均不收斂，所以收斂域?yàn)椋?2，2）（3分）三、1、解、（2分）(4分）（6分）2、解：由于（3分），即級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂條件收斂，級(jí)數(shù)發(fā)散（7分）所以原級(jí)數(shù)發(fā)散（2分）四、證明題（每小題10分，共20分）1、證明：因?yàn)樵赼，b上可積，故在a，b上有界，即，使得，（3分）從而一般來說，若對(duì)有（5分）則，所以在a，b上一致收斂于0（2分）（2）（4分）將式（2）代入（1）得證（2分）2、 ，（7分）則（3分）3、 證明：令得證（7分）（3分）（十七）數(shù)學(xué)分析2考試題二、 單項(xiàng)選擇題（從給出的四個(gè)答案中，選出一個(gè)最恰當(dāng)?shù)拇鸢柑钊肜ㄌ?hào)內(nèi)，每小題2分，共20分）1、 函數(shù)在 a,b 上可積的充要條件是（ ）A "e>0,$ s>0和d>0使得對(duì)任一分法D，當(dāng)l（D）<d時(shí)，對(duì)應(yīng)于wie的那些區(qū)間Dxi長度之和Dxi< sB "e>0,s>0, d>0使得對(duì)某一分法D，當(dāng)l（D）<d時(shí)，對(duì)應(yīng)于wie的那些區(qū)間Dxi長度之和Dxi< s C "e>0,$d>0使得對(duì)任一分法D，當(dāng)l（D）<d時(shí)，對(duì)應(yīng)于wie的那些區(qū)間Dxi長度之和Dxi< eD "e>0, s>0，$ d>0使得對(duì)任一分法D，當(dāng)l（D）<d時(shí)，對(duì)應(yīng)于wie的那些區(qū)間Dxi長度之和Dxi< s2、函數(shù)連續(xù)，則在a,b上=（ ）A B C D 4、 （ ） A -2 B 2 C 0 D 發(fā)散4、，則( )A 必收斂 B必發(fā)散 C必條件收斂 D 斂散性不定5、若級(jí)數(shù)是更序級(jí)數(shù)，則（ ）A 和同斂散 B 可以發(fā)散到+ C 若絕對(duì)收斂，也收斂 D若條件收斂，也條件收斂6、在a，b一致收斂，且an(x)可導(dǎo)（n=1,2），那么( )A f（x）在a，b可導(dǎo)，且B f（x）在a，b可導(dǎo)，但不一定等于C點(diǎn)點(diǎn)收斂，但不一定一致收斂D不一定點(diǎn)點(diǎn)收斂7、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在D上一致收斂的充要條件是（ ）A "e>0,$ N（e）>0，使"m>n> N有B "e>0, N>0，使"m>n> N有C $e>0, " N（e）>0，使"m>n> N有D "e>0,$ N（e）>0，使$m>n> N有8、的收斂域?yàn)椋?）A (-1,1) B (0,2 C 0,2） D -1,1）9、重極限存在是累次極限存在的（ ）A充分條件 B必要條件 C充分必要條件 D 無關(guān)條件10、（ ）A B C D 三、 計(jì)算題：（每小題6分，共30分）1、2、計(jì)算由曲線和圍成的面積3、求的冪級(jí)數(shù)展開5、 已知可微，求6、 求在（0，0）的累次極限三、判斷題（每小題10分，共20分）1、 討論的斂散性2、 判斷的絕對(duì)和條件收斂性四、證明題（每小題10分，共30分）1、設(shè)f(x)是-a，a上的奇函數(shù)，證明2、證明級(jí)數(shù)滿足方程 3、 證明S為閉集的充分必要條件是Sc是開集。參考答案一、1、D 2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B二、1、解：=（2分）由于為奇函數(shù)=0（2分）=（2分）所以積分值為（1分）2、 解：兩曲線的交點(diǎn)為（1，2）（2分）所求的面積為：1/222+（4分）3、解：由于（3分），（3分）4、解：=（3分）（3分）5、解：，（3分）（3分）三、1、解：由于（6分），又收斂（2分）所以原級(jí)數(shù)收斂（2分）2、解：當(dāng)時(shí)，有，所以級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂（4分），當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散（2分）當(dāng)時(shí)，有，由上討論知級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂（4分）四、證明題（每小題10分，共30分）1、證明： （1）（4分）（ 2）（4分）將式（2）代入（1）得證（2分）2、證明：所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，在收斂域?nèi)逐項(xiàng)微分之，得（8分）代入得證（2分）3、證明：必要性 若S為閉集，由于S的一切聚點(diǎn)都屬于S，因?yàn)椋瑢?duì)于任意的。x不是S的聚點(diǎn)，也就是說，存在x的鄰域使得，即，因此Sc是開集。充分性 對(duì)任意的，由于Sc是開集，因此存在x的鄰域使得， 即x不是S的聚點(diǎn)。所以如果S有聚點(diǎn)，它就一定屬于S.