5 5平行關(guān)系平行關(guān)系5 5.1 1平行關(guān)系的判定第1 1課時直線與平面平行的判定1.掌握線面平行的判定定理.2.會利用線面平行的判定定理證明線面的平行關(guān)系.1.空間直線與平面的位置關(guān)系 【做一做1】 若直線l在平面外且直線l上所有的點到平面的距離都相等,則直線l與平面的位置關(guān)系是.答案:l2.直線與平面平行的判定定理 直線與平面平行的判定定理告訴我們,可以通過直線間的平行來證明直線與平面平行.通常我們將其記為“若線線平行,則線面平行”.因此,對于線面平行的問題通常轉(zhuǎn)化為線線平行的問題來解決.也就是說,證明一條直線和一個平面平行,只要在這個平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行即可.【做一做2】 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點.判斷體對角線BD1與過點A,C,E的平面的位置關(guān)系.解:如圖所示,連接AC,BD.設(shè)ACBD=O,易知O為AC,BD的中點.連接OE,又E為DD1的中點,則OEBD1,連接AE,CE.OE平面ACE,BD1平面ACE,BD1平面ACE,即BD1與過點A,C,E的平面是平行關(guān)系.題型一題型二題型三【例1】 對于不重合的兩條直線m,n和平面,下列說法正確的是()A.如果m,n,m,n是異面直線,那么nB.如果m,n,nm,那么nC.如果m,n,m,n是異面直線,那么n與相交D.如果m,n,m,n共面,那么mn題型一題型二題型三解析:如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB平面ABCD,CC1平面ABCD,直線AB和直線CC1是異面直線,但是直線CC1平面ABCD=C,排除選項A;直線AB平面ABCD,直線B1C1平面ABCD,直線AB和直線B1C1是異面直線,但是直線B1C1平面ABCD,排除選項C;直線A1B1平面ABCD,直線B1C1平面ABCD,直線A1B1和直線B1C1共面,但是A1B1B1C1=B1,排除選項D.答案:B反思反思此類題目屬于位置關(guān)系判定題,并且是用符號語言表示的,是高考考查立體幾何知識的主要形式.其解題策略是借助長方體等幾何體模型,將符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言,利用排除法求解.題型一題型二題型三【變式訓練1】 能保證直線a與平面平行的條件是()A.b,abB.b,c,ab,acC.b,A,Ba,C,Db,且AC=BDD.a,b,ab解析:A錯誤,若b,ab,則a或a;B錯誤,若b,c,ab,ac,則a或a;C錯誤,若滿足此條件,則a或a或a與相交;D正確,它們恰好是判定定理所具備的不可缺少的三個條件.答案:D題型一題型二題型三【例2】 如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,E,F分別為AB,SC的中點.求證:EF平面SAD.分析:要證EF平面SAD,只需在平面SAD內(nèi)找到一條平行于EF的直線即可,又E,F分別為AB,SC的中點,故可以考慮作輔助線,構(gòu)造平行四邊形,從而找到平行于EF并且在平面SAD內(nèi)的直線.題型一題型二題型三題型一題型二題型三反思反思用線面平行的判定定理證明線面平行的基本步驟: 題型一題型二題型三【變式訓練2】 已知四邊形ABCD,ABEF都是正方形,MAC,NBF,且AM=FN.求證:MN平面BCE.題型一題型二題型三易錯點:判斷平行關(guān)系時思維受阻而致誤【例3】 如圖所示,在四面體ABCD中,P,Q,M,N分別為AB,BC,DC,DA的中點,截面PQMN是正方形,有下列說法,ACBD;AC截面PQMN;AC=BD;異面直線MN與BD所成的角為45;QM平面ABD.則其中正確的說法是.(填序號即可) 錯解:錯因分析:圖中平行關(guān)系較多,忽略PQ是ABC的中位線而得不到PQAC,從而漏選.題型一題型二題型三正解:對于,因為截面PQMN是正方形,所以PQQM,由三角形的中位線性質(zhì)可得PQAC,QMBD.所以由PQQM,可得ACBD,故正確;對于,在ABC中,P,Q是中點,所以PQAC,可得AC截面PQMN,故正確;對于,因為截面PQMN為正方形,所以QM=MN,因為P,Q,M,N為中點,所以QM所以AC=BD,故正確;對于,異面直線MN與BD所成的角等于MN與PN所成的角,為90,故不正確;對于,QMPN,PN平面ABD,QM平面ABD,故QM平面ABD,故正確.答案:題型一題型二題型三【變式訓練3】 如圖所示,在四面體ABCD中,若M,N,P分別為線段AB,BC,CD的中點,則直線BD與平面MNP的位置關(guān)系為.解析:因為N,P分別為線段BC,CD的中點,所以NPBD,又BD平面MNP,NP平面MNP,所以BD平面MNP.答案:平行1 2 3 4 51.過平面外一點,作平面的平行線可以作()A.一條B.兩條C.無數(shù)條D.以上都不對解析:過平面外一點可作無數(shù)條直線與平面內(nèi)的相應直線平行,故選C.答案:C1 2 3 4 52有下列命題:若直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則l;若直線ab,b,則直線a就平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線;若直線ab,b,則a;若直線a在平面外,則a.其中真命題的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4解析:直線l還可能在平面內(nèi).正確.直線a還有可能在平面內(nèi).直線a與平面相交也滿足.答案:A1 2 3 4 53.若兩條直線ab,且a平面,則b與的位置關(guān)系是.答案:b或b1 2 3 4 54.設(shè)m,n是平面外的兩條直線,給出以下三個論斷:mn;m;n.以其中的兩個為條件,余下的一個為結(jié)論,構(gòu)成三個命題,寫出你認為正確的一個命題是.解析:由m知,內(nèi)必有直線lm,又mn,nl,而n,n.因此,由,同理由.答案:(或)1 2 3 4 55.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別為線段AB,CD,C1D1的中點,分別連接A1P,AN,PN及C1M.求證:C1M平面ANPA1.1 2 3 4 5證明:如圖所示,連接AP,因為四邊形CC1D1D是矩形,所以C1D1CD,C1D1=CD.因為N,P分別為線段CD,C1D1的中點,所以C1PCN,C1P=CN.因為四邊形ABCD是矩形,所以ABCD,AB=CD.因為M為線段AB的中點,所以CNAM,CN=AM,所以C1PAM,C1P=AM,所以四邊形AMC1P是平行四邊形,所以C1MAP.又C1M平面ANPA1,AP平面ANPA1,所以C1M平面ANPA1.