第44課分類討論型問題 基礎知識 自主學習 1. 分類討論是重要的數(shù)學思想，又是一種重要的解題策略，很多數(shù)學問題很難從整體上去解決，若將其劃分為所包含的各個局部問題，就可以逐個予以解決，分類討論在解題策略上就是分而治之各個擊破 2. 一般分類討論的幾種情況： (1)由分類定義的概念必須引起的討論； (2)計算化簡法則或定理、原理的限制，必須引起的討論； (3)相對位置不確定，必須討論； (4)含有多種不定因素，且直接影響完整結(jié)論的取得而必須分類 討論 3. 分類討論要根據(jù)引發(fā)討論的原因，確定討論的對象及分類的方法，分類時要做到不遺漏、不重復，善于觀察，善于根據(jù)事物的特性與規(guī)律，把握分類標準，正確分類要點梳理要點梳理 難點正本疑點清源 1分類討論型問題對解題的要求 在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種可能情況，需要對各種情 況加以分類求解，然后綜合歸納得出問題的正確答案，這就是分類討 論 分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種 重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方 法，有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索 性，能訓練人的思維條理性和概括性 2需要運用分類討論思想解決的數(shù)學問題，就其引起分類的原 因，可歸結(jié)為以下幾個方面： (1)涉及的數(shù)學概念是分類定義的； (2)運用的數(shù)學定理、公式或運算性質(zhì)、法則有范圍或者是條件限 制，或者是分類給出的； (3)求解的數(shù)學問題的結(jié)論有多種情況或多種可能； (4)數(shù)學問題中含有參數(shù)，這些參數(shù)的取值不同會導致不同的結(jié)果基礎自測 1已知|x|5，y3，則xy的值等于() A8B2C2D8或2 答案D 解析因為|x|5，所以x5或5，因此xy532或xy538. 2已知點P(2,0)，若x軸上點Q到點P的距離為2，則點Q坐標為() A(0,0) B(4,0) C(0,0)或(4,0) D以上都不對 答案C 解析當點Q在點P的左邊時，得Q(0,0)；當點Q在點P的右邊時，得Q(4,0) 3如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值() A只有1個 B可以有2個 C有2個以上，但有限 D有無數(shù)個 答案B 4(2010德州)已知三角形的三邊長分別為3、4、5，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)所有可能的情況是() A0, 1, 2, 3 B0, 1, 2, 4 C0, 1, 2, 3, 4 D0, 1, 2, 4, 5 題型分類 深度剖析 題型一三角形問題的分類討論 【例 1】直角三角形的兩條邊長分別是6和8，那么這個三角形的內(nèi)切圓半徑等于_ 探究提高解答的關鍵是要注意題設中的“兩條邊長”，可以是“一條直角邊，另一條也是直角邊”或者是“一條直角邊，另一條是斜邊” 知能遷移1已知一個等腰三角形的邊長是x26x80的根，則這個三角形的周長等于_ 答案6或10或12 解析x26x80的兩根為x12，x24，三角形的周長等于2226或44412或44210. 題型二圓相關的分類討論 【例 2】(2008南京)如圖，已知 O的半徑為6 cm，射線PM經(jīng)過點O，OP10 cm，射線PN與 O相切于點Q.A、B兩點同時從點P出發(fā)，點A以5 cm/s的速度沿射線PM方向運動，點B以4 cm/s的速度沿射線PN方向運動設運動時間為t (s) (1)求PQ的長； (2)當t為何值時，直線AB與 O相切？圖1圖2 探究提高本題(2)中直線AB與 O相切有兩種情況，一種在 O的左邊與AB相切，一種在 O的右邊與AB相切. 知能遷移2已知：點O到ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OBOC. (1)如圖1，若點O在BC上，求證：ABAC； (2)如圖2，若點O在ABC的內(nèi)部，求證：ABAC； (3)若點O在ABC的外部，ABAC成立嗎？請畫圖表示圖圖1 1圖圖2 2 解(1)過點O分別作OEAB，OFAC，E、F分別是垂足，由題意知： OEOF，OBOC， RtOEB RtOFC， BC， ABAC. (2)過點O分別作OEAB，OFAC，E、F分別是垂足，由題意知， OEOF，OBOC， RtOEB RtOFC， OBEOCF. OBOC， OBCOCB， ABCACB， ABAC. (3)不一定成立(注：當A的平分線所在的直線與邊BC的垂直平分線重合 時，有ABAC，否則ABAC)題型三相似三角形中的分類討論 解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 探究提高本題有一定的難度，分類的情況比較復雜，解題時要多讀試題，首先確定分類的方向，理解解題思路，做到胸有成竹，而不要急于下筆 知能遷移3(2010莆田)如圖1，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，點D在邊AB上運動，DE平分CDB交邊BC于點E，EMBD垂足為M，ENCD，垂足為N. (1)當ADCD時，求證：DEAC； (2)探究：AD為何值時，BME與CNE相似？ (3)探究：AD為值時，四邊形MEND與BDE的面積相等？ 解(1)證明：ADCD， DACDCA， BDC2DAC. 又DE是BDC的平分線， BDC2BDE， DACBDE， DEAC.題型四函數(shù)問題的分類討論 探究提高本題中，動點E隨時間t的變化而位于不同的位置，重疊部分的面積S在t的取值范圍內(nèi)，存在著不同的對應關系，因而有不同的函數(shù)關系式答題規(guī)范 14分類討論不重復、不遺漏 考題再現(xiàn)求出所有滿足|ab|ab|1的整數(shù)對(a，b) 學生作答 解：根據(jù)絕對值的非負性和a、b均為整數(shù)， 討論|ab|0且|ab|1的情況， 得到滿足條件的整數(shù)對(a，b)共有(0,1)，(0，1)，(1,0)，(1,0)四對 老師忠告 1. 分類討論是中學數(shù)學中常用的一種數(shù)學思想方法之一，在研究此類問題的解法時，需認真審題，全面考慮，對可能存在的各種情況進行討論，做到不重、不漏、條理清晰 2. 分類討論的一般步驟：確定分類對象；進行合理分類；逐類進行討論；歸納作出結(jié)論. 思想方法 感悟提高 方法與技巧 1. 分類討論的一般步驟： (1)確定討論的對象和討論的范圍； (2)確定分類的標準并進行合理分類； (3)逐級討論并總結(jié)概括得出結(jié)論分類討論解題的關鍵是如 何正確進行分類 2. 分類討論的原則： (1)分類的每一部分是相互獨立的； (2)一次分類按一個標準(不重復，不遺漏)； (3)分類討論應逐級進行 失誤與防范 1應用分類討論思想解決問題，必須保證分類科學、統(tǒng)一、不重復、不遺漏，并力求最簡運用分類的思想，通過正確的分類，可以使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答 2分類討論應當遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清層次，不越級討論，其中最重要的一條是“不漏不重” 3分類討論的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥(沒有重復)；再對各個分類逐步進行討論，分層進行，獲取階段性結(jié)果；最后進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論完成考點跟蹤訓練44